Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3: Розкладання сигналу

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    33251

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Часто сигнали можуть бути розкладені на суперпозицію двох або більше простих сигналів.
    • У цих випадках лінійність може бути використана, щоб зробити обробку таких сигналів набагато простішою.

    Складність сигналу не пов'язана з тим, наскільки він химерний. Швидше за все, експерт з сигналів шукає способи розкладання заданого сигналу на суму простіших сигналів, які ми назвемо розкладанням сигналу. Хоча ми ніколи не обчислимо складність сигналу, він по суті дорівнює кількості термінів у його розкладанні. Записуючи сигнал у вигляді суми сигналів компонентів, ми можемо змінити посилення сигналу компонента, помноживши його на константу та затримуючи його. Більш складні розклади могли містити похідні або інтеграли простих сигналів.

    Приклад\(\PageIndex{1}\):

    Як приклад складності сигналу можна висловити імпульс Pδ t як суму затриманих одиничних кроків.

    \[p\Delta (t) = u(t)-u(t-\Delta ) \nonumber \]

    Таким чином, імпульс є більш складним сигналом, ніж крок. Як би там не було, пульс нам дуже корисний.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Висловіть квадратну хвилю, що має період T та амплітуду A як суперпозицію затриманих та амплітудно-масштабованих імпульсів.

    Рішення

    \[sq(t)= \sum_{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}Ap_{\frac{T}{2}}\left ( t-n\tfrac{T}{2} \right ) \nonumber \]

    Оскільки синусоїда є суперпозицією двох складних експоненціальних, синусоїда більш складна. Ми не змогли перешкодити собі від каламбуру в цій заяві. Зрозуміло, що слово «комплекс» тут вживається двома різними способами. Комплексну експоненціальну також можна записати (використовуючи відношення Ейлера) як суму синуса і косинуса. Ми виявимо, що практично кожен сигнал може бути розкладений на суму складних експоненціальних, і що це розкладання дуже корисно. Таким чином, складна експоненція є більш фундаментальною, а відношення Ейлера недостатньо розкриває її складність.