12.4: Межа між діелектриками

Повернемося до нескінченної площини кордону між двома діелектриками, про яку ми говорили в главі 9, але тепер розглянемо електромагнітну хвилю, що надходить під довільним кутом. Як і в розділі 5, ми будемо вважати, що межа - це\(z = 0\) площина, і що для\(z < 0\) нас є діелектрична проникність\(\epsilon\), в той час як для\(z > 0\), діелектрична проникність\(\epsilon^{\prime}\). Ми припускаємо\(\mu=1\) всюди.

На загальних підставах інваріантності перекладу та локальних взаємодій, розглянутих у попередньому розділі, всі складові електричного та магнітного полів матимуть загальний вигляд\ [\ begin {array} {cl}
\ psi (r, t)\ propto e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r}} +R e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r}\ текст { для} z\ leq 0\
\ psi (r, t)\ propto\ тау e^ {i\ vec {k} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {r}} &\ текст {для} z\ geq 0
\ кінець {масив}\]

де\[\tilde{k}_{x}=k_{x}, \quad k_{x}^{\prime}=k_{x} ,\]

і\ [\ почати {зібраний}
\ тильда {k} _ {z} =-\ sqrt {\ омега^ {2}/v^ {2} -k_ {x} ^ {2}} =-k_ {z} ^ {\
прайм} =\ sqrt {\ омега^ {2}/v^ {\ прайм 2} -k_ {x} {2}}
\ end {зібрано}.\]

Таким чином, закон Снелла задовольняється\(\theta\) і\(\theta^{\prime}\) визначається, як показано на малюнку\( 12.10\). \ [\ почати {вирівняний}
&k\ cdot\ sin\ тета = k^ {\ прайм}\ sin\ theta^ {\ прайм}. \\
&|\ vec {k} |=\ sqrt {\ му\ епсилон}\ frac {\ омега} {c} = n\ frac {\ омега} {c}\\
&n\ sin\ theta=n^ {\ прайм}\ sin\ theta^ {\ прайм}.
\ end {вирівняний}\]

Малюнок\( 12.10\): Розсіювання плоских хвиль від плоского кордону.

Деталі розсіювання будуть залежати від поляризації. Зрозуміло (по симетрії, як зазвичай), що два випадки поляризації в\(x\) -\(z\) площині і поляризації перпендикулярно\(x\) -\(z\) площині. Звичайно, ми нічого не втрачаємо, розглядаючи ці два окремо, через лінійність. Будь-яка поляризація для вхідної хвилі може бути вирішена шляхом формування лінійної комбінації паралельного і перпендикулярного розв'язків.

Поляризація, перпендикулярна площині розсіювання

Розглянемо спочатку перпендикулярну поляризацію. Це означає, що електричне поле знаходиться в\(y\) напрямку (з площини паперу), тоді як магнітне поле\(x\) -\(z\) площина: ⁴\ [\ begin {зібрано}
E_ {y} (r, t) =A e^ {i (\ vec {k}\ vec {r} -\ omega t)} +R_ {\ perp} A e^ {i (\ tilde {k}\ cdot vec {r} -\ омега т)}\ квадрат\ текст {для} z\ leq 0\\
E_ {y} (r, t) =\ tau_ {\ perp} A e^ {i\ left (\ vec {k} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {r} -\ омега т\ право)}\ квадрад\ текст {для} z\ geq 0\\
E_ {z} =E_ {z} =E_ {x} =0
кінець {зібраний}\]

Використання (12.19)\[\vec{B}=\frac{n}{c} \hat{k} \times \vec{E}=\frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{E} ,\]

ми можемо написати\ [\ почати {масив} {rlr}
B_ {x} (r, t) =-\ frac {n} {c} A\ cos\ тета е^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} +\ frac {n} {c}\ cos\ тета R_ {\ perp} А е^ {i\ vec k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} &\ текст {для} z\ leq 0\\
B_ {x} (r, t) —\ frac {n^ {\ прайм}} {c}\ cos\ theta^ {\ прайм}\ tau_ {\ perp} A e^ {i\ лівий (\ vec {k} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {r} -\ омега т\ вправо)} &\ текст {для} z\ geq 0\\
B_ {z} (r, t) =\ frac {n} {c}\ sin\ тета A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега t)} +\ frac {n} {c}\ sin\ тета R_ {\ perp} A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} &\ текст {для} z\ leq 0\\
B_ {z} (r, t) =\ frac {n^ {\ прайм}} {c}\ sin\ theta^ {\ прайм}\ tau_ {\ perp} А е^ {i\ left (\ vec {k} ^ {\ cdot\ vec {r} -\ омега т\ право)} &\ текст {для} z\ geq 0\\
B_ {y} =0 &
\ end {масив}\]

Система показана на рис\( 12.11\). На цьому малюнку показані напрямки магнітних полів вхідних (\(\vec{B}_{i}\)), відбитих (\(\vec{B}_{r}\)) і переданих (\(\vec{B}_{t}\)) складових хвиль при розсіюванні електромагнітної плоскої хвилі, поляризованої паралельно площині діелектричної межі. \(\vec{k}\)Вектори показані безпосередньо під магнітними полями. Нетривіальні граничні умови є те, що\(E_{y}\) і\(B_{x}\) є неперервними (останні тому, що ми\(\mu=1\) припустили, що немає аркуша зв'язаного струму на кордоні). \(B_{z}\)також є безперервним, але це не дає нової інформації. Таким чином\[1+R_{\perp}=\tau_{\perp}\]

