2.1: Комплексні числа

Цілі навчання

• Вступ до комплексних чисел.

Хоча основним сигналом, що використовується в електротехніці, є синусоїда, він може бути виражений математично з точки зору ще більш фундаментального сигналу: складного експоненціального. Представлення синусоїдів в терміні складних експоненціальних не є математичною дивацією. Вільне володіння комплексними числами і раціональними функціями комплексних змінних є критичною навичкою, яку освоюють всі інженери. Розуміння проектування інформаційно-енергетичних систем та розробка нових систем залежать від використання складних чисел. Коротше кажучи, вони мають вирішальне значення для сучасної електротехніки, реалізації, зробленої понад століття тому.

Визначення

Поняття квадратного кореня -1 виникло з квадратичною формулою: розв'язання деяких квадратних рівнянь математично існує тільки в тому випадку, якщо так звана уявна величина

$$\sqrt{-1} \nonumber$$

може бути визначено. Ейлер вперше використовував i для уявної одиниці, але це позначення не трималося приблизно до часу Ампера. Ампер використовував символ i для позначення струму (напруженість струму). Лише у двадцятому столітті важливість складних чисел для теорії схем стала очевидною. На той час використання i для струму закріпилося, і інженери електрики вибрали i для написання складних чисел.

Визначення уявного числа

Уявне число має вигляд

$$ib = \sqrt{-b^{2}} \nonumber$$

Визначення комплексного числа

Комплексне число, z, складається з впорядкованої пари (a, b), a - дійсна складова, а b - уявна складова (i пригнічується, оскільки уявна складова пари завжди знаходиться у другій позиції). Уявне число ib дорівнює (0, b). Зауважте, що a і b є дійсними числами. На малюнку 2.1.1 показано, що ми можемо знайти комплексне число в тому, що ми називаємо комплексною площиною. Тут a, дійсна частина, - координата x, а b, уявна частина, - y-координата.

Малюнок 2.1.1 Комплексне число - це впорядкована пара (a, b), яку можна розглядати як координати в площині. Вони також можуть бути виражені в полярних координатах як rθ.

З аналітичної геометрії ми знаємо, що місця в площині можуть бути виражені як сума векторів, векторами, відповідними напрямкам x і y. Отже, комплексне число z може бути виражено у вигляді (векторної) суми z=a+ i b, де i вказує y-координату. Це подання відоме як декартова форма z. Уявне число не може бути чисельно додано до дійсного числа; скоріше, це позначення для комплексного числа являє собою векторне додавання, але воно забезпечує зручне позначення, коли ми виконуємо арифметичні маніпуляції.

Якась очевидна термінологія. Реальна частина комплексного числа z=a+ i b, записана як (z), дорівнює a, а дійсну частину розглядаємо як функцію, яка працює шляхом вибору компонента комплексного числа, не помноженого на i. Уявна частина z, (z) дорівнює b: та частина комплексного числа, яка множиться на i. Знову ж таки, як дійсна, так і уявна частини комплексного числа є реальними.

Складний сполучений з z, написаний як

$$\bar{z} \nonumber$$

z має ту ж реальну частину, що і z, але уявну частину протилежного знака.

$$z = \Re (z)+i\Im (z)\\ z = \Re (z)-i\Im (z) \nonumber$$

Використовуючи декартові позначення, такі властивості легко слідують.

Якщо скласти два комплексних числа, дійсна частина результату дорівнює сумі дійсних частин, а уявна частина дорівнює сумі уявних частин. Це властивість випливає із законів векторного додавання.

$$a_{1}+ib_{1}+a_{2}+ib_{2} = a_{1}+a_{2}+i(b_{1}+b_{2}) \nonumber$$

Таким чином реальна і уявна частини залишаються окремими.

Добуток i і дійсного числа - уявне число: i a. Добуток i і уявного числа є дійсним числом: i (i b) = -b тому що i 2 = -1. Отже, множення комплексного числа на i повертає положення числа на 90 градусів.

