12.2: Електромагнітні хвилі

Загальні електромагнітні плоскі хвилі

12-1

Ми побачили в розділах 8 і 9, що електромагнітна плоска хвиля, що рухається в\(+z\) напрямку, виглядає так,\[E_{x}(z, t)=\varepsilon_{x} e^{i(k z-\omega t)}, \quad E_{y}(z, t)=\varepsilon_{y} e^{i(k z-\omega t)},\]

\[B_{x}(z, t)=\beta_{x} e^{i(k z-\omega t)}, \quad B_{y}(z, t)=\beta_{y} e^{i(k z-\omega t)},\]

\[E_{z}(z, t)=B_{z}(z, t)=0,\]

де\(\beta\) s визначаються рівняннями Максвелла\[\beta_{y}=\frac{n}{c} \varepsilon_{x}, \quad \beta_{x}=-\frac{n}{c} \varepsilon_{y} .\]

Як завжди, ми написали хвилю з нескоротною залежністю від часу,\(e^{-i \omega t}\). Щоб отримати реальні електричні і магнітні поля, беремо реальну частину (12,14) - (12,15). Відзначимо, зокрема, що константи\(\varepsilon_{j}\) і\(\beta_{j}\) for\(j = x\) і\(y\) можуть бути складними.

Обмеження руху в\(z\) напрямку не має значення. Оскільки фізика рівнянь Максвелла інваріантна при обертаннях в тривимірному просторі, ми можемо записати форму плоської хвилі, що рухається з довільним\(\vec{k}\) вектором, шляхом вилучення ознак (12.14) - (12.17), які не залежать від напрямку. Це:

1. \(\vec{k}\),\(\vec{E}\) і\(\vec{B}\) є взаємно ортогональними векторами,\[\vec{k} \cdot \vec{E}=\vec{k} \cdot \vec{B}=\vec{E} \cdot \vec{B}=0 ;\]
2. \(\vec{B}\)визначається перехресним добутком\[\vec{B}=\frac{n}{c} \hat{k} \times \vec{E}=\frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{E} ,\]
   де\(\hat{k}\) одиничний\(\vec{k}\) вектор у напрямку вектора, напрямок поширення хвилі.

Ці дві умови означають, що загальна реальна електромагнітна плоска хвиля може бути записана як\ [\ begin {вирівняні}
&\ vec {E} =\ operatorname {Re}\ left (\ vec {k}) e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -i\ omega t}\ right)\\
&\ vec {B} =\ ім'я оператора {Re}\ ліворуч (\ vec {b} (\ vec {k}) e^ {i\ vec {k}\ cdot \ vec {r} -i\ омега т}\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}\]

де вектори,\(\vec{e}\) і\(\vec{b}\), складні, в загальному, задовольняють\[\vec{b}(\vec{k})=\frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{e}(\vec{k})=\frac{n}{c} \hat{k} \times \vec{e}(\vec{k}) \quad \text { and } \quad \hat{k} \cdot \vec{e}(\vec{k})=0 .\]

Є дві речі, які слід зазначити про відносини, (12.21).

1. Досить вказати напрямок електричного поля,\(\vec{e}(\vec{k})\). Магнітне поле потім визначається по (12.21). Вектор,\(\vec{e}\) називається «поляризацією» електромагнітної хвилі.
2. Через (12.21) поляризація перпендикулярна і\(\vec{k}\), таким чином, живе в двовимірному векторному просторі.

У двовимірному просторі перпендикулярно\(\vec{k}\), ми можемо вибрати основу дійсних векторів,\(\hat{e}_{1}\) і\(\hat{e}_{2}\), де\[\hat{e}_{1} \cdot \hat{k}=\hat{e}_{2} \cdot \hat{k}=\hat{e}_{1} \cdot \hat{e}_{2}=0, \quad \hat{e}_{1} \times \hat{e}_{2}=\hat{k}.\]

Наприклад, для площини хвилі, що рухається в\(z\) напрямку\(\hat{k}=\hat{z}\), ми могли б взяти\(e_{1}=\hat{x}\) і\(e_{2}=\hat{y}\). Тоді ми можемо написати\[\vec{e}(\vec{k})=\psi_{1} \hat{e}_{1}+\psi_{2} \hat{e}_{2}.\]

Компоненти,\(\psi_{1}\) і\(\psi_{2}\) йдуть у двовимірний вектор, (12.3), який описує стан поляризації електромагнітної хвилі, так само, як він описує стан поляризації струни. ¹ Ми завжди можемо повернутися до складових електричного поля за допомогою (12.23) та (12.20), а потім знайти магнітне поле за допомогою (12.21).

Тепер все обговорення поперечних хвиль на струні від (12.4) до (12.13) можна взяти на себе для опису поляризованого світла. Напрямок зміщення струни переходить безпосередньо в сторону електричного поля. Таким чином, анімація в програмі 12-1 застосовується так само добре до електричного поля в поляризованій хвилі, як і поляризації в струні.

Енергія та інтенсивність

Щільність енергії в електромагнітному полі дорівнює\[\mathcal{E}=\frac{1}{2}\left(\epsilon \vec{E}^{2}+\frac{1}{\mu} \vec{B}^{2}\right) .\]

Оскільки щільність енергії є нелінійною функцією напруженості поля, ми повинні використовувати реальні поля в (12.24). Щільність імпульсу дорівнює\[\overrightarrow{\mathcal{P}}=\epsilon \vec{E} \times \vec{B} .\]

Вектор Пойнтінга, міра потоку енергії, є\[\vec{S}=c^{2} \overrightarrow{\mathcal{P}} .\]

Ці величини задовольняють\[\frac{\partial}{\partial t} \mathcal{E}+\vec{\nabla} \cdot \vec{S}=0 .\]

Вектор Пойнтінга корисний тим, що він вимірює інтенсивність хвилі, енергію в одиницю часу на одиницю площі, що переноситься електромагнітною хвилею. Відношення, (12.27), потім виражає збереження енергії. Сума зміни щільності енергії в будь-якій точці плюс енергія, що стікає від неї, дорівнює нулю.

