12.6: Контрольний список глав

Тепер ви повинні мати можливість:

1. Опишіть поляризацію на бісерної або суцільної нитці;
2. Запишіть загальну форму електромагнітної плоскої хвилі і співвіднесіть її з двовимірним вектором,\(Z\);
3. Знайти енергію і щільність імпульсу плоскої електромагнітної хвилі;
4. Розуміти можливі поляризаційні стани плоської хвилі;
5. Аналіз систем поляризаторів і хвильових пластин за допомогою матричного множення;
6. Зрозумійте зв'язок між оптичною активністю та передачею;
7. Обчисліть відбиття і пропускання площини електромагнітної хвилі від площини кордону між діелектриком для будь-якого кута і знайти і пояснити кут Брюстера.

Проблеми

12.1* Скло з індексом заломлення\(n = 2\) сидить в\(x\) -\(y\) площині, від\(z = 0\) до\(z = \ell\). Плоска хвиля з числом хвилі\(k\) (поза склом) виходить на панель під кутом\(\theta\) від перпендикуляра в\(x\) -\(y\) площині, з\(k_{z}=k \cos \theta\) і\(k_{x}=k \sin \theta\).

Для кожного з двох станів поляризації (в\(y\) напрямку, і в\(x\) -\(z\) площині) деяка частка інтенсивності відбивається як функція\(\theta\) і\(k\). У цій задачі ми будемо використовувати метод перенесення матриць, розглянутий в главі 9, щоб знайти його. Ми детально розберемо випадок поляризації перпендикулярно\(x\) - площині\(z\) розсіювання. Тоді вашим завданням буде повторити розрахунок для поляризації в\(x\) -\(z\) площині. Для цього ми повинні узагальнити аналіз (12.62) - (12.63) і (12.70) - (12.71) до ситуації з довільними вхідними і вихідними хвилями з обох сторін і до кордону при довільній\(z\) (а не\(y\) для цієї задачі). Для стану перпендикулярної поляризації граничні умови виглядають так:\ [\ begin {зібрано}
e^ {i k_ {z} z} T_ {\ perp} ^ {1} +e^ {-i k_ {z} z} R_ {\ perp} ^ {1} =e^ {i k_ {z} ^ {\ prime} z} T_ {\ perp} ^ {2} +e^ {-i k_ {z} ^ {\ прайм} z} R_ {\ perp} ^ {2}\\
n\ cos\ тета\ лівий (e^ {i k_ {z} z} T_ {\ perp} ^ {1} -e^ {- я k_ {z} z} R_ {\ perp} ^ {1}\ праворуч) =n^ {\ прайм}\ cos\ theta^ {\ прайм}\ лівий (e^ {i k_ {z} ^ {\ прайм} z} T_ {\ perp} ^ {2} +e^ {-i k_ {z} ^ {\ прайм} z} R_ {\ perp} ^ {2}\ праворуч)
\ кінець {зібраний}\]

який дає\ [\ ліворуч (\ почати {масив} {l}
T_ {\ perp} ^ {1}\
R_ {\ perp} ^ {1}
\ кінець {масив}\ праворуч) =d (z)\ left (\ begin {масив} {l}
T_ {\ perp} ^ {2}\
R_ {\ perp} ^ {
\ perp} ^ {2})\]

де матриця передачі,\(d(z)\) є\ [\ frac {1} {2}\ left (\ begin {масив} {cc}
e^ {-i k_ {z} z} & 0\
0 & e^ {i k_ {z} z}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ лівий (\ begin {масив} {cc}
1+h_ {\ perp} & 1-h_ {\ perp}\\
1-h_ {\ perp} & 1+h_ {\ perp}
\ end {масив}\ праворуч)\ лівий (\ begin {масив} {cc}
e^ {i k_ {z} ^ {\ прайм} z} &
0\ 0 & e^ {-i k_ {z} ^ {\ прайм} z}
\ кінець {масив}\ праворуч)\]

з\[h_{\perp}=\frac{n \cos \theta}{n^{\prime} \cos \theta^{\prime}} .\]

Перехід від індексу\(n^{\prime}\) до індексу\(n\) при\(z\) дає матрицю передачі, яка є оберненою\(d(z)\). Застосовуючи це до цієї задачі, якщо\(R_{\perp}\) і\(\tau_{\perp}\) є коефіцієнтами відбиття і передачі від скла, ми маємо\ [\ left (\ begin {масив} {c}
1\
R_ {\ perp}
\ end {масив}\ праворуч) =d (0) d (\ ell) ^ {-1}\ left (\ begin {array} {c}
0\\
\ tau_ {\ perp}
\ кінець {масив}\ право)\]

