Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

12.2: Електромагнітні хвилі

Загальні електромагнітні плоскі хвилі

clipboard_e6158ab7274d56dd646f1ae4175b430a7.png12-1

Ми побачили в розділах 8 і 9, що електромагнітна плоска хвиля, що рухається в+z напрямку, виглядає так,Ex(z,t)=εxei(kzωt),Ey(z,t)=εyei(kzωt),

Bx(z,t)=βxei(kzωt),By(z,t)=βyei(kzωt),

Ez(z,t)=Bz(z,t)=0,

деβ s визначаються рівняннями Максвеллаβy=ncεx,βx=ncεy.

Як завжди, ми написали хвилю з нескоротною залежністю від часу,eiωt. Щоб отримати реальні електричні і магнітні поля, беремо реальну частину (12,14) - (12,15). Відзначимо, зокрема, що константиεj іβj forj=x іy можуть бути складними.

Обмеження руху вz напрямку не має значення. Оскільки фізика рівнянь Максвелла інваріантна при обертаннях в тривимірному просторі, ми можемо записати форму плоської хвилі, що рухається з довільнимk вектором, шляхом вилучення ознак (12.14) - (12.17), які не залежать від напрямку. Це:

  1. k,E іB є взаємно ортогональними векторами,kE=kB=EB=0;
  2. Bвизначається перехресним добуткомB=ncˆk×E=1ωk×E,
    деˆk одиничнийk вектор у напрямку вектора, напрямок поширення хвилі.

Ці дві умови означають, що загальна реальна електромагнітна плоска хвиля може бути записана як\ [\ begin {вирівняні}
&\ vec {E} =\ operatorname {Re}\ left (\ vec {k}) e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -i\ omega t}\ right)\\
&\ vec {B} =\ ім'я оператора {Re}\ ліворуч (\ vec {b} (\ vec {k}) e^ {i\ vec {k}\ cdot \ vec {r} -i\ омега т}\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}\]

де вектори,e іb, складні, в загальному, задовольняютьb(k)=1ωk×e(k)=ncˆk×e(k) and ˆke(k)=0.

Є дві речі, які слід зазначити про відносини, (12.21).

  1. Досить вказати напрямок електричного поля,e(k). Магнітне поле потім визначається по (12.21). Вектор,e називається «поляризацією» електромагнітної хвилі.
  2. Через (12.21) поляризація перпендикулярна іk, таким чином, живе в двовимірному векторному просторі.

У двовимірному просторі перпендикулярноk, ми можемо вибрати основу дійсних векторів,ˆe1 іˆe2, деˆe1ˆk=ˆe2ˆk=ˆe1ˆe2=0,ˆe1׈e2=ˆk.

Наприклад, для площини хвилі, що рухається вz напрямкуˆk=ˆz, ми могли б взятиe1=ˆx іe2=ˆy. Тоді ми можемо написатиe(k)=ψ1ˆe1+ψ2ˆe2.

Компоненти,ψ1 іψ2 йдуть у двовимірний вектор, (12.3), який описує стан поляризації електромагнітної хвилі, так само, як він описує стан поляризації струни. 1 Ми завжди можемо повернутися до складових електричного поля за допомогою (12.23) та (12.20), а потім знайти магнітне поле за допомогою (12.21).

Тепер все обговорення поперечних хвиль на струні від (12.4) до (12.13) можна взяти на себе для опису поляризованого світла. Напрямок зміщення струни переходить безпосередньо в сторону електричного поля. Таким чином, анімація в програмі 12-1 застосовується так само добре до електричного поля в поляризованій хвилі, як і поляризації в струні.

Енергія та інтенсивність

Щільність енергії в електромагнітному полі дорівнюєE=12(ϵE2+1μB2).

Оскільки щільність енергії є нелінійною функцією напруженості поля, ми повинні використовувати реальні поля в (12.24). Щільність імпульсу дорівнюєP=ϵE×B.

Вектор Пойнтінга, міра потоку енергії, єS=c2P.

Ці величини задовольняютьtE+S=0.

