12.5: Випромінювання

У цьому розділі запишемо електричне і магнітне поля, пов'язані зі зміною щільності заряду і струму.

Поля рухомих зарядів

Оскільки рівняння Максвелла є рівняннями з частинними похідними, для визначення розв'язків необхідно вказати безліч початкових умов або граничних умов. Наприклад, постійне електричне поле всюди - це рішення рівнянь Максвелла вільного простору, а тому до будь-якого рішення можна додати постійне поле і воно все одно буде рішенням. Такі речі повинні визначатися фізичними початковими умовами або граничними умовами. Однією з найцікавіших умов є аналог граничної умови на нескінченності, яку ми обговорювали для одновимірних хвиль. Припустимо, що у вас є всесвіт, який спочатку нерухомий, без електричних струмів, без магнітних полів і тільки електричних полів за рахунок стаціонарних зарядів (які ви знаєте, як обчислити з фізики 15b). У якийсь час ви починаєте переміщати заряди навколо в деякій кінцевій області простору. Які електричні та магнітні поля виробляються таким чином? Це питання має відносно просту відповідь, яка є приємним інтуїтивним узагальненням відносин, які ви дізналися в 15b для електричного та векторного потенціалів від стаціонарних розподілів заряду та струму. Ці відносини були\[\phi(\vec{r})=\int d^{3} r^{\prime} \frac{\rho\left(\vec{r}^{\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\]

\[\vec{A}(\vec{r})=\frac{1}{c} \int d^{3} r^{\prime} \frac{\overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\vec{r}^{\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\]

Узагальнення є\[\phi(\vec{r}, t)=\int d^{3} r^{\prime} \frac{\rho\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\]

\[\vec{A}(\vec{r}, t)=\frac{1}{c} \int d^{3} r^{\prime} \frac{\overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-|\vec{r}-\vec{r}| / c\right)}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\]

Це проста, але нудна вправа в векторному обчисленні, щоб показати, що вони задовольняють рівняння Максвелла. Я не збираюся говорити про це (запишу деривацію в додаток для тих з вас, кому цікаво), але варто спробувати зрозуміти, що означають ці відносини фізично. Важливий фізичний момент, який мають на увазі ці відносини, полягає в тому, що якщо розподіл заряду і струму залежать від часу, а якщо вони виробляють поля, то те, що визначає, що поле\(\vec{r}\) знаходиться в якийсь момент, - це значення розподілу заряду і струму в більш ранні часи. Чим далі йде заряд, тим раніше має бути час. Саме про\(t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\) це говорить нам фактор. Поява цього фактора є своєрідним граничним умовою на нескінченності. Він узгоджується з релятивістської версією принципу причинності. Оскільки інформація не може передаватися швидше, ніж світло, розподіл заряду в просторово-часовій точці\(\left(\vec{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\) може впливати на поля в просторово-часовій точці\((\vec{r}, t)\), тільки якщо\(t \geq t^{\prime}\) і\[\frac{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}{t-t^{\prime}} \leq c\]

Однак у цих співвідношеннях (12.82) і (12.83) умова ще сильніша - розподіл заряду в точці просторового часу\(\left(\vec{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\) може впливати на поля в точці просторового часу,\((\vec{r}, t)\) лише якщо світло може подорожувати безпосередньо від\(\left(\vec{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\) до\((\vec{r}, t)\) - тобто якщо\(t \geq t^{\prime}\) і\[\text { ck }\]

або\[t-t^{\prime}=\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right| / c\]

або\[t^{\prime}=t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\]

Це всього лише слова. Ми цього не вивели! Справжнє обгрунтування цієї дискусії приходить, коли ви перевіряєте, чи відносини насправді задовольняють рівняння Максвелла. Це може чекати фізики 153 або 232 (або додаток, якщо ви поспішаєте). Однак я сподіваюся, що ця дискусія принаймні зробить результат обґрунтованим. Насправді ви вже бачили результат в дії в 15b в обговоренні Перселла електричного поля від заряду, який запускається і зупиняється. Подивіться на АНІМАЦІЇ - PURCELL - поле від заряду, яке раптово прискорюється. Це анімація відомої фігури в книзі Перселла. Цікавою річчю анімації є злам в електричному полі, який поширюється з події прискорення зі швидкістю світла - тому що це світло. Усередині зламу поля - це поля рухомого заряду. Поза видом поля є поля стаціонарного заряду. Злам - електромагнітний шлях - це те, що з'єднує дві асимптотичні області разом. Також цікаво порівнювати з PURCELL2, який ілюструє, що відбувається, якщо спочатку рухомий заряд раптово припиняється.