Щоб побачити, як виглядають ці величини з точки зору вектора\(Z\), обчислимо електричне та магнітне поля явно використовуючи (12.20) та (12.21):\ [\ begin {вирівняний}
&\ vec {E} =\ operatorname {Re}\ left (\ vec {e} (\ vec {k}) e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -i\ omega t}\ праворуч)\\
& amp;\ vec {B} =\ ім'я оператора {Re}\ ліворуч (\ vec {b} (\ vec {k}) e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -i\ омега т}\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}\]
\[\vec{b}(\vec{k})=\frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{e}(\vec{k})=\frac{n}{c} \hat{k} \times \vec{e}(\vec{k}) \quad \text { and } \quad \hat{k} \cdot \vec{e}(\vec{k})=0 .\]

Результатом є\ [\ почати {зібраний}
\ vec {E} =A_ {1}\ hat {e} _ {1}\ cos\ лівий (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега t+\ phi_ {1}\ праворуч) +A_ {2}\ шапка {e} _ {2}\ cos\ ліворуч (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т+\ phi_ {2}\ праворуч),\
\\ vec {B} =\ sqrt {\ му\ епсилон}\ лівий (A_ {1}\ hat {e} _ {2}\ cos\ left (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т+\ phi_ {1}\ праворуч) -A_ {2}\ hat {e} _ {1}\ cos\ ліворуч (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т+\ phi_ {2}\ праворуч)\ праворуч).
\ end {зібраний}\]

Введення цього в (12.24) і (12.26) дає\[\mathcal{E}=\frac{\epsilon}{4 \pi}\left(A_{1}^{2} \cos ^{2}\left(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t+\phi_{1}\right)+A_{2}^{2} \cos ^{2}\left(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t+\phi_{2}\right)\right), \]
\[\vec{S}=\hat{k} \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \frac{c}{4 \pi}\left(A_{1}^{2} \cos ^{2}\left(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t+\phi_{1}\right)+A_{2}^{2} \cos ^{2}\left(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t+\phi_{2}\right)\right) .\]

Ви можете явно перевірити, що (12.27) задоволений. Оскільки\(\omega\) дуже великий для цікавих електромагнітних хвиль, нас майже завжди цікавлять лише усереднені за часом значення\(\mathcal{E}\) і\(\vec{S}\). Такими є\[\langle\mathcal{E}\rangle=\frac{\epsilon}{8 \pi}\left(A_{1}^{2}+A_{2}^{2}\right),\]
\[\langle\vec{S}\rangle=\hat{k} \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \frac{c}{8 \pi}\left(A_{1}^{2}+A_{2}^{2}\right) .\]

Зверніть увагу, що усереднені за часом значення залежать тільки від кількості\[|Z|^{2} \equiv\left|\psi_{1}\right|^{2}+\left|\psi_{2}\right|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2} .\]

Інтенсивність світла пропорційна\(|Z|^{2}\).

Кругова поляризація та спін

Хоча лінійна поляризація є більш звичною і, можливо, легше зрозуміти, є сенс, в якому кругова поляризація є більш фундаментальною. Плоска електромагнітна хвиля в\(\hat{k}\) напрямку може обертатися навколо\(\hat{k}\) осі, не змінюючи нічого, крім її стану поляризації. Симетрія обертання фізики говорить про те, що ми повинні вміти знаходити стани, які поводяться просто при такому обертанні, і просто множитися на фазовий коефіцієнт. Ці стани є, по суті, станами кругової поляризації. Дія обертання на кут\(\theta\) навколо\(\hat{k}\) осі на векторі поляризації\(Z\), представлена матрицею\ [R_ {\ theta} =\ left (\ begin {масив} {cc}\ cos
\ theta & -\ sin\ theta\\ sin
\ theta &\ cos\ theta
\ end {масив}\ право).

Наприклад,\(R_{\theta}\) діючи на\(u_{1}\), (12.4), дає\(u_{\theta}\), (12.6):\ [R_ {\ тета}\ left (\ begin {масив} {l}
1\\
0
\ end {масив}\ право) =\ left (\ begin {масив} {l}
\ cos\ тета\
\ sin\ theta
\ end {масив}\ справа).

Але на ліво-і право-кругових поляризованих станах,\ [R_ {\ theta}\ left (\ begin {масив} {l}
1\
i
\ end {масив}\ право) =e^ {-i\ тета}\ left (\ begin {масив}
1\
i
\ end {масив}\ право),\ quad R_ {\ theta}\ left (\ begin {масив} c}
1\\
-i
\ end {масив}\ право) =e^ {i\ тета}\ лівий (\ begin {масив} {c}
1\\
-i
\ end {масив}\ праворуч).\]

Це пов'язано з тим, що циркулярно поляризовані стани несуть максимально можливий момент моменту моменту, що в свою чергу пов'язано з квантово-механічним властивістю спіна фотона.

__________________________

¹ Це іноді називають вектором Джонса. Див. Hecht, сторінка 323.