12.4: Межа між діелектриками
Повернемося до нескінченної площини кордону між двома діелектриками, про яку ми говорили в главі 9, але тепер розглянемо електромагнітну хвилю, що надходить під довільним кутом. Як і в розділі 5, ми будемо вважати, що межа - цеz=0 площина, і що дляz<0 нас є діелектрична проникністьϵ, в той час як дляz>0, діелектрична проникністьϵ′. Ми припускаємоμ=1 всюди.
На загальних підставах інваріантності перекладу та локальних взаємодій, розглянутих у попередньому розділі, всі складові електричного та магнітного полів матимуть загальний вигляд\ [\ begin {array} {cl}
\ psi (r, t)\ propto e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r}} +R e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r}\ текст { для} z\ leq 0\
\ psi (r, t)\ propto\ тау e^ {i\ vec {k} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {r}} &\ текст {для} z\ geq 0
\ кінець {масив}\]
де˜kx=kx,k′x=kx,
і\ [\ почати {зібраний}
\ тильда {k} _ {z} =-\ sqrt {\ омега^ {2}/v^ {2} -k_ {x} ^ {2}} =-k_ {z} ^ {\
прайм} =\ sqrt {\ омега^ {2}/v^ {\ прайм 2} -k_ {x} {2}}
\ end {зібрано}.\]
Таким чином, закон Снелла задовольняєтьсяθ іθ′ визначається, як показано на малюнку12.10. \ [\ почати {вирівняний}
&k\ cdot\ sin\ тета = k^ {\ прайм}\ sin\ theta^ {\ прайм}. \\
&|\ vec {k} |=\ sqrt {\ му\ епсилон}\ frac {\ омега} {c} = n\ frac {\ омега} {c}\\
&n\ sin\ theta=n^ {\ прайм}\ sin\ theta^ {\ прайм}.
\ end {вирівняний}\]
Малюнок12.10: Розсіювання плоских хвиль від плоского кордону.
Деталі розсіювання будуть залежати від поляризації. Зрозуміло (по симетрії, як зазвичай), що два випадки поляризації вx -z площині і поляризації перпендикулярноx -z площині. Звичайно, ми нічого не втрачаємо, розглядаючи ці два окремо, через лінійність. Будь-яка поляризація для вхідної хвилі може бути вирішена шляхом формування лінійної комбінації паралельного і перпендикулярного розв'язків.
Поляризація, перпендикулярна площині розсіювання
Розглянемо спочатку перпендикулярну поляризацію. Це означає, що електричне поле знаходиться вy напрямку (з площини паперу), тоді як магнітне полеx -z площина: 4\ [\ begin {зібрано}
E_ {y} (r, t) =A e^ {i (\ vec {k}\ vec {r} -\ omega t)} +R_ {\ perp} A e^ {i (\ tilde {k}\ cdot vec {r} -\ омега т)}\ квадрат\ текст {для} z\ leq 0\\
E_ {y} (r, t) =\ tau_ {\ perp} A e^ {i\ left (\ vec {k} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {r} -\ омега т\ право)}\ квадрад\ текст {для} z\ geq 0\\
E_ {z} =E_ {z} =E_ {x} =0
кінець {зібраний}\]
Використання (12.19)→B=ncˆk×→E=1ω→k×→E,
ми можемо написати\ [\ почати {масив} {rlr}
B_ {x} (r, t) =-\ frac {n} {c} A\ cos\ тета е^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} +\ frac {n} {c}\ cos\ тета R_ {\ perp} А е^ {i\ vec k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} &\ текст {для} z\ leq 0\\
B_ {x} (r, t) —\ frac {n^ {\ прайм}} {c}\ cos\ theta^ {\ прайм}\ tau_ {\ perp} A e^ {i\ лівий (\ vec {k} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {r} -\ омега т\ вправо)} &\ текст {для} z\ geq 0\\
B_ {z} (r, t) =\ frac {n} {c}\ sin\ тета A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега t)} +\ frac {n} {c}\ sin\ тета R_ {\ perp} A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} &\ текст {для} z\ leq 0\\
B_ {z} (r, t) =\ frac {n^ {\ прайм}} {c}\ sin\ theta^ {\ прайм}\ tau_ {\ perp} А е^ {i\ left (\ vec {k} ^ {\ cdot\ vec {r} -\ омега т\ право)} &\ текст {для} z\ geq 0\\
B_ {y} =0 &
\ end {масив}\]
Система показана на рис12.11. На цьому малюнку показані напрямки магнітних полів вхідних (→Bi), відбитих (→Br) і переданих (→Bt) складових хвиль при розсіюванні електромагнітної плоскої хвилі, поляризованої паралельно площині діелектричної межі. →kВектори показані безпосередньо під магнітними полями. Нетривіальні граничні умови є те, щоEy іBx є неперервними (останні тому, що миμ=1 припустили, що немає аркуша зв'язаного струму на кордоні). Bzтакож є безперервним, але це не дає нової інформації. Таким чином1+R⊥=τ⊥
деξ⊥=k′zkz.