Тепер давайте подивимося, як виглядають електричне і магнітне поля в важливому межі. Зв'язок між потенціалами і полями наступна:\[\vec{E}=-\vec{\nabla} \phi-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \vec{A}\]

\[\vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}\]

Ці відносини цілком загальні. Особлива межа, яку я хочу розглянути, - це той, в якому заряди та струми обмежені невеликою областю навколо\(\vec{r} = 0\). Тоді ми розглянемо електричні та магнітні поля, вироблені рухомими зарядами далеко, для великих\(|\vec{r}|\). Насправді найпростіше подивитися на магнітне поле:\[\vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}=\vec{\nabla} \times \frac{1}{c} \int d^{3} r^{\prime} \frac{\overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\]

Справа в тому, що локон\((\vec{\nabla} \times)\) може працювати в двох різних місцях,\(1 /\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|\) або на, або на\(-\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right| / c\) в залежності від часу\(\mathcal{J}\). Перший дає внесок, який падає як\(1 / r^{2}\) для великих\(r\), так само, як магнітне поле від часу незалежного розподілу струмів. Але другий дає внесок, який тільки падає, як\(1/r\). Таким чином, цей внесок домінує для великих\(r\). Явно (використовуючи правило ланцюга), це\[\vec{B}=-\frac{1}{c^{2}} \int d^{3} r^{\prime} \frac{\vec{r}-\vec{r}^{\prime}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|^{2}} \times \frac{d}{d t} \overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\vec{r}^{\prime}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

\[\rightarrow-\frac{1}{c^{2}} \frac{1}{r} \int d^{3} r^{\prime} \hat{r} \times \frac{d}{d t} \overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

де в (12.92) ми скинули\(\overrightarrow{r^{\prime}}\) в чисельнику, тому що цей термін падає як\(1 / r^{2}\) для великих\(r\).

Це магнітне поле електромагнітної хвилі. Зверніть увагу, що вона перпендикулярна напрямку руху\((\hat{r})\). \(1/r\)Падіння - це те, що ми очікуємо від електромагнітної хвилі, тому що щільність енергії йде як квадрат поля, і падає,\(1 / r^{2}\) як при поширенні хвилі.

Електричне поле можна обчислити аналогічним чином, хоча потрібно використовувати і збереження електричного заряду. \[\frac{\partial}{\partial t} \rho+\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathcal{J}}=0\]

Як і слід було очікувати, результатом є те, що електричне поле має таку ж величину, як магнітне поле, і перпендикулярно як напрямку руху, так і до магнітного поля. Твір, який відповідає рухається електромагнітної хвилі, можна записати як\[\vec{E} \rightarrow-\frac{1}{c^{2}} \int d^{3} r^{\prime} \frac{\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|} \times\left(\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|^{2}} \times \frac{d}{d t} \overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\right)\]

\[\rightarrow \frac{1}{c^{2}} \frac{1}{r} \int d^{3} r^{\prime} \hat{r} \times\left(\hat{r} \times \frac{d}{d t} \overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\right)\]

Для найнижчого порядку в\(1/r\) для зарядів, що рухаються зі швидкостями набагато меншими\(c\), ми можемо спростити електричне поле в (12,95) шляхом підстановки\[|\vec{r}-\vec{r}| \rightarrow r\]

і запишіть результат як\[\vec{E}(\vec{r}, t) \approx \frac{1}{c^{2}} \frac{1}{r} \int d^{3} r^{\prime} \hat{r} \times\left(\hat{r} \times \frac{d}{d t} \overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-r / c\right)\right)\]