де\[\xi_{\perp}=\frac{k_{z}^{\prime}}{k_{z}} .\]

Поляризація в площині розсіювання

Поляризація в\(z\) площині\(x\) - виглядає як\ [\ begin {масив} {cl}
B_ {y} (r, t) =A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} +R_ {\\ |} А е^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} &\ текст {для leq 0\\
B_ {y} (r, t) =\ tau_ {\ |} А е^ {i\ ліворуч (\ vec {k} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {r} -\ омега t\ право)} &\ текст {для} z\ geq 0\\
B_ {z} =B_ {x} =0, &
\ end {масив}\]

де для зручності ми визначили коефіцієнти відбиття і пропускання через магнітні поля, і\ [\ begin {масив} {rlr}
E_ {x} (r, t) =\ frac {c} {n}\ cos\ theta A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ omega t)} -\ frac {c} {n}\ cos тета R_ {\ |} A e^ {i (-\ overrightarrow {\ vec {k}}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} &\ текст {для} z\ leq 0\\
E_ {x} (r, t) =\ frac {c} {n^ {\ прайм}}\ cos\ theta^ {\ прайм}\ tau_ {\ |} А е^ {i\ ліво (\ vec {k} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {r} -\ омега т\ вправо}) & &\ текст {для} z\ geq 0\\
E_ {z} (r, t) =-\ frac {c} {n}\ sin\ тета А e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} -\ frac {c} {n}\ sin\ тета R_ {\ |} A e^ {i (-\ тильда {\ vec {k}}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} &\ текст {для} z\ leq 0\\
E_ {z} (r, t) =-\ frac {c} {n^ {\ прайм}}\ sin\ theta ^ {\ прайм}\ tau_ {\ |} A e^ {i\ лівий (\ vec {k} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {r} -\ омега т\ право)} &\ текст {для} z\ geq 0\\
E_ {z } =0. &
\ end {масив}\]

Тепер нетривіальними граничними умовами є безперервність\(B_{y}\) і\(E_{x}\). \(E_{z}\)не є безперервним, оскільки поверхнева зв'язана щільність заряду накопичується на кордоні діелектрика. Прикордонні умови виходу\[1+R_{\|}=\tau_{\|}\]

\[\frac{\cos \theta}{n}\left(1-R_{\|}\right)=\frac{\cos \theta^{\prime}}{n^{\prime}} \tau_{\|}\]

або\[\tau_{\|}=\frac{2}{1+\xi_{\|}}\]

\[R_{\|}=\frac{1-\xi \|}{1+\xi_{\|}}\]

де\[\xi_{\|}=\frac{\cos \theta^{\prime} / n^{\prime}}{\cos \theta / n}=\frac{n^{2} k_{z}^{\prime}}{n^{\prime 2} k_{z}} .\]

Одна з цікавих речей про (12.74) полягає в тому, що коли\[\frac{n^{2} k_{z}^{\prime}}{n^{\prime 2} k_{z}}-1\]

немає роздумів. Ця умова задовольняється для особливого кута падіння, який називається кутом Брюстера. Ми можемо зрозуміти значення кута Брюстера наступним чином:\[\text { from Snell's law, } \frac{n^{2}}{n^{\prime 2}}-\frac{\sin ^{2} \theta^{\prime}}{\sin ^{2} \theta}\]

\[\frac{k_{z}^{\prime}}{k_{z}}=\frac{k_{x} / k_{z}}{k_{x}^{\prime} / k_{z}^{\prime}}=\frac{\tan \theta}{\tan \theta^{\prime}}\]

\[\frac{n^{2} k_{z}^{\prime}}{n^{\prime 2} k_{z}}=\frac{\sin \theta^{\prime} \cos \theta^{\prime}}{\sin \theta \cos \theta}=1 .\]

Таким чином\(\sin 2 \theta=\sin 2 \theta^{\prime}\). Тому що\(\theta \neq \theta^{\prime}\) (це була б тривіальна ситуація без кордонів), це означає, що\[\theta=\pi / 2-\theta^{\prime} .\]

Іншими словами, кут Брюстера визначається умовою, що відбиті і передані плоскі хвилі перпендикулярні, як показано на схемі на малюнку\( 12.12\). Актуальність цієї умови полягає в тому, що відбита хвиля може розглядатися як вироблена рухом зарядів на кордоні. Але якщо вони рухаються в напрямку, перпендикулярному електричному полю в потенційній відбитій хвилі, то хвиля не може бути вироблена.

Малюнок\( 12.12\): Ангел Брюстера.

_____________________

⁴ Величини,\(R_{\perp}\) а\(\tau_{\perp}\) в цьому розділі\(R_{\|}\) і\(\tau_{\|}\) в наступному умовно називаються «коефіцієнти Френеля». Див. Hecht, сторінка 97.