Вектор Пойнтінга корисний тим, що він вимірює інтенсивність хвилі, енергію в одиницю часу на одиницю площі, що переноситься електромагнітною хвилею. Відношення, (12.27), потім виражає збереження енергії. Сума зміни щільності енергії в будь-якій точці плюс енергія, що стікає від неї, дорівнює нулю.

Щоб побачити, як виглядають ці величини з точки зору вектораZ, обчислимо електричне та магнітне поля явно використовуючи (12.20) та (12.21):\ [\ begin {вирівняний}
&\ vec {E} =\ operatorname {Re}\ left (\ vec {e} (\ vec {k}) e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -i\ omega t}\ праворуч)\\
& amp;\ vec {B} =\ ім'я оператора {Re}\ ліворуч (\ vec {b} (\ vec {k}) e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -i\ омега т}\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}\]
b(k)=1ωk×e(k)=ncˆk×e(k) and ˆke(k)=0.

Результатом є\ [\ почати {зібраний}
\ vec {E} =A_ {1}\ hat {e} _ {1}\ cos\ лівий (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега t+\ phi_ {1}\ праворуч) +A_ {2}\ шапка {e} _ {2}\ cos\ ліворуч (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т+\ phi_ {2}\ праворуч),\
\\ vec {B} =\ sqrt {\ му\ епсилон}\ лівий (A_ {1}\ hat {e} _ {2}\ cos\ left (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т+\ phi_ {1}\ праворуч) -A_ {2}\ hat {e} _ {1}\ cos\ ліворуч (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т+\ phi_ {2}\ праворуч)\ праворуч).
\ end {зібраний}\]

Введення цього в (12.24) і (12.26) даєE=ϵ4π(A21cos2(krωt+ϕ1)+A22cos2(krωt+ϕ2)),
S=ˆkϵμc4π(A21cos2(krωt+ϕ1)+A22cos2(krωt+ϕ2)).

Ви можете явно перевірити, що (12.27) задоволений. Оскількиω дуже великий для цікавих електромагнітних хвиль, нас майже завжди цікавлять лише усереднені за часом значенняE іS. Такими єE=ϵ8π(A21+A22),
S=ˆkϵμc8π(A21+A22).

Зверніть увагу, що усереднені за часом значення залежать тільки від кількості|Z|2|ψ1|2+|ψ2|2=A21+A22.

Інтенсивність світла пропорційна|Z|2.

Кругова поляризація та спін

Хоча лінійна поляризація є більш звичною і, можливо, легше зрозуміти, є сенс, в якому кругова поляризація є більш фундаментальною. Плоска електромагнітна хвиля вˆk напрямку може обертатися навколоˆk осі, не змінюючи нічого, крім її стану поляризації. Симетрія обертання фізики говорить про те, що ми повинні вміти знаходити стани, які поводяться просто при такому обертанні, і просто множитися на фазовий коефіцієнт. Ці стани є, по суті, станами кругової поляризації. Дія обертання на кутθ навколоˆk осі на векторі поляризаціїZ, представлена матрицею\ [R_ {\ theta} =\ left (\ begin {масив} {cc}\ cos
\ theta & -\ sin\ theta\\ sin
\ theta &\ cos\ theta
\ end {масив}\ право).

Наприклад,Rθ діючи наu1, (12.4), даєuθ, (12.6):\ [R_ {\ тета}\ left (\ begin {масив} {l}
1\\
0
\ end {масив}\ право) =\ left (\ begin {масив} {l}
\ cos\ тета\
\ sin\ theta
\ end {масив}\ справа).

Але на ліво-і право-кругових поляризованих станах,\ [R_ {\ theta}\ left (\ begin {масив} {l}
1\
i
\ end {масив}\ право) =e^ {-i\ тета}\ left (\ begin {масив}
1\
i
\ end {масив}\ право),\ quad R_ {\ theta}\ left (\ begin {масив} c}
1\\
-i
\ end {масив}\ право) =e^ {i\ тета}\ лівий (\ begin {масив} {c}
1\\
-i
\ end {масив}\ праворуч).\]

Це пов'язано з тим, що циркулярно поляризовані стани несуть максимально можливий момент моменту моменту, що в свою чергу пов'язано з квантово-механічним властивістю спіна фотона.

__________________________

1 Це іноді називають вектором Джонса. Див. Hecht, сторінка 323.