Причина обмеження нерелятивістського руху зарядів полягає в тому, що якщо заряджена частинка рухається зі швидкістю, близькою до швидкості світла, то ми не можемо нехтувати її положенням\(\overrightarrow{r^{\prime}}\), коли вона рухається назустріч\(\vec{r}\). Щоб переконатися в цьому, розглянемо неможливу межу, в якій заряд рухається до точки зі\(\vec{r}\) швидкістю світла. Тоді якщо заряд сприяє електричному полю в один\(\vec{r}\) час, то він також сприяє в більш пізні часи, оскільки частка встигає за рухомою світловою хвилею. Хоча\(v = c\) це неможливо\(v \approx c\), бо\(\overrightarrow{r^{\prime}}\) залежність не можна ігнорувати, оскільки вона призводить до дуже швидкої залежності потенціалів у часі, а отже, і до великих полів. Що відбувається, так це те, що внесок зарядів, що рухаються релятивістично до електричних полів перед ними, посилюється за рахунок факторів\(\frac{c}{c-v}\). Цей ефект широко використовується сьогодні для отримання інтенсивного «світла» від прискорювачів частинок - так званого синхротронного випромінювання. Ви можете побачити цей ефект у ANIMATIONS, якщо ви зробите\(v\) близьким до 1.

Особливо важливим і повчальним випадком (12.97) є нерелятивістський рух одного заряду\(Q\), що рухається по траєкторії\(\vec{R}(t)\). Для цієї системи ⁵\[\overrightarrow{\mathcal{J}}(\vec{r}, t)=Q \vec{v}(t) \delta^{3}(\vec{r}-\vec{R}(t))=Q \frac{d \vec{R}(t)}{d t} \delta^{3}(\vec{r}-\vec{R}(t))\]

Тоді інтеграція над\(d^{3} r^{\prime}\) в\((a)\) усуває\(\delta\) -функцію, а електричне поле вихідної електромагнітної хвилі пропорційно прискоренню,\[\vec{E}(\vec{r}, t) \approx \frac{1}{c^{2}} \frac{1}{r} Q \hat{r} \times(\hat{r} \times \vec{a}(t-r / c))\]

де\[\vec{a}(t)=\frac{d^{2} \vec{R}(l)}{d t^{2}}\]

Все, що перехресні вироби з\(\hat{r}\) роблять, це вибрати мінус складову\(\vec{a}(l-r / c)\), що перпендикулярно\(\vec{r}\). З відомої ідентичності «bac-cab» випливає,\[\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c})-\vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b}),\]

що\[\vec{E}(\vec{r}, t) \approx-\frac{1}{c^{2}} \frac{1}{r} Q(\vec{a}(t-r / c)-\hat{r}(\hat{r} \cdot \vec{a}(t-r / c))) .\]

Це повинно було статися тому, що електричне поле електромагнітної хвилі перпендикулярно її напрямку руху. У цьому випадку для великих хвиля - це майже плоска хвиля\(r\), що рухається у напрямку\(\vec{r}\).

Шаблон антени

Зробимо ще більш явний приклад, розглянувши заряд, який гармонічно коливається вздовж\(z\) осі,\[\vec{R}(t)=\ell \hat{z} \cos \omega t .\]

так що\[\vec{a}(t)=-\ell \omega^{2} \hat{z} \cos \omega t .\]

\[\vec{E}(\vec{r}, t) \approx \frac{\ell \omega^{2}}{c^{2}} \frac{1}{r} Q(\hat{z}-\hat{r}(\hat{r} \cdot \hat{z})) \cos [\omega(t-r / c)] .\]

Вектор\(\hat{z}-\hat{r}(\hat{r} \cdot \hat{z})\) є складовою\(\hat{z}\) перпендикуляра до\(\vec{r}\), як показано на малюнку\( 12.13\).

Малюнок\( 12.13\):

Очевидно, величина\(\hat{z}-\hat{r}(\hat{r} \cdot \hat{z})\) є\(\sin \theta\). Це означає, що інтенсивність електромагнітної хвилі під кутом\(\theta\) від\(z\) осі пропорційна\(\sin ^{2} \theta\). Візерунок інтенсивності можна зручно представити в полярних координатах, де ми будуємо інтенсивність як функцію\(\theta\). Результат наведено нижче. Це «схема антени» для коливального

Малюнок\( 12.14\):

диполь в\(z\) напрямку. Вона показана на малюнку\( 12.14\). Дві частки візерунка виникають тому, що поле є найвищим у\(x\) -\(y\) площині, для, і падає до нуля\(\theta=\pi / 2\), коли ми наближаємося до\(z\) осі,\(\theta = 0\) або\(\theta = \pi\).

