13.2: Балки

Виготовлення пучка

Розглянемо систему з непрозорим бар'єром в\(z = 0\) площині. Якщо його висвітлює плоска хвиля, що рухається в\(z\) напрямку +, бар'єр поглинає хвилю повністю. Тепер вирізаємо отвір в бар'єрі. Ви можете подумати, що це створить промінь світла, що рухається у напрямку початкової площини хвилі. Але це не так просто. Це фактично та сама проблема, яку ми розглядали в попередньому розділі, (13.7) - (13.14), з функцією\(f(x, y)\), заданою\[f(x, y) e^{-i \omega t}\]

де\ [f (x, y) =\ left\ {\ begin {масив} {l}
1\ text {всередині отвору}\\
0\ текст {поза отвором}
\ end {масив}\ справа.\]

Насправді корисно буде подумати про більш загальну проблему, адже функція, (13.16), є переривчастою. Як ми побачимо пізніше, це призводить до більш складних дифракційних явищ, ніж ми бачимо з гладкою функцією. Зокрема, будемо вважати, що значно\(f(x, y)\) відрізняється від нуля тільки для малих х і у і йде в нуль для великих\(x\) і\(y\). Тоді можна говорити про положення «отвору», яке виробляє промінь, поруч\(x = y = 0\).

Ми можемо розглядати цю проблему як задачу вимушеного коливання. Набагато простіше проаналізувати фізику, якщо ми ігноруємо поляризацію, тому ми будемо обговорювати скалярні хвилі. Наприклад, ми могли б розглянути поперечні хвилі на гнучкій мембрані або хвилі тиску в газі. Аналогічно, ми могли б розглядати світлові хвилі, які залежать тільки від двох вимірів\(z\),\(x\) причому, і поляризовані в\(y\) напрямку. Ми не будемо занадто турбуватися про ці тонкощі, тому що, як завжди, основні властивості хвильових явищ будуть визначатися властивостями трансляції інваріантності, які не залежать від того, що це таке, що махає!

застереження

Варто зазначити, що існують і інші підходи до дифракційної задачі, окрім тих, які ми тут обговорюємо. Розглянута нами фізична установка дещо відрізняється від стандартної установки дифракції Гюйгенса-Френеля - Кірхгофа, оскільки ми вивчаємо іншу проблему. У дифракції Гюйгенса-Френеля - Кірхгофа ² розглядається дифракція плоської хвилі від скінченного об'єкта, тоді як наш непрозорий екран нескінченний у\(y\) площині\(x\) -. У випадку Гюйгенса-Френеля відповідною граничною умовою є те, що немає вхідних сферичних хвиль, що повертаються з нескінченності до об'єкта, який робить дифракцію. Дифракція створює лише вихідні сферичні хвилі. Ми не будемо обговорювати цю альтернативну фізичну настройку детально, оскільки вона веде глибше до функцій Бесселя ³, ніж ми (і, ймовірно, читач також) хочемо піти. Перевага нашої формулювання полягає в тому, що ми можемо налаштувати його повністю з рішеннями плоских хвиль, про які ми вже обговорювали. Ми просто вкажемо відмінності між нашим лікуванням та дифракцією Гюйгенса-Френеля. Для дифракції в прямій області, на великих z і не дуже далеко від осі z, дифракція однакова в двох випадках.

Читач також повинен помітити, що ми не пояснили, як саме коливання, (13.15),\[f(x, y) e^{-i \omega t}\]

в\(z = 0\) площині виробляється. Це аж ніяк не банальна проблема, але детально обговорювати її ми не будемо. Ми концентруємося на фізиці для\(z > 0\). Це буде досить цікаво.

Межа на\(\infty\)

Для визначення форми хвиль в області\(z > 0\) (за бар'єром) потрібні граничні умови як в, так\(z = 0\) і в\(z=\infty\). В\(z = 0\), існує коливальна амплітуда, задана (13.15). ⁴ При цьому ми повинні накласти умову\(z=\infty\), що немає хвиль, що рухаються у\(z\) напрямку − (назад до бар'єру), і що соди добре поводяться\(\infty\).

