3.3: Звичайні режими
Якщо є тільки один ступінь свободи, то обидваX іM−1 є просто числами і розв'язки рівняння руху, (3,62), мають вигляд постійної амплітуди, що разів експоненціальний коефіцієнт. Насправді ми побачили, що ця форма пов'язана з дуже загальним фактом про фізику — інваріантністю перекладу часу (1.33). Аргументи глави 1, (1.71) - (1.85), не залежали від кількості ступенів свободи. Таким чином, вони показують, що тут знову ми можемо знайти незвідні рішення, які йдуть в себе до загальної константи, коли годинник скидаються. Як і в розділі 1, перший крок полягає в тому, щоб дозволити рішенням бути складними. Тобто замінюємо (3,62) наd2Zdt2=−M−1KZ,
деZ складнийn вектор з компонентами,zj. Реальними частинами компонентівZ є компоненти реального розчину, що задовольняють (3,62),xj=Rezj.
Ми скажемо, що реальний векторX,, є реальною частиною складного вектораZ,X=ReZ,
якщо (3.64) задоволений.
Так само, як і в розділі 1, ми знаємо, що ми можемо знайти нескорочувані рішення, які мають однакову форму аж до загальної константи, коли годинник скидаються. Ми знаємо з (1.85), що вони мають формуZ(t)=Ae−iωt
деA є якась постійнаn -вектор і кутова частотаω, все одно просто число. Тепер якщоt→t+a,\ [Z (t)\ стрілка вправо Z (t+a) =e^ {=i\ омега a} Z (t).\)
Хоча незведена форма, (3.66), походить якраз від часу трансляції інваріантності, ми все одно повинні дивитися на рівняння руху, щоб визначити вектор,A і кутову частоту,ω. Вставляючи (3.66) у (3.63), роблячи диференціацію та скасовуючи експоненціальні фактори з обох сторін, ми виявляємо, що (3.66) є рішенням, якщоω2A=M−1KA.
Дане матричне рівняння є рівнянням власногозначення того виду, який ми обговорювали в (3.51) - (3.57). ω2є власним значенням матриціM−1K іA є відповідним власним вектором. Давайте подивимося, що це означає фізично.
Реальна частина вектора стовпцяZ визначає зміщення кожної зі ступенів свободи системи. Рівняння власних значень (3.68) не передбачає жодних комплексних чисел (тому що ми не ставили жодного демпфування). Тому (як ми побачимо явно нижче), ми можемо вибрати рішення так, щоб всі компоненти булиA реальними. Тоді реальна частина складних рішень, які ми шукаємо в (3.66)X(t)=Acosωt,
або за складовимиA,\ [A=\ left (\ begin {масив} {c}
a_ {1}\
a_ {2}\\ vdots
\ end {масив}\ правий).\]
x1(t)=a1cosωt,x2(t)=a2cosωt, etc.
Мало того, що все рухається з однаковою частотою, але фіксуються співвідношення переміщень окремих ступенів свободи. Все коливається по фазі. Єдина відмінність руху різних ступенів свободи полягає в їх різній амплітуді від різних складовихA.
Сенс варто повторити. Інваріантність та лінійність трансляції часу означають, що ми завжди можемо знайти незвідні розв'язки (3.67), в яких всі ступені свободи коливаються з однаковою частотою. Додатковий фрагмент інформації, який призводить до (3.69) є динамічним. Якщо демпфування немає, то всі складовіA можуть бути обрані реальними, а всі ступені свободи коливаються не тільки з однаковою частотою, але і з однаковою фазою.
Якщо таке рішення має задовольнити рівняння руху, то прискорення також має бути пропорційнимA, щоб окремі переміщення не вийшли з синхронізації. Але це те, що нам говорить (3.68). −M−1Kце матриця, яка, впливаючи на зміщення, дає прискорення. Рівняння власних значень (3.68) означає, що прискоренняA знову пропорційне. Константа пропорційностіω2, - це сила повернення на одиницю переміщення на одиницю маси для конкретного зміщення, заданогоA.
Ми вже обговорювали математичну структуру рівняння власногозначення в (3.51) - (3.57). Ми зробимо це знову, для акценту, у випадку фізичного інтересу, (3.68). Повинно бути зрозуміло, що не кожне значенняA іω2 дає рішення (3,68). Ми вирішимо для дозволених значень, спочатку знайшовши можливі значення,\oemga2 а потім знайдемо відповідні значенняA. Щоб знайти власні значення, зауважте, що (3.68) можна переписати як[M−1K−ω2I]A=0,
деI - матрицяn×n ідентичності. (3.72) - це просто компактний спосіб представленняn однорідних лінійних рівнянь уn компонентах, відA яких залежать коефіцієнтиω2. У (3.47) і (3.48) ми побачили, що для системn однорідних лінійних рівнянь уn невідомих ненульовому розв'язку існує тоді і лише тоді, коли детермінант матриці коефіцієнтів зникає. Причина полягає в тому, що якби визначник був ненульовимM−1K−ω2I, то матриця мала б обернену, і ми могли б використовувати (3.31), щоб зробити висновок, що єдиним рішенням для вектораA, єA=0. Таким чином, щоб мати ненульову амплітудуA, ми повинні матиdet[M−1K−ω2I]=0.
