2.3: Розкладання сигналу

Цілі навчання

• Часто сигнали можуть бути розкладені на суперпозицію двох або більше простих сигналів.
• У цих випадках лінійність може бути використана, щоб зробити обробку таких сигналів набагато простішою.

Складність сигналу не пов'язана з тим, наскільки він химерний. Швидше за все, експерт з сигналів шукає способи розкладання заданого сигналу на суму простіших сигналів, які ми назвемо розкладанням сигналу. Хоча ми ніколи не обчислимо складність сигналу, він по суті дорівнює кількості термінів у його розкладанні. Записуючи сигнал у вигляді суми сигналів компонентів, ми можемо змінити посилення сигналу компонента, помноживши його на константу та затримуючи його. Більш складні розклади могли містити похідні або інтеграли простих сигналів.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Як приклад складності сигналу можна висловити імпульс Pδ t як суму затриманих одиничних кроків.

$$p\Delta (t) = u(t)-u(t-\Delta ) \nonumber$$

Таким чином, імпульс є більш складним сигналом, ніж крок. Як би там не було, пульс нам дуже корисний.

Вправа$\PageIndex{1}$

Висловіть квадратну хвилю, що має період T та амплітуду A як суперпозицію затриманих та амплітудно-масштабованих імпульсів.

Рішення

$$sq(t)= \sum_{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}Ap_{\frac{T}{2}}\left ( t-n\tfrac{T}{2} \right ) \nonumber$$

Оскільки синусоїда є суперпозицією двох складних експоненціальних, синусоїда більш складна. Ми не змогли перешкодити собі від каламбуру в цій заяві. Зрозуміло, що слово «комплекс» тут вживається двома різними способами. Комплексну експоненціальну також можна записати (використовуючи відношення Ейлера) як суму синуса і косинуса. Ми виявимо, що практично кожен сигнал може бути розкладений на суму складних експоненціальних, і що це розкладання дуже корисно. Таким чином, складна експоненція є більш фундаментальною, а відношення Ейлера недостатньо розкриває її складність.