5.4: Постановка рішення в умовах початкових умов

Загальний розв'язок комплексного затухаючого гармонічного осцилятора, екв. (5.3.3), містить два невизначені параметри, які є комплексними амплітудами комплексних коливань «за годинниковою стрілкою» та «проти годинникової стрілки»:\[z(t) = \psi_+ e^{-i\omega_+ t} + \psi_- e^{-i\omega_- t}, \quad\mathrm{where} \;\; \omega_\pm = -i\gamma \pm \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}.\] Однак завдання механіки часто виражаються через початкові value задачі, вказуючи стан системи в якийсь початковий час\(t = 0\). Іншими словами, дано\(z(0) \equiv x_0\) і\(\dot{z}(0) \equiv v_0\), що з\(z(t)\) точки зору\(x_0\) і\(v_0\)?

Вирішити початково-вартісну задачу можна шляхом знаходження\(z(0)\) і\(\dot{z}(0)\) в плані вищевказаного загального рішення для\(z(t)\). Результати\[\begin{align} z(0) &= \quad \psi_+ + \psi_- &= x_0& \\ \dot{z}(0) &= -i\omega_+ \psi_+ - i \omega_- \psi_- &= v_0&.\end{align}\] Ці два рівняння можуть бути об'єднані в матричне рівняння 2х2:\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ -i\omega_+ & -i\omega_-\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\psi_+ \\ \psi_-\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_0 \\ v_0\end{bmatrix}.\] Поки система не знаходиться в критичній точці (тобто\(\omega_+ \ne \omega_-\)), матриця не є сингулярною, і ми можемо інвертувати її, щоб отримати\(\psi_\pm\):\[\begin{bmatrix}\psi_+ \\ \psi_-\end{bmatrix} = \frac{1}{i(\omega_+-\omega_-)}\begin{bmatrix}-i\omega_-x_0 - v_0 \\ i\omega_+x_0 + v_0 \end{bmatrix}.\] Ми можемо підключити ці коефіцієнти повертаються в загальне рішення. Після деякої алгебри результат спрощується до\[z(t) = e^{-\gamma t} \left[x_0 \cos(\Omega t) + \frac{\gamma x_0 + v_0}{\Omega} \, \sin(\Omega t)\right], \;\; \mathrm{where}\;\; \Omega \equiv \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}.\] Для недогашеного випадку\(\Omega\) є реальним, і це рішення узгоджується з тим, що знайдено в розділі 5.3, за винятком того, що тепер воно явно виражено в термінами наших початкових умов\(x_0\) і \(v_0\). Що стосується надмірно демпфірованого випадку, ми можемо виконати заміну\[\Omega \rightarrow i \Gamma = i \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}.\] Тоді, використовуючи зв'язки між тригонометричними та гіперболічними функціями, розглянутими в розділі 4.5, рішення може бути перезаписано, як це\[\begin{align} z(t) &= e^{-\gamma t} \left[x_0 \cosh(\Gamma t) + \frac{\gamma x_0 + v_0}{i\Gamma} \, i \sinh(\Gamma t)\right] \\ &= \left(\frac{x_0}{2} + \frac{\gamma x_0 + v_0}{2\Gamma}\right) e^{-(\gamma - \Gamma) t} + \left(\frac{x_0}{2} - \frac{\gamma x_0 + v_0}{2\Gamma}\right) e^{-(\gamma+\Gamma)t},\end{align}\] відповідає розв'язку, знайденому в розділі 5.3.

У будь-якому випадку, поки ми підключаємо реальні значення для\(x_0\) і\(v_0\), рішення гарантовано буде реальним для всіх\(t\). Цього слід очікувати, оскільки реальне рішення також є одним із специфічних рішень для складного рівняння гармонічного осцилятора.