(3.73) - поліноміальне рівняння дляω2. Це рівняння ступеняn вω2, тому що термін у визначнику з добутку всіх діагональних елементів матриці містить шматок, який йде як[ω2]n. Всі коефіцієнти в многочлені дійсні. Фізично ми очікуємо, що всі рішення будуть реальними та позитивними, коли система знаходиться в стабільній рівновазі, оскільки ми очікуємо, що такі системи коливатимуться.ω2 Математично ми можемо показати, щоω2 це завжди реально, до тих пір, поки всі маси позитивні. Ми зробимо це нижче в (3.127) - (3.130).
ω2Негативні пов'язані з нестабільною рівновагою. Наприклад, розглянемо масу на кінці жорсткого стрижня, вільно розгойдуватися в земному гравітаційному полі у вертикальній площині навколо шарніра без тертя, як показано на малюнку3.5. Маса може переміщатися по пунктирній лінії. Стабільне положення рівноваги позначається суцільною лінією. Нестійке положення рівноваги позначається пунктирною лінією.
Малюнок3.5: Маса на жорсткому стрижні, вільно розгойдуватися в земній гравітації у вертикальній площині.
Коли маса знаходиться в нестійкій точці рівноваги, найменше порушення призведе до її падіння. Опинившись від рівноваги, зміщення збільшується експоненціально, поки кут від вертикалі не стане настільки великим, що нелінійності в рівнянні руху для цієї системи переймають. Цей нелінійний осцилятор ми обговоримо далі в додатку B.
Після того, як ми знайшли можливі значенняω2, ми можемо поставити кожне з них назад у (3.72), щоб отримати відповіднеA. Оскільки (3,72) є однорідним, загальна шкала неA визначається, але всі співвідношенняaj/ak, фіксуються для кожногоω2.
Нормальні режими і частоти
ВекторA називається «нормальним режимом» системи, пов'язаної з частотоюω. ОскількиA це реально, за відсутності тертя складні рішення (3.66) можуть бути об'єднані в реальні рішення, як (3.69). Загальний дійсний розв'язок має вигляд\ [\ begin {зібраний}
X (t) =\ ім'я оператора {Re} [(b+i c) Z (t)] =\\
b A\ cos\ omega t+c A\ sin\ omega t=d A\ cos (\ омега т-\ тета)
\ кінець {зібраний}\]
деb іc (абоd іθ) - дійсні числа.
Тепер ми можемо побудувати повне рішення рівняння руху. Через лінійності ми отримуємо її, склавши разом всі нормальні режимні розв'язки з довільними коефіцієнтами, які повинні бути встановлені початковими умовами.
Тепер ми бачимо, що кількість різних нормальних режимів завжди дорівнюєn, кількість ступенів свободи. Позначте звичайні режими якAα, деα мітка, яка (ми будемо сперечатися нижче) йде від 1 доn. Позначте відповідні частотиωα. Тоді найбільш загальним можливим рухом системи є сума всіх нормальних режимів,Z(t)=n∑α=1wαAαe−iωαt
або в реальному вигляді (зw=b+ic)\ [\ почати {вирівняний}
X (t) =&\ sum_ {\ alpha=1} ^ {n}\ лівий [b_ {\ альфа} A^ {\ альфа} A^ {\ альфа} A^ {\ альфа}\ sin\ ліворуч (\ омега_ {\ альфа} t\ праворуч) +c_ {\ альфа} A^ {\ альфа}\ sin\ ліворуч (\ омега_ {\ альфа} t\ праворуч)\ праворуч]\\
&=\ sum_ {\ альфа = 1} ^ {n} d_ {\ альфа} A^ {\ альфа}\ cos\ ліворуч (\ омега_ {\\ альфа} т-\ тета_ {\ альфа}\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}\]
деbα іcα (абоdα іθα) - дійсні числа, які необхідно визначати з початкових умов системи. Зверніть увагу, що набір всіх векторів нормального режиму повинен бути «повним», в математичному сенсі, що будь-яка можлива конфігурація цієї системи може бути описана як лінійна комбінація нормальних режимів. Інакше ми не могли задовольнити довільні початкові умови з розв'язком, (3.76). Це можна довести математично (оскільки матриця,K, симетрична, а маси позитивні), але фізичного аргументу нам тут буде достатньо. Так само жоден нормальний режим не може бути лінійною комбінацією інших нормальних режимів, оскільки кожен відповідає незалежному можливому руху фізичної системи зі своєю частотою. Математичний спосіб сказати це полягає в тому, що набір всіх нормальних режимів «лінійно незалежний».
Оскільки набір нормальних режимів повинен бути як повним, так і лінійно незалежним, повинні бути точноn нормальні режими, де знову ж таки,n є (3,77) кількість ступенів свободи.
Якби режимів було менше, ніжn зазвичай, вони не могли б описати всі можливі конфігураціїn ступенів свободи. Якби їх було більшеn, вони не могли бути лінійно незалежнимиn розмірними векторами. Принаймні один з них можна було б записати як лінійну комбінацію інших. Як ми побачимо пізніше, (3.77) - це фізичний принцип аналізу Фур'є.
Варто зазначити, що вирішення рівняння власних значень (3,68) стає важко дуже швидко, коли кількість ступенів свободи збільшується. Спочатку ви повинні обчислити детермінантn×n матриці. Якщо всі записи ненульові, це вимагає складанняn! термінів. Після того, як ви закінчите це, вам все одно доведеться вирішити поліноміальне рівняння ступеняn. Боn>3, це не може бути зроблено аналітично, за винятком особливих випадків.
З іншого боку, завжди просто перевірити, чи є даний вектор власним вектором даної матриці і, якщо так, обчислити власне значення. Цей факт ми будемо використовувати в задачах в кінці глави.
Повернутися до2×2 прикладу
Повернемося до прикладу з початку цієї глави в особливому випадку, коли два маятникових блоку мають однакову масу,m1=m2=m. Як би просто це не було, це буде дуже важлива система для нашого розуміння хвильових явищ. Давайте подивимося, як розроблені нами методи дозволяють вирішувати для дозволених частот і відповіднихA векторів нормальні режими. З (3.7) і (3.8)K матриця має вигляд\ [K=\ left (\ begin {масив} {cc}
m g/\ ell+\ kappa & -\ kappa\\
-\ kappa & m g/\ ell+\ kappa
\ end {масив}\ справа).\]
MМатриця є\ [M=\ left (\ begin {масив} {cc}
m & 0\\
0 & m
\ end {масив}\ праворуч).\]
Таким чином, з (3.78) і (3.79),\ [M^ {-1} K=\ left (\ begin {масив} {cc}
г/\ ell+\ kappa/m & -\ kappa/m\\
-\ kappa/m & g/\ ell+\ kappa/m
\ end {масив}\ праворуч).
МатрицяM−1K−ω2I є\ [M^ {-1} K-\ омега^ {2} I=\ left (\ begin {масив} {cc}
г/\ ell+\ каппа/м-\ омега^ {2} &
-\ каппа/m & g/\\ ell+\ kappa/m-\ omega^ {2}
\ кінець масиву}\ праворуч).\]
Щоб знайти власні значенняM−1K, формуємо детермінант\ [\ begin {зібрано}
\ ім'я оператора {det}\ left [M^ {-1} K-\ omega^ {2} I\ right] =\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {cc}
g/\ ell+\ kappa/m-\ omega^ {2} & -\ kкаппа/м\\
-\ каппа/м & г/\ елль+\ каппа /м-\ омега^ {2}
\ кінець {масив}\ вправо)\\
=\ вліво (г/\ елль+\ каппа/ м-\ омега^ {2}\ справа) ^ {2} - (\ каппа/м) ^ {2}\
=\ ліво (\ омега^ {2} -g/\ ell\ праворуч)\ ліворуч (\ омега^ {2} -g/\ ell\ праворуч)\ ліво (\ омега) ^ {2} -г/\ елл-2\ каппа/м\ праворуч) =0.
\ end {зібраний}\]
Таким чином, кутові частоти нормальних режимів єω21=g/ℓ,ω22=g/ℓ+2κ/m.
Щоб знайти відповідні нормальні режими, ми підставляємо ці частоти назад у рівняння власних значень. Дляω21, вектор нормального режимуA1,\ [A^ {1} =\ left (\ begin {масив} {l}
a_ {1} ^ {1}\
a_ {2} ^ {1}
\ end {масив}\ право),\]
задовольняє матричному рівнянню[M−1K−ω21I]A1=0.
З (3.81) і (3.83),\ [M^ {-1} K-\ omega_ {1} ^ {2} I =\ ліворуч (\ почати {масив} {cc}
\ каппа/м & -\ каппа/ м\\
-\ каппа/м\ каппа/ м
\ кінець {масив}\ праворуч).\]
Таким чином (3.85) стає\ [\ begin {вирівняний}
&\ left (
\ begin {масив} {cc}\ kappa/m &
-\ kappa/m\\ -\ kappa/m &
\ kappa/m\ end {масив}\ праворуч)\ left (\ begin {масив} {l}
a_ {1} ^ {1}
\ end {масив}\ право
) =0\\
&=\ гідророзриву {\ каппа} {м}\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
a_ {1} ^ {1} -a_ {2} ^ {1} ^ {1}
+a_ {1} ^ {1} ^ {1}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ Стрілка вправо a_ {1} ^ {1} =a _ {2} ^ {1}.
\ end {вирівняний}\]
Ми можемо взяти,a11=1 тому що ми можемо помножити вектор нормального режиму на будь-яке число, яке нам подобається. Маєa11/a12 значення тільки співвідношення. Так, наприклад, ми можