12.6: Контрольний список глав
Тепер ви повинні мати можливість:
- Опишіть поляризацію на бісерної або суцільної нитці;
- Запишіть загальну форму електромагнітної плоскої хвилі і співвіднесіть її з двовимірним вектором,Z;
- Знайти енергію і щільність імпульсу плоскої електромагнітної хвилі;
- Розуміти можливі поляризаційні стани плоської хвилі;
- Аналіз систем поляризаторів і хвильових пластин за допомогою матричного множення;
- Зрозумійте зв'язок між оптичною активністю та передачею;
- Обчисліть відбиття і пропускання площини електромагнітної хвилі від площини кордону між діелектриком для будь-якого кута і знайти і пояснити кут Брюстера.
Проблеми
12.1* Скло з індексом заломленняn=2 сидить вx -y площині, відz=0 доz=ℓ. Плоска хвиля з числом хвиліk (поза склом) виходить на панель під кутомθ від перпендикуляра вx -y площині, зkz=kcosθ іkx=ksinθ.
Для кожного з двох станів поляризації (вy напрямку, і вx -z площині) деяка частка інтенсивності відбивається як функціяθ іk. У цій задачі ми будемо використовувати метод перенесення матриць, розглянутий в главі 9, щоб знайти його. Ми детально розберемо випадок поляризації перпендикулярноx - площиніz розсіювання. Тоді вашим завданням буде повторити розрахунок для поляризації вx -z площині. Для цього ми повинні узагальнити аналіз (12.62) - (12.63) і (12.70) - (12.71) до ситуації з довільними вхідними і вихідними хвилями з обох сторін і до кордону при довільнійz (а неy для цієї задачі). Для стану перпендикулярної поляризації граничні умови виглядають так:\ [\ begin {зібрано}
e^ {i k_ {z} z} T_ {\ perp} ^ {1} +e^ {-i k_ {z} z} R_ {\ perp} ^ {1} =e^ {i k_ {z} ^ {\ prime} z} T_ {\ perp} ^ {2} +e^ {-i k_ {z} ^ {\ прайм} z} R_ {\ perp} ^ {2}\\
n\ cos\ тета\ лівий (e^ {i k_ {z} z} T_ {\ perp} ^ {1} -e^ {- я k_ {z} z} R_ {\ perp} ^ {1}\ праворуч) =n^ {\ прайм}\ cos\ theta^ {\ прайм}\ лівий (e^ {i k_ {z} ^ {\ прайм} z} T_ {\ perp} ^ {2} +e^ {-i k_ {z} ^ {\ прайм} z} R_ {\ perp} ^ {2}\ праворуч)
\ кінець {зібраний}\]
який дає\ [\ ліворуч (\ почати {масив} {l}
T_ {\ perp} ^ {1}\
R_ {\ perp} ^ {1}
\ кінець {масив}\ праворуч) =d (z)\ left (\ begin {масив} {l}
T_ {\ perp} ^ {2}\
R_ {\ perp} ^ {
\ perp} ^ {2})\]
де матриця передачі,d(z) є\ [\ frac {1} {2}\ left (\ begin {масив} {cc}
e^ {-i k_ {z} z} & 0\
0 & e^ {i k_ {z} z}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ лівий (\ begin {масив} {cc}
1+h_ {\ perp} & 1-h_ {\ perp}\\
1-h_ {\ perp} & 1+h_ {\ perp}
\ end {масив}\ праворуч)\ лівий (\ begin {масив} {cc}
e^ {i k_ {z} ^ {\ прайм} z} &
0\ 0 & e^ {-i k_ {z} ^ {\ прайм} z}
\ кінець {масив}\ праворуч)\]
зh⊥=ncosθn′cosθ′.
