Search

6: Проблеми з власним значенням
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0/%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(Chong)/06%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%B7_%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%BD%D0%B8%D0%BC_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC
Завдання полягає в тому, щоб знайти один (або більше одного) ненульового вектора $\vec{x}$ , який називається власним вектором, і асоційованого $\lambda \in \mathbb{C}$ , який називається власним знач...Завдання полягає в тому, щоб знайти один (або більше одного) ненульового вектора $\vec{x}$ , який називається власним вектором, і асоційованого $\lambda \in \mathbb{C}$ , який називається власним значенням. Проблеми на власні значення повсюдно поширені практично у всіх галузях фізики. Найважливіше, що вони використовуються для опису «режимів» фізичної системи, таких як режими класичного механічного генератора або енергетичних станів атома.
Обчислювальна фізика (Chong)
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0/%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(Chong)
Вступний курс з обчислювальної фізики для магістрантів вищого рівня. Теми, що охоплюються, включають чисельну лінійну алгебру, задачі на власні значення, задачі розрідженої матриці, числове інтегруван...Вступний курс з обчислювальної фізики для магістрантів вищого рівня. Теми, що охоплюються, включають чисельну лінійну алгебру, задачі на власні значення, задачі розрідженої матриці, числове інтегрування та задачі початкового значення, перетворення Фур'є та моделювання Монте-Карло. Приклади програмування засновані на науковому Python.
6.1: Хвильове рівняння
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA_(Chong)/06%3A_%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D1%85%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%96/6.01%3A_%D0%A5%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BE%D0%B2%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F
Іноді ми переставляємо хвильове рівняння у такий вигляд, що складається з лінійного диференціального оператора, що діє на $f(x,t)$ :\[\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\parti...Іноді ми переставляємо хвильове рівняння у такий вигляд, що складається з лінійного диференціального оператора, що діє на $f(x,t)$ : $\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \; f(x,t) = 0.$ Цей спосіб запису хвильового рівняння підкреслює, що це лінійне PDE, що означає, що будь-яке лінійне накладення розв'язків є аналогічним рішенням.
3: Інтеграли
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA_(Chong)/03%3A_%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8
Якщо у нас є функція, $f(x)$ яка добре визначена для деяких $a \le x \le b$ , її інтеграл над цими двома значеннями визначається як\[\int_a^b dx\; f(x) \;=\; \lim_{N \rightarrow \infty} \, \sum_{n=0}...Якщо у нас є функція, $f(x)$ яка добре визначена для деяких $a \le x \le b$ , її інтеграл над цими двома значеннями визначається як $\int_a^b dx\; f(x) \;=\; \lim_{N \rightarrow \infty} \, \sum_{n=0}^{N} \Delta x\; f(x_n) \;\;\;\mathrm{where}\;\; x_n = a + n\Delta x, \;\; \Delta x \equiv \left(\frac{b-a}{N}\right).$ Це називається певним інтегралом і представляє область під графом $f(x)$ в області між $x=a$ і $x=b$ , як показано на малюнку нижче.
5.4: Постановка рішення в умовах початкових умов
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA_(Chong)/05%3A_%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/5.04%3A_%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0_%D1%80%D1%96%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B2_%D1%83%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%85_%D0%BF%D0%BE%D1%87%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%85_%D1%83%D0%BC%D0%BE%D0%B2
Що стосується надмірно демпфірованого випадку, ми можемо виконати заміну $\Omega \rightarrow i \Gamma = i \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}.$ Тоді, використовуючи зв'язки між тригонометричними та гіпербол...Що стосується надмірно демпфірованого випадку, ми можемо виконати заміну $\Omega \rightarrow i \Gamma = i \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}.$ Тоді, використовуючи зв'язки між тригонометричними та гіперболічними функціями, розглянутими в розділі 4.5, рішення може бути перезаписано, як це\[\begin{align} z(t) &= e^{-\gamma t} \left[x_0 \cosh(\Gamma t) + \frac{\gamma x_0 + v_0}{i\Gamma} \, i \sinh(\Gamma t)\right] \\ &= \left(\frac{x_0}{2} + \frac{\gamma x_0 + v_0}{2\Gamma}\right) e^{-(\gamma - \Gamma)…
3.7: Вправи
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA_(Chong)/03%3A_%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8/3.07%3A_%D0%92%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8
Нарешті, порівнюючи це з вихідним диференціальним рівнянням для $y(t)$ , ми виявимо, що $g(t) - \gamma [y(t) - y(0)] = -\gamma y(t) + f(t) \;\;\; \Rightarrow \;\;\; g(t) = f(t) - \gamma y(0).$ Отже, ...Нарешті, порівнюючи це з вихідним диференціальним рівнянням для $y(t)$ , ми виявимо, що $g(t) - \gamma [y(t) - y(0)] = -\gamma y(t) + f(t) \;\;\; \Rightarrow \;\;\; g(t) = f(t) - \gamma y(0).$ Отже, рішення диференціального рівняння $\begin{align} y(t) &= y(0) + \int_0^t dt' \, e^{-\gamma(t-t')} \,[f(t') - \gamma y(0)] \\ &= y(0)\,e^{-\gamma t} + \int_0^t dt' \, e^{-\gamma(t-t')} f(t').\end{align}$
10.2: Метод Вперед Ейлера
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0/%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(Chong)/10%3A_%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3/10.02%3A_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%92%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%95%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0
Проблема в тому, що часто незрозуміло, наскільки малий досить малий, особливо для складних (наприклад, нелінійних) ОД, де $F(\vec{y},t)$ є щось на зразок «чорного ящика». На відміну від наведеного ви...Проблема в тому, що часто незрозуміло, наскільки малий досить малий, особливо для складних (наприклад, нелінійних) ОД, де $F(\vec{y},t)$ є щось на зразок «чорного ящика». На відміну від наведеного вище простого прикладу, ми, як правило, не маємо точної відповіді для порівняння, тому може бути важко сказати, чи вибухає числове рішення, тому що саме так поводиться справжнє рішення, або тому, що числовий метод нестабільний.