Поляризація в площині розсіювання
Поляризація вz площиніx - виглядає як\ [\ begin {масив} {cl}
B_ {y} (r, t) =A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} +R_ {\\ |} А е^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} &\ текст {для leq 0\\
B_ {y} (r, t) =\ tau_ {\ |} А е^ {i\ ліворуч (\ vec {k} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {r} -\ омега t\ право)} &\ текст {для} z\ geq 0\\
B_ {z} =B_ {x} =0, &
\ end {масив}\]
де для зручності ми визначили коефіцієнти відбиття і пропускання через магнітні поля, і\ [\ begin {масив} {rlr}
E_ {x} (r, t) =\ frac {c} {n}\ cos\ theta A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ omega t)} -\ frac {c} {n}\ cos тета R_ {\ |} A e^ {i (-\ overrightarrow {\ vec {k}}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} &\ текст {для} z\ leq 0\\
E_ {x} (r, t) =\ frac {c} {n^ {\ прайм}}\ cos\ theta^ {\ прайм}\ tau_ {\ |} А е^ {i\ ліво (\ vec {k} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {r} -\ омега т\ вправо}) & &\ текст {для} z\ geq 0\\
E_ {z} (r, t) =-\ frac {c} {n}\ sin\ тета А e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} -\ frac {c} {n}\ sin\ тета R_ {\ |} A e^ {i (-\ тильда {\ vec {k}}\ cdot\ vec {r} -\ омега т)} &\ текст {для} z\ leq 0\\
E_ {z} (r, t) =-\ frac {c} {n^ {\ прайм}}\ sin\ theta ^ {\ прайм}\ tau_ {\ |} A e^ {i\ лівий (\ vec {k} ^ {\ прайм}\ cdot\ vec {r} -\ омега т\ право)} &\ текст {для} z\ geq 0\\
E_ {z } =0. &
\ end {масив}\]
Тепер нетривіальними граничними умовами є безперервністьBy іEx. Ezне є безперервним, оскільки поверхнева зв'язана щільність заряду накопичується на кордоні діелектрика. Прикордонні умови виходу1+R‖=τ‖
cosθn(1−R‖)=cosθ′n′τ‖
абоτ‖=21+ξ‖
R‖=1−ξ‖1+ξ‖
деξ‖=cosθ′/n′cosθ/n=n2k′zn′2kz.
Одна з цікавих речей про (12.74) полягає в тому, що колиn2k′zn′2kz−1
немає роздумів. Ця умова задовольняється для особливого кута падіння, який називається кутом Брюстера. Ми можемо зрозуміти значення кута Брюстера наступним чином: from Snell's law, n2n′2−sin2θ′sin2θ
k′zkz=kx/kzk′x/k′z=tanθtanθ′
n2k′zn′2kz=sinθ′cosθ′sinθcosθ=1.
Таким чиномsin2θ=sin2θ′. Тому щоθ≠θ′ (це була б тривіальна ситуація без кордонів), це означає, щоθ=π/2−θ′.
Іншими словами, кут Брюстера визначається умовою, що відбиті і передані плоскі хвилі перпендикулярні, як показано на схемі на малюнку12.12. Актуальність цієї умови полягає в тому, що відбита хвиля може розглядатися як вироблена рухом зарядів на кордоні. Але якщо вони рухаються в напрямку, перпендикулярному електричному полю в потенційній відбитій хвилі, то хвиля не може бути вироблена.
Малюнок12.12: Ангел Брюстера.
_____________________
4 Величини,R⊥ аτ⊥ в цьому розділіR‖ іτ‖ в наступному умовно називаються «коефіцієнти Френеля». Див. Hecht, сторінка 97.