Вправа$\PageIndex{1}$

Використовуйте визначення додавання, щоб показати, що дійсна і уявна частини можуть бути виражені у вигляді сума/різниці комплексного числа та його сполучених.

$$\Re (z)= \frac{z+\bar{z}}{2}\; and\; \Im (z) = \frac{z-\bar{z}}{2i} \nonumber$$

Рішення

$$z+\bar{z} = a+ib+a-ib = 2a = 2\Re (z)\\ z-\bar{z} = a+ib-(a-ib) = 2ib = 2\left ( i,\Im (z) \right ) \nonumber$$

Комплексні числа також можуть бути виражені в альтернативній формі, полярної формі, яка нам буде досить корисною. Полярна форма виникає з геометричної інтерпретації складних чисел. Декартова форма комплексного числа може бути переписана як

$$a+ib = \sqrt{a^{2}+b^{2}}\left (\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} + i\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right ) \nonumber$$

Формуючи прямокутний трикутник, що має сторони a і b, ми бачимо, що дійсна і уявна частини відповідають косинусу і синусу базового кута трикутника. Таким чином ми отримуємо полярну форму для комплексних чисел.

$$z = a+ib = r\angle \theta \\ r = \left | z \right | = \sqrt{a^{2}+b^{2}}\\ a = r\cos (\theta) \\ b = r\sin (\theta ) \\ \theta = \arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) \nonumber$$

Кількість r відома як величина комплексного числа z і часто записується як |z|. Величина θ - кут комплексного числа. Використовуючи формулу дугового тангенса для пошуку кута, ми повинні враховувати квадрант, в якому лежить комплексне число.

Вправа$\PageIndex{1}$

Перетворити 3−2 i на полярну форму.

Рішення

Щоб перетворити 3−2 i у полярну форму, спочатку знайдемо число у комплексній площині четвертого квадранта. Відстань від початку до комплексного числа - величина r, яка дорівнює

$$\sqrt{13} = \sqrt{3^{2}+(-2)^{2}} \nonumber$$

Кут дорівнює

$$-\arctan \frac{2}{3} = -0.588\: radians = -33.7^{\circ} \nonumber$$

Остаточна відповідь:

$$\sqrt{13}(-33.7^{\circ}) \nonumber$$

Формула Ейлера

Дивно, але полярну форму комплексного числа zzz можна виразити математично як

$$z = re^{i\theta } \nonumber$$

Щоб показати цей результат, ми використовуємо відносини Ейлера, які виражають експоненціальні числа з уявними аргументами в терміні тригонометричних функцій.

$$e^{i\theta } = \cos (\theta )+i\sin (\theta )\\ \cos (\theta ) = \frac{e^{i\theta }+e^{-(i\theta )}}{2}\\ \sin (\theta ) = \frac{e^{i\theta }-e^{-(i\theta )}}{2i}\\ \nonumber$$

Перший з них легко виводиться з серії Тейлора для експоненціальної.

$$e^{x} = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+.... \nonumber$$

Підставивши iθ на x, ми знаходимо, що

$$e^{i\theta } = 1+i\frac{\theta }{1!}-\frac{\theta ^{2}}{2!}-i\frac{\theta ^{3}}{3!}+.... \nonumber$$

оскільки

$$i^{2} = -1, \; i^{3} = -i \; and \; i^{4} = 1 \nonumber$$

Групування окремо дійсних і уявно-значущих термінів,

$$e^{i\theta } = 1-\frac{\theta ^{2}}{2!}+....+i\left (\frac{\theta }{1!}-\frac{\theta ^{3}}{3!}+... \right ) \nonumber$$

Реальні терміни відповідають ряду Тейлора для cos (θ), уявні - sin (θ) та результати першого відношення Ейлера. Решта відносини легко виводяться з перших. Ми бачимо, що множення експоненціального у вищезгаданому рівнянні на дійсну константу відповідає встановленню радіуса комплексного числа на постійну.

