13.2: Балки
Виготовлення пучка
Розглянемо систему з непрозорим бар'єром вz=0 площині. Якщо його висвітлює плоска хвиля, що рухається вz напрямку +, бар'єр поглинає хвилю повністю. Тепер вирізаємо отвір в бар'єрі. Ви можете подумати, що це створить промінь світла, що рухається у напрямку початкової площини хвилі. Але це не так просто. Це фактично та сама проблема, яку ми розглядали в попередньому розділі, (13.7) - (13.14), з функцієюf(x,y), заданоюf(x,y)e−iωt
де\ [f (x, y) =\ left\ {\ begin {масив} {l}
1\ text {всередині отвору}\\
0\ текст {поза отвором}
\ end {масив}\ справа.\]
Насправді корисно буде подумати про більш загальну проблему, адже функція, (13.16), є переривчастою. Як ми побачимо пізніше, це призводить до більш складних дифракційних явищ, ніж ми бачимо з гладкою функцією. Зокрема, будемо вважати, що значноf(x,y) відрізняється від нуля тільки для малих х і у і йде в нуль для великихx іy. Тоді можна говорити про положення «отвору», яке виробляє промінь, поручx=y=0.
Ми можемо розглядати цю проблему як задачу вимушеного коливання. Набагато простіше проаналізувати фізику, якщо ми ігноруємо поляризацію, тому ми будемо обговорювати скалярні хвилі. Наприклад, ми могли б розглянути поперечні хвилі на гнучкій мембрані або хвилі тиску в газі. Аналогічно, ми могли б розглядати світлові хвилі, які залежать тільки від двох вимірівz,x причому, і поляризовані вy напрямку. Ми не будемо занадто турбуватися про ці тонкощі, тому що, як завжди, основні властивості хвильових явищ будуть визначатися властивостями трансляції інваріантності, які не залежать від того, що це таке, що махає!
застереження
Варто зазначити, що існують і інші підходи до дифракційної задачі, окрім тих, які ми тут обговорюємо. Розглянута нами фізична установка дещо відрізняється від стандартної установки дифракції Гюйгенса-Френеля - Кірхгофа, оскільки ми вивчаємо іншу проблему. У дифракції Гюйгенса-Френеля - Кірхгофа 2 розглядається дифракція плоської хвилі від скінченного об'єкта, тоді як наш непрозорий екран нескінченний уy площиніx -. У випадку Гюйгенса-Френеля відповідною граничною умовою є те, що немає вхідних сферичних хвиль, що повертаються з нескінченності до об'єкта, який робить дифракцію. Дифракція створює лише вихідні сферичні хвилі. Ми не будемо обговорювати цю альтернативну фізичну настройку детально, оскільки вона веде глибше до функцій Бесселя 3, ніж ми (і, ймовірно, читач також) хочемо піти. Перевага нашої формулювання полягає в тому, що ми можемо налаштувати його повністю з рішеннями плоских хвиль, про які ми вже обговорювали. Ми просто вкажемо відмінності між нашим лікуванням та дифракцією Гюйгенса-Френеля. Для дифракції в прямій області, на великих z і не дуже далеко від осі z, дифракція однакова в двох випадках.
Читач також повинен помітити, що ми не пояснили, як саме коливання, (13.15),f(x,y)e−iωt
вz=0 площині виробляється. Це аж ніяк не банальна проблема, але детально обговорювати її ми не будемо. Ми концентруємося на фізиці дляz>0. Це буде досить цікаво.
Межа на∞
Для визначення форми хвиль в областіz>0 (за бар'єром) потрібні граничні умови як в, такz=0 і вz=∞. Вz=0, існує коливальна амплітуда, задана (13.15). 4 При цьому ми повинні накласти умовуz=∞, що немає хвиль, що рухаються уz напрямку − (назад до бар'єру), і що соди добре поводяться∞.
Нормальні режими мають виглядei→k⋅→r−iωt
де→k задовольняє дисперсійному співвідношеннюω2=v2→k2.
Таким чином, з огляду на дві складові→k, ми можемо знайти третю за допомогою (13.18). Таким чином, ми можемо написати рішення якψ(→r,t)=∫dkxdkyC(kx,ky)ei→k⋅→r−iωt for z>0
деkz=√ω2/v2−k2x−k2y.
Зверніть увагу, що (13.20) не визначає ознакуk2. Але гранична умова при∞ робить. Якщоkz реальний, він повинен бути позитивним, щоб описати хвилю, що рухається вправо, подалі від бар'єру. Якщоkz складний, його уявна частина повинна бути позитивною, інакшеei→k⋅→r б підірвати, якz йде∞. Таким чином, if Imkz=0, then Rekz>0 ; otherwise Imkz>0 .
Ми обговорювали фізичне значення граничної умови (13.21) у нашому обговоренні тунелювання, починаючи з сторінки 274. Існує реальна фізика в граничній умові на нескінченності. Наприклад, розглянемо зв'язок між цим аналізом та обговоренням довжин шляхів у попередньому розділі. Мовою останнього розділу ми не можемо описати ефекти хвиль уявнимиkz. Однак гранична умова (13.21) гарантує, що ці компоненти хвилі швидко підуть до нуля для великихz.
Межа наz=0
Все, що нам потрібно зробити, щоб визначити форму хвилі дляz>0 - це знайтиC(kx,ky). Для цього ми реалізуємо граничну умову atz=0 за допомогою (13.19)ψ(→r,t)=∫dkxdkyC(kx,ky)ei→k⋅→r−iωt for z>0
і налаштуванняψ(→r,t)|z=0=f(x,y)e−iωt
отримати (13.15). Виймаючи загальний факторe−iωt, цей стан єf(x,y)=∫dkxdkyC(kx,ky)ei(kxx+kyy).
Якщоf(x,y) добре поводиться на нескінченності (як це, звичайно, якщо, як ми припускали, він йде до нуля для великихx іy), то тільки реальнийkx іky може сприяти (13.23). Комплексkx буде виробляти внесок, який вибухає або дляx→+∞ абоx→−∞. Таким чином, інтеграли в (13.23) переходять на дійсне k від −∞ до∞.
(13.23) - це лише двовимірне перетворення Фур'є. Використовуючи аргументи, аналогічні тим, які ми використовували при обговоренні сигналів, ми можемо інвертувати їх, щоб знайтиC. C(kx,ky)=14π2∫dxdyf(x,y)e−i(kxx+kyy)
Вставка (13.24) у (13.19) з (13.20) та (13.21)kz=√ω2/v2−k2x−k2y
if Imkz=0 , then Rekz>0 ; otherwise Imkz>0
дає результат для завивкиψ(→r,t), дляz>0. Цей результат дійсно дуже загальний. Це тримає для будь-якого розумногоf(x,y).
____________________________
2 Наприклад, див. Hecht, глава 10.
3 Дивіться обговорення, починаючи з сторінки 314.
4 Зауважимо, що в реальній фізичній ситуації граничні умови часто набагато складніші, ніж (13.16), оскільки фізика граничних має значення. Однак це часто означає, що дифракція в реальній ситуації ще більше.