6: Проблеми з власним значенням
- Page ID
- 79614
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Задача на власні значення - матричне рівняння виду
\[\mathbf{A} \vec{x} = \lambda \vec{x},\]
де\(\mathbf{A}\) відома\(N\times N\) матриця. Завдання полягає в тому, щоб знайти один (або більше одного) ненульового вектора\(\vec{x}\), який називається власним вектором, і асоційованого\(\lambda \in \mathbb{C}\), який називається власним значенням. Проблеми на власні значення повсюдно поширені практично у всіх галузях фізики. Найважливіше, що вони використовуються для опису «режимів» фізичної системи, таких як режими класичного механічного генератора або енергетичних станів атома.
Перш ніж обговорювати числові розв'язки задачі на власні значення, швидко розглянемо відповідні математичні факти.
- 6.2: Чисельні власні розв'язувачі
- Існують числові методи, звані власними розв'язувачами, які можуть обчислювати власні значення (і власні вектори) навіть для дуже великих матриць, з сотнями рядків/стовпців або більшими. Як це могло бути? Відповідь полягає в тому, що числові власні розв'язувачі є приблизними, а не точними. Але хоча їх результати не є точними, вони дуже точні - вони можуть наблизитися до точних власних значень в межах фундаментальної точності арифметики з плаваючою комою.