Перехід від індексуn′ до індексуn приz дає матрицю передачі, яка є оберненоюd(z). Застосовуючи це до цієї задачі, якщоR⊥ іτ⊥ є коефіцієнтами відбиття і передачі від скла, ми маємо\ [\ left (\ begin {масив} {c}
1\
R_ {\ perp}
\ end {масив}\ праворуч) =d (0) d (\ ell) ^ {-1}\ left (\ begin {array} {c}
0\\
\ tau_ {\ perp}
\ кінець {масив}\ право)\]
що передбачає\ [\ почати {вирівняний}
\ tau_ {\ perp} &=\ frac {2 h_ {\ perp} e^ {i k_ {z}\ ell}} {2 h_ {\ perp}\ cos k_ {z} ^ {\ прайм}\ ell-i\ лівий (1+h_ {\ perp} ^ {2}\ z)\ sin k_ {} ^ {\ прайм}\ ell}\\
R_ {\ perp} &=\ розрив {-i\ ліворуч (1-h_ {\ perp} ^ {2}\ праворуч)\ sin k_ {z} ^ {\ прайм}\ ell} {2 h_ {\ perp}\ cos k_ {z} ^ {\ прайм}\ елл-я\ ліворуч (1+h_ {\ perp} ^ {2}\ праворуч)\ sin k_ {z} ^ {\ прайм}\ ell}
\ кінець {вирівняний}\]
Частка відбитої інтенсивності дорівнює|R⊥|2=(1−h2⊥)2sin2k′zℓ4h2⊥cos2k′zℓ+(1+h2⊥)2sin2k′zℓ
Тепер зробіть той же аналіз для поляризації вx -z площині. Знайти|R‖|2. Що відбувається під кутом Брюстера?
12.2. Розглянемо межуx=0 між двома областями порожнього простору. На граничній поверхні приx=0, є тонкий шар матеріалу з поверхневою провідністюσ. Це означає, що електричне поле→E, при цьому компонент паралельний поверхні (вy -z площині) виробляє поверхневу щільність струму в прикордонному шарі:→J(y,z)=(0,σEy(0,y,z),σEz(0,y,z)).
У цій системі є електричне поле наведеного нижче виду:Ez(x,y,t)=Aei(kxcosθ+kysinθ−ωt)+RAei(−k′xcosθ′+k′ysinθ′−ωt)
дляx<0, іEz(x,y,t)=TAei(k′′xcosθ′′+k′′ysinθ′′−ωt)
дляx>0. ExіEy зникають скрізь.
Знайтиk′,k′′,θ′ іθ′′. ЗнайтиT в термініR. Знайти щільність струму на кордоні,→J(y,z). Знайдіть магнітне поле всюди. ЗнайтиR.
Перевірте свій результат,R пояснивши межуσ→∞, надпровідну поверхню. Що відбуваєтьсяR в цій межі і чому?
Підказка: Використовуйте рівняння Максвелла, щоб знайти,→B а потім подивитися на розрив магнітного поля через поверхневий струм.
12.3. Припустимо, що на площинамиz=0 іz=a дляx≥0, є дві плоскі напівнескінченні провідні площини. Припустимо, далі, що коливання системи вимушено якимось пристроєм, який виробляє електричне поле вx=0 площині для0≤z≤a з наступними властивостями:→E точки вy напрямку, але йогоy -складова не залежить відy і дорівнює E0sin(3πz/a)cos(ωt), Деω>3πc/a іc є швидкість світла в вакуумі. Якщо при цьому утворюється біжить хвиля в+x напрямку, знайдіть форму електричного поля всюди між пластинами. Якщо ця біжуча хвиля використовується як несуча хвиля для амплітудно-модульованих сигналів, з якою швидкістю рухається сигнал?
12.4. Розглянемо стоячі електромагнітні хвилі в кубічній евакуйованої коробці з ідеально провідними сторонами вx=0x=L,y=0,y=L,,z=0 іz=L. Існують режими, в яких електричне і магнітне поля зникають поза коробкою, а всередині приймають такий вигляд:\ [\ begin {зібраний}
E_ {z} (x, y, z, t) =A\ omega\ sin k_ {x} x\ sin k_ {y} y\ cos\
b_ {x} (x, y, z, t) =-A k_ {y} k_ {x} х\ cos k_ {y} y\ sin\ омега т\\
B_ {y} (x, y, z, t) =A k_ {x}\ cos k_ {x} x\ sin k_ {y} y\ sin\ омега t\\
E_ {x} =E_ {y} =B_ {z} =0.