Перевірка рівнянь Максвелла

Ці речі називаються сповільненими потенціалами. Це заплутана назва, так як в самих потенціалах дійсно немає нічого особливого. Особливим є припущення про певне співвідношення між потенціалами та зарядами та струмами - що поля виробляються повністю зарядами та струмами. Тут я показую, що вони задовольняють рівняння Максвелла. Я називаю це додатком, тому що ви НЕ несете відповідальності за знання деталей. Я включаю його для вашої загальної освіти.

Деякі математичні речі, які слід помітити про рішення:\[\frac{\partial}{\partial t} \rho+\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathcal{J}}=0\]

має на увазі\[\frac{\partial}{\partial t} \rho+\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathcal{J}}=0\]

Це називається умовою датчика Лоренца. \[\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=-\nabla^{2} \phi-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \cdot \vec{A}\]

\[=\left(-\nabla^{2}+\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \phi\]

\[=\int d^{3} r^{\prime}\left(\rho\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\left(-\nabla^{2}\right) \frac{1}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\right.\]

\[+\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\left(-\nabla^{2}+\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \rho\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

\[\left.-2\left(\vec{\nabla} \rho\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\right) \cdot\left(\vec{\nabla} \frac{1}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\right)\right)\]

Перший термін - це той, який ми хочемо. Це\[=\int d^{3} r^{\prime} \rho\left(\vec{r}^{\prime}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right) 4 \pi \delta^{3}\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)\]

\[=4 \pi \rho(\vec{r}, t)\]

Інші два терміни скасовують через спеціальну форму змінної\(t-\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right| / c\). \[\frac{1}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\left(-\nabla^{2}+\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \rho\left(\vec{r}^{\prime}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

\[-2\left(\vec{\nabla} \rho\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\right) \cdot\left(\vec{\nabla} \frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\right)\]

\[=\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \frac{1}{c^{2}} \ddot{\rho}\left(\vec{r}^{\prime}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

\[+\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \frac{1}{c} \vec{\nabla} \cdot \frac{\vec{r}-\vec{r}^{\prime}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \dot{\rho}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

\[-2 \frac{1}{c} \frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \dot{\rho}\left(\vec{r}^{\prime}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

де\(*\) означає диференціювання по відношенню до тимчасової змінної:\[\left.\dot{\rho}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right) \equiv \frac{\partial}{\partial t^{\prime}} \rho\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t^{\prime}\right)\right|_{t^{\prime}=t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c}\]

\(i\)і\(ii\) походять від\(a\) (від\(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\) і\(−\nabla^{2}\) термінів відповідно) і\(iii\) походить від\(b\). Тепер він\(\vec{\nabla}\)\(ii\) дає два терміни — діє на\(\dot{\rho}\) скасування\(i\) і діє на скасування\(iii\). Таким чином\[\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=4 \pi \rho .\]

Так само,\[\vec{\nabla} \times \vec{B}-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \vec{E}\]

\[=\vec{\nabla} \times(\vec{\nabla} \times \vec{A})-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\left(-\vec{\nabla} \phi-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \vec{A}\right)\]

\[=\vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A})-\nabla^{2} \vec{A}-\vec{\nabla}\left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \phi\right)+\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \vec{A}\]

або використовуючи калібрувальну умову Лоренца,\[=\left(-\nabla^{2}+\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \vec{A}\]

Форма тут далі, деривація така ж, як і для\(\vec{\nabla} \cdot \vec{E}\), і ми знаходимо\[\vec{\nabla} \times \vec{B}-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \vec{E}=\frac{4 \pi}{c} \overrightarrow{\mathcal{J}}\]

КВЕД.

__________________

⁵ Це рівняння використовує позначення Δ-функції. Для фізика, Δ-функція δ (x) - це просто функція, яка має область 1 і настільки різко досягла максимуму навколо х = 0, що нам байдуже, як вона виглядає. Все, що має значення, - це площа і де пік. Δ3 ~ ¡~r − R (t) ¢ у рівнянні насправді є добутком трьох дельта-функцій, для компонентів x, y та z, і просто говорить вам, що ~r = (x, y, z) = R~ (t) = ¡X (t), Y (t), Z (t) ¢ - це те, що частинка рухається по траєкторії R~ (t). Для математичного обговорення Δ-функції ви можете подивитися на http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html. Але не лякайтеся. Це просто простий пристрій для ігнорування дрібних деталей, які нас не хвилюють. Якщо ви переводите інтеграл в слова або картинки, це може допомогти.