що передбачає\ [\ почати {вирівняний}
\ tau_ {\ perp} &=\ frac {2 h_ {\ perp} e^ {i k_ {z}\ ell}} {2 h_ {\ perp}\ cos k_ {z} ^ {\ прайм}\ ell-i\ лівий (1+h_ {\ perp} ^ {2}\ z)\ sin k_ {} ^ {\ прайм}\ ell}\\
R_ {\ perp} &=\ розрив {-i\ ліворуч (1-h_ {\ perp} ^ {2}\ праворуч)\ sin k_ {z} ^ {\ прайм}\ ell} {2 h_ {\ perp}\ cos k_ {z} ^ {\ прайм}\ елл-я\ ліворуч (1+h_ {\ perp} ^ {2}\ праворуч)\ sin k_ {z} ^ {\ прайм}\ ell}
\ кінець {вирівняний}\]

Частка відбитої інтенсивності дорівнює\[\left|R_{\perp}\right|^{2}=\frac{\left(1-h_{\perp}^{2}\right)^{2} \sin ^{2} k_{z}^{\prime} \ell}{4 h_{\perp}^{2} \cos ^{2} k_{z}^{\prime} \ell+\left(1+h_{\perp}^{2}\right)^{2} \sin ^{2} k_{z}^{\prime} \ell}\]

Тепер зробіть той же аналіз для поляризації в\(x\) -\(z\) площині. Знайти\(\left|R_{\|}\right|^{2}\). Що відбувається під кутом Брюстера?

12.2. Розглянемо межу\(x = 0\) між двома областями порожнього простору. На граничній поверхні при\(x = 0\), є тонкий шар матеріалу з поверхневою провідністю\(\sigma\). Це означає, що електричне поле\(\vec{E}\), при цьому компонент паралельний поверхні (в\(y\) -\(z\) площині) виробляє поверхневу щільність струму в прикордонному шарі:\[\overrightarrow{\mathcal{J}}(y, z)=\left(0, \sigma E_{y}(0, y, z), \sigma E_{z}(0, y, z)\right) .\]

У цій системі є електричне поле наведеного нижче виду:\[E_{z}(x, y, t)=A e^{i(k x \cos \theta+k y \sin \theta-\omega t)}+R A e^{i\left(-k^{\prime} x \cos \theta^{\prime}+k^{\prime} y \sin \theta^{\prime}-\omega t\right)}\]

для\(x < 0\), і\[E_{z}(x, y, t)=T A e^{i\left(k^{\prime \prime} x \cos \theta^{\prime \prime}+k^{\prime \prime} y \sin \theta^{\prime \prime}-\omega t\right)}\]

для\(x > 0\). \(E_{x}\)і\(E_{y}\) зникають скрізь.

Знайти\(k^{\prime}\),\(k^{\prime \prime}\),\(\theta^{\prime}\) і\(\theta^{\prime \prime}\). Знайти\(T\) в терміні\(R\). Знайти щільність струму на кордоні,\(\overrightarrow{\mathcal{J}}(y, z)\). Знайдіть магнітне поле всюди. Знайти\(R\).

Перевірте свій результат,\(R\) пояснивши межу\(\sigma \rightarrow \infty\), надпровідну поверхню. Що відбувається\(R\) в цій межі і чому?

Підказка: Використовуйте рівняння Максвелла, щоб знайти,\(\vec{B}\) а потім подивитися на розрив магнітного поля через поверхневий струм.

12.3. Припустимо, що на площинами\(z = 0\) і\(z = a\) для\(x \geq 0\), є дві плоскі напівнескінченні провідні площини. Припустимо, далі, що коливання системи вимушено якимось пристроєм, який виробляє електричне поле в\(x = 0\) площині для\(0 \leq z \leq a\) з наступними властивостями:\(\vec{E}\) точки в\(y\) напрямку, але його\(y\) -складова не залежить від\(y\) і дорівнює \(E_{0} \sin (3 \pi z / a) \cos (\omega t)\), Де\(\omega>3 \pi c / a\) і\(c\) є швидкість світла в вакуумі. Якщо при цьому утворюється біжить хвиля в\(+x\) напрямку, знайдіть форму електричного поля всюди між пластинами. Якщо ця біжуча хвиля використовується як несуча хвиля для амплітудно-модульованих сигналів, з якою швидкістю рухається сигнал?