\ кінець {зібраний}\]
Ви можете перевірити, що всередині коробки і для правильно підібранихω, вони задовольняють рівняння Максвелла,\ [
\ begin {масив} {r}\ vec {\ nabla}\ times\ vec {E} =-\
\ frac {\ vec {0}\ epsilon_ {0}\ frac {\ часткове\ vec {E}} {\ часткове t} +\ mu_ {0}\ vec {J},\\ vec {
\ nabla}\ cdot\ vec {E} =\ rho,\ quad\ vec {\ nabla}\ cdot\ vec {B} =0.
\ end {масив}\]
Знайтиω як функціюkx іky.
Усередині коробки немає зарядів або струмів, але на кордоні будуть накопичені заряди та струми, щоб обмежити електричні та магнітні поля всередині коробки. Наприклад, ненульова поверхнева щільність заряду з'являється у верхній (z=L) та нижній (z=0). Заряди коливаються назад і вперед зверху вниз, тоді як ненульові поверхневі щільності струму з'являються з усіх боків. Форма вище побудована для задоволення відповідних граничних умов з чотирьох сторінx=0y=0,z=0 іz=L.
Поясніть фізику граничних умов для→E поля з боківx=Ly=L і знайдіть допустимі значенняkx іky. Потім поясніть фізику граничних умов для→E поля з боківx=Ly=L і намалюйте діаграму, щоб пояснити, що відбувається для найменших можливих значеньkx іky. Підказка: Пам'ятайте, що магнітне поле зникає поза коробкою.
12.5. Плоска хвиля світла, що рухається у+z напрямку, поляризується під кутомθ відx осі вy площиніx −. Коли він стикається з листом поляроїда вz=L площині, який пропускає тільки поляризоване світло і кутθ+π2, хвиля повністю поглинається. Однак якщо плоска хвиля спочатку проходить через лист целофану вz=0 площині з «швидкою віссю» уздовжx осі, частина світла потрапляє наскрізь. Припустимо, що целофан вводить різницю фазϕ між складовою світлової хвилі, поляризованої уздовж швидкої(x) осі, і компонентом, поляризованої уздовж повільної(y) осі. Знайти відношення інтенсивності хвилі, що передається за межі поляроїда, до інтенсивності вхідної хвилі в функціїθ іϕ. Підказка: Чи відповідає ваша відповідь на нуль якϕ→0? Що відбувається якθ→0?
12.6. Плоска хвиля світла, що рухається в+z напрямку, поляризується вx напрямку. Коли він стикається з листом поляроїда вz=L площині, який пропускає тількиy поляризоване світло, хвиля повністю поглинається. Однак якщо плоска хвиля спочатку проходить крізь лист целофану вz=0 площині з «швидкою віссю» під кутомθ зx віссю, частина світла потрапляє наскрізь. Припустимо, що целофан вводить різницю фазϕ між хвилею, поляризованої уздовж швидкої осі, і однієї поляризованої уздовж повільної осі. Знайти відношення інтенсивності хвилі, що передається за межі поляроїда, до інтенсивності вхідної хвилі в функціїθ іϕ.
Порівняйте результат з попередньою проблемою і поясніть, що відбувається.
12.7. Припустимо,Q що заряд нерухомий біля початку доt=0. Час від часуt=0t=Δt заряд відчуває рівномірне прискоренняaˆx.
- Використовуйте (12.102), щоб знайти приблизний вираз для електричного поля на великій відстаніr≫aΔt2 від початку.
- Як це порівнюється з тим, що ви бачите в анімації PURCELL?