Обчислення комплексними числами

Додавання та віднімання складних чисел, виражених у декартовій формі, досить просто: ви додаєте (віднімаєте) дійсні частини та уявні частини окремо.

$$z_{1}\pm z_{2} = (a_{1}\pm a_{2})+i(b_{1}\pm b_{2}) \nonumber$$

Помножити два комплексних числа в декартовій формі не так просто, але випливає безпосередньо з дотримання звичних правил арифметики.

$$z_{1}z_{2} = (a_{1}+ib_{1})(a_{2}+ib_{2})\\ z_{1}z_{2} = a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}) \nonumber$$

Зверніть увагу, що ми в певному сенсі множимо два вектори, щоб отримати інший вектор. Комплексна арифметика забезпечує унікальний спосіб визначення векторного множення.

Вправа$\PageIndex{1}$

Що таке добуток комплексного числа і його сполучений?

Рішення

$$z\bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a^{2}+b^{2}\\ z\bar{z} = r^{} = \left ( \left | z \right | \right )^{2} \nonumber$$

Розподіл вимагає математичних маніпуляцій. Переводимо задачу ділення в задачу множення шляхом множення чисельника і знаменника на сполучений знаменник.

$$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{a_{1}+ib_{1}}{a_{2}+ib_{2}}\\ \frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{a_{1}+ib_{1}}{a_{2}+ib_{2}}\: \frac{a_{2}-ib_{2}}{a_{2}-ib_{2}}\\ \frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{(a_{1}+ib_{1})(a_{2}-ib_{2})}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}\\ \frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+i(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}} \nonumber$$

Оскільки кінцевий результат настільки складний, краще запам'ятати, як виконувати ділення - множення чисельника та знаменника на складний сполучений знаменник - ніж намагатися запам'ятати кінцевий результат.

Властивості експоненціальної значно спрощують обчислення добутку і співвідношення двох комплексних чисел, коли числа виражаються в полярній формі.

$$z_{1}z_{2}= \begin{align*} &= r_{1}e^{i\theta _{1}}r_{2}e^{i\theta _{2}}\\ &= r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})} \end{align*} \nonumber$$

$$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}e^{i\theta _{1}}}{r_{2}e^{i\theta _{2}}} = \frac{r_{1}}{r^{2}}e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})} \nonumber$$

Для множення радіус дорівнює добутку радіусів, а кут - сумі кутів. Для поділу радіус дорівнює відношенню радіусів, а кут різниці кутів. Коли вихідні комплексні числа знаходяться в декартовій формі, зазвичай варто перевести в полярну форму, потім виконати множення або ділення (особливо в разі останнього). Додавання і віднімання полярних форм означає перетворення в декартову форму, виконання арифметичної операції та перетворення назад в полярну форму.

Вправа$\PageIndex{1}$

Коли ми вирішуємо задачі ланцюга, вирішальна величина, відома як передавальна функція, завжди буде виражена у вигляді співвідношення многочленів у змінній s= i2 s = i 2 π ф$<strong></strong>\mathrm{<strong>\pi </strong>}<strong></strong>\mathrm{<strong>f</strong>}$. Те, що нам знадобиться, щоб зрозуміти ефект схеми, - це функція передачі в полярній формі. Наприклад, припустимо, що функція передачі дорівнює

$$\frac{s+2}{s^{2}+s+1} \nonumber$$

$$s = i2\pi f \nonumber$$

Виконання необхідного поділу найпростіше здійснити, спочатку виражаючи чисельник і знаменник кожного в полярній формі, потім обчислюючи співвідношення. Таким чином,

$$\frac{s+2}{s^{2}+s+1} = \frac{i2\pi f+2}{-4\pi ^{2}f^{2}+i2\pi f+1} \nonumber$$

$$\frac{s+2}{s^{2}+s+1} = \frac{\sqrt{4+4\pi ^{2}f^{2}e^{i\arctan (\pi f)}}}{\sqrt{(1-4\pi ^{2}f^{2})^{2}+4\pi ^{2}f^{2}e^{i\arctan (\frac{2\pi f}{1-4\pi ^{2}f^{2}})}}} \nonumber$$

$$\frac{s+2}{s^{2}+s+1} = \sqrt{\frac{4+4\pi ^{2}f^{2}}{1-4\pi ^{2}f^{2}+16\pi ^{4}f^{4}}}\; e^{i\left (arctan (\pi f)- arctan (\frac{2\pi f}{1-4\pi ^{2}f^{2}}) \right )} \nonumber$$