12.4. Розглянемо стоячі електромагнітні хвилі в кубічній евакуйованої коробці з ідеально провідними сторонами в\(x = 0\)\(x = L\),\(y = 0\),\(y = L\),,\(z = 0\) і\(z = L\). Існують режими, в яких електричне і магнітне поля зникають поза коробкою, а всередині приймають такий вигляд:\ [\ begin {зібраний}
E_ {z} (x, y, z, t) =A\ omega\ sin k_ {x} x\ sin k_ {y} y\ cos\
b_ {x} (x, y, z, t) =-A k_ {y} k_ {x} х\ cos k_ {y} y\ sin\ омега т\\
B_ {y} (x, y, z, t) =A k_ {x}\ cos k_ {x} x\ sin k_ {y} y\ sin\ омега t\\
E_ {x} =E_ {y} =B_ {z} =0.
\ кінець {зібраний}\]

Ви можете перевірити, що всередині коробки і для правильно підібраних\(\omega\), вони задовольняють рівняння Максвелла,\ [
\ begin {масив} {r}\ vec {\ nabla}\ times\ vec {E} =-\
\ frac {\ vec {0}\ epsilon_ {0}\ frac {\ часткове\ vec {E}} {\ часткове t} +\ mu_ {0}\ vec {J},\\ vec {
\ nabla}\ cdot\ vec {E} =\ rho,\ quad\ vec {\ nabla}\ cdot\ vec {B} =0.
\ end {масив}\]

Знайти\(\omega\) як функцію\(k_{x}\) і\(k_{y}\).

Усередині коробки немає зарядів або струмів, але на кордоні будуть накопичені заряди та струми, щоб обмежити електричні та магнітні поля всередині коробки. Наприклад, ненульова поверхнева щільність заряду з'являється у верхній (\(z = L\)) та нижній (\(z = 0\)). Заряди коливаються назад і вперед зверху вниз, тоді як ненульові поверхневі щільності струму з'являються з усіх боків. Форма вище побудована для задоволення відповідних граничних умов з чотирьох сторін\(x = 0\)\(y = 0\),\(z = 0\) і\(z = L\).

Поясніть фізику граничних умов для\(\vec{E}\) поля з боків\(x = L\)\(y = L\) і знайдіть допустимі значення\(k_{x}\) і\(k_{y}\). Потім поясніть фізику граничних умов для\(\vec{E}\) поля з боків\(x = L\)\(y = L\) і намалюйте діаграму, щоб пояснити, що відбувається для найменших можливих значень\(k_{x}\) і\(k_{y}\). Підказка: Пам'ятайте, що магнітне поле зникає поза коробкою.

12.5. Плоска хвиля світла, що рухається у\(+z\) напрямку, поляризується під кутом\(\theta\) від\(x\) осі в\(y\) площині\(x\) −. Коли він стикається з листом поляроїда в\(z = L\) площині, який пропускає тільки поляризоване світло і кут\(\theta+\frac{\pi}{2}\), хвиля повністю поглинається. Однак якщо плоска хвиля спочатку проходить через лист целофану в\(z = 0\) площині з «швидкою віссю» уздовж\(x\) осі, частина світла потрапляє наскрізь. Припустимо, що целофан вводить різницю фаз\(\phi\) між складовою світлової хвилі, поляризованої уздовж швидкої\((x)\) осі, і компонентом, поляризованої уздовж повільної\((y)\) осі. Знайти відношення інтенсивності хвилі, що передається за межі поляроїда, до інтенсивності вхідної хвилі в функції\(\theta\) і\(\phi\). Підказка: Чи відповідає ваша відповідь на нуль як\(\phi \rightarrow 0\)? Що відбувається як\(\theta \rightarrow 0\)?

12.6. Плоска хвиля світла, що рухається в\(+z\) напрямку, поляризується в\(x\) напрямку. Коли він стикається з листом поляроїда в\(z = L\) площині, який пропускає тільки\(y\) поляризоване світло, хвиля повністю поглинається. Однак якщо плоска хвиля спочатку проходить крізь лист целофану в\(z = 0\) площині з «швидкою віссю» під кутом\(\theta\) з\(x\) віссю, частина світла потрапляє наскрізь. Припустимо, що целофан вводить різницю фаз\(\phi\) між хвилею, поляризованої уздовж швидкої осі, і однієї поляризованої уздовж повільної осі. Знайти відношення інтенсивності хвилі, що передається за межі поляроїда, до інтенсивності вхідної хвилі в функції\(\theta\) і\(\phi\).

Порівняйте результат з попередньою проблемою і поясніть, що відбувається.

12.7. Припустимо,\(Q\) що заряд нерухомий біля початку до\(t = 0\). Час від часу\(t = 0\)\(t=\Delta t\) заряд відчуває рівномірне прискорення\(a \hat{x}\).

1. Використовуйте (12.102), щоб знайти приблизний вираз для електричного поля на великій відстані\(r \gg a \Delta t^{2}\) від початку.
2. Як це порівнюється з тим, що ви бачите в анімації PURCELL?