6.5: Гармонічні хвилі
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA_(Chong)/06%3A_%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D1%85%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%96/6.05%3A_%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%96%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%85%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%96
Шляхом прямої підміни в Eq. (6.4.1), ми можемо показати, що $\psi(x)$ підпорядковується\[\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + \l...Шляхом прямої підміни в Eq. (6.4.1), ми можемо показати, що $\psi(x)$ підпорядковується $\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + \left(\frac{\omega}{v}\right)^2\right] \, \psi(x,y,z) = 0.$ Це пов'язано з вихідним залежним від часу хвильовим рівнянням $\partial/\partial t$ заміною на $-i\omega$ .
6.3: Комплексні розв'язки хвильового рівняння
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA_(Chong)/06%3A_%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D1%85%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%96/6.03%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D0%B2'%D1%8F%D0%B7%D0%BA%D0%B8_%D1%85%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F
Використовуючи складні біжучі хвилі, ми можемо обчислити суперпозицію кількома рядками алгебри:\[\begin{align}f(x,t) &= \displaystyle \big|A\big| \, e^{i(kx - \omega t + \phi_1)} + \big|A\big| \, e^{i...Використовуючи складні біжучі хвилі, ми можемо обчислити суперпозицію кількома рядками алгебри:\[\begin{align}f(x,t) &= \displaystyle \big|A\big| \, e^{i(kx - \omega t + \phi_1)} + \big|A\big| \, e^{i(-kx - \omega t + \phi_2)} \\ &= \displaystyle \big|A\big|\, \left(e^{i(kx + \phi_1)} + e^{-i(kx - \phi_2)}\right)\, e^{-i\omega t} \\ &= \displaystyle \big|A\big|\, \left(e^{i[kx + (\phi_1-\phi_2)/2]} + e^{-i[kx + (\phi_1 - \phi_2)/2]}\right)\, e^{i(\phi_1 + \phi_2)/2} \,e^{-i\omega t} \\ &= \disp…
2.5: Вправи
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA_(Chong)/02%3A_%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96/2.05%3A_%D0%92%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8
Тоді\[\begin{align} \frac{d\vec{v}}{dx} &= \vec{u} \frac{d}{dx}\left(e^{\lambda x}\right) \\ &= \lambda \, \vec{u}\, e^{\lambda x} \\ &= \left(\mathbf{A} \vec{u}\right) e^{\lambda x} \\ &= \mathbf{A} ...Тоді $\begin{align} \frac{d\vec{v}}{dx} &= \vec{u} \frac{d}{dx}\left(e^{\lambda x}\right) \\ &= \lambda \, \vec{u}\, e^{\lambda x} \\ &= \left(\mathbf{A} \vec{u}\right) e^{\lambda x} \\ &= \mathbf{A} \left(\vec{u} e^{\lambda x}\right) \\ &= \mathbf{A} \vec{v}(x).\end{align}$ Отже, $\vec{v}(x)$ задовольняє бажане диференціальне рівняння.
4.1: Масивні зображення векторів, матриць та тензорів
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0/%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(Chong)/04%3A_%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/4.01%3A_%D0%9C%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B2%2C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8C_%D1%82%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B2
Найбільш часто використовуваною функцією для множення масиву є функція dot, яка приймає два входи масиву x і y і повертає їх «точковий добуток». Він будує добуток шляхом підсумовування останнього інде...Найбільш часто використовуваною функцією для множення масиву є функція dot, яка приймає два входи масиву x і y і повертає їх «точковий добуток». Він будує добуток шляхом підсумовування останнього індексу масиву x та над наступним до останнього індексу масиву y (або над його останнім індексом, якщо y є 1D масивом).