Загальний розв'язок комплексного затухаючого гармонічного осцилятора, екв. (5.3.3), містить два невизначені параметри, які є комплексними амплітудами комплексних коливань «за годинниковою стрілкою» та «проти годинникової стрілки»:z(t)=ψ+e−iω+t+ψ−e−iω−t,whereω±=−iγ±√ω20−γ2.
Однак завдання механіки часто виражаються через початкові value задачі, вказуючи стан системи в якийсь початковий часt=0. Іншими словами, даноz(0)≡x0 і˙z(0)≡v0, що зz(t) точки зоруx0 іv0?
Вирішити початково-вартісну задачу можна шляхом знаходженняz(0) і˙z(0) в плані вищевказаного загального рішення дляz(t). Результатиz(0)=ψ++ψ−=x0˙z(0)=−iω+ψ+−iω−ψ−=v0.
Ці два рівняння можуть бути об'єднані в матричне рівняння 2х2:[11−iω+−iω−][ψ+ψ−]=[x0v0].
Поки система не знаходиться в критичній точці (тобтоω+≠ω−), матриця не є сингулярною, і ми можемо інвертувати її, щоб отриматиψ±:[ψ+ψ−]=1i(ω+−ω−)[−iω−x0−v0iω+x0+v0].
Ми можемо підключити ці коефіцієнти повертаються в загальне рішення. Після деякої алгебри результат спрощується доz(t)=e−γt[x0cos(Ωt)+γx0+v0Ωsin(Ωt)],whereΩ≡√ω20−γ2.
Для недогашеного випадкуΩ є реальним, і це рішення узгоджується з тим, що знайдено в розділі 5.3, за винятком того, що тепер воно явно виражено в термінами наших початкових умовx0 іv0. Що стосується надмірно демпфірованого випадку, ми можемо виконати замінуΩ→iΓ=i√γ2−ω20.
Тоді, використовуючи зв'язки між тригонометричними та гіперболічними функціями, розглянутими в розділі 4.5, рішення може бути перезаписано, як цеz(t)=e−γt[x0cosh(Γt)+γx0+v0iΓisinh(Γt)]=(x02+γx0+v02Γ)e−(γ−Γ)t+(x02−γx0+v02Γ)e−(γ+Γ)t,
відповідає розв'язку, знайденому в розділі 5.3.
У будь-якому випадку, поки ми підключаємо реальні значення дляx0 іv0, рішення гарантовано буде реальним для всіхt. Цього слід очікувати, оскільки реальне рішення також є одним із специфічних рішень для складного рівняння гармонічного осцилятора.