Нормальні режими мають вигляд\[e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t}\]

де\(\vec{k}\) задовольняє дисперсійному співвідношенню\[\omega^{2}=v^{2} \vec{k}^{2}.\]

Таким чином, з огляду на дві складові\(\vec{k}\), ми можемо знайти третю за допомогою (13.18). Таким чином, ми можемо написати рішення як\[\psi(\vec{r}, t)=\int d k_{x} d k_{y} C\left(k_{x}, k_{y}\right) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t} \text { for } z>0\]

де\[k_{z}=\sqrt{\omega^{2} / v^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}.\]

Зверніть увагу, що (13.20) не визначає ознаку\(k_{2}\). Але гранична умова при\(\infty\) робить. Якщо\(k_{z}\) реальний, він повинен бути позитивним, щоб описати хвилю, що рухається вправо, подалі від бар'єру. Якщо\(k_{z}\) складний, його уявна частина повинна бути позитивною, інакше\(e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}\) б підірвати, як\(z\) йде\(\infty\). Таким чином,\[\text { if } \operatorname{Im} k_{z}=0, \text { then } \operatorname{Re} k_{z}>0 \text { ; otherwise } \operatorname{Im} k_{z}>0 \text { . }\]

Ми обговорювали фізичне значення граничної умови (13.21) у нашому обговоренні тунелювання, починаючи з сторінки 274. Існує реальна фізика в граничній умові на нескінченності. Наприклад, розглянемо зв'язок між цим аналізом та обговоренням довжин шляхів у попередньому розділі. Мовою останнього розділу ми не можемо описати ефекти хвиль уявними\(k_{z}\). Однак гранична умова (13.21) гарантує, що ці компоненти хвилі швидко підуть до нуля для великих\(z\).

Межа на\(z=0\)

Все, що нам потрібно зробити, щоб визначити форму хвилі для\(z > 0\) - це знайти\(C(k_{x}, k_{y})\). Для цього ми реалізуємо граничну умову at\(z = 0\) за допомогою (13.19)\[\psi(\vec{r}, t)=\int d k_{x} d k_{y} C\left(k_{x}, k_{y}\right) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t} \text { for } z>0\]

і налаштування\[\left.\psi(\vec{r}, t)\right|_{z=0}=f(x, y) e^{-i \omega t}\]

отримати (13.15). Виймаючи загальний фактор\(e^{-i \omega t}\), цей стан є\[f(x, y)=\int d k_{x} d k_{y} C\left(k_{x}, k_{y}\right) e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y\right)}.\]

Якщо\(f(x, y)\) добре поводиться на нескінченності (як це, звичайно, якщо, як ми припускали, він йде до нуля для великих\(x\) і\(y\)), то тільки реальний\(k_{x}\) і\(k_{y}\) може сприяти (13.23). Комплекс\(k_{x}\) буде виробляти внесок, який вибухає або для\(x \rightarrow+\infty\) або\(x \rightarrow-\infty\). Таким чином, інтеграли в (13.23) переходять на дійсне k від −\(\infty\) до\(\infty\).

(13.23) - це лише двовимірне перетворення Фур'є. Використовуючи аргументи, аналогічні тим, які ми використовували при обговоренні сигналів, ми можемо інвертувати їх, щоб знайти\(C\). \[C\left(k_{x}, k_{y}\right)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int d x d y f(x, y) e^{-i\left(k_{x} x+k_{y} y\right)}\]

Вставка (13.24) у (13.19) з (13.20) та (13.21)\[k_{z}=\sqrt{\omega^{2} / v^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}\]

\[\text { if } \operatorname{Im} k_{z}=0 \text { , then } \operatorname{Re} k_{z}>0 \text { ; otherwise } \operatorname{Im} k_{z}>0\]

дає результат для завивки\(\psi(\vec{r}, t)\), для\(z > 0\). Цей результат дійсно дуже загальний. Це тримає для будь-якого розумного\(f(x, y)\).

____________________________

² Наприклад, див. Hecht, глава 10.
³ Дивіться обговорення, починаючи з сторінки 314.
⁴ Зауважимо, що в реальній фізичній ситуації граничні умови часто набагато складніші, ніж (13.16), оскільки фізика граничних має значення. Однак це часто означає, що дифракція в реальній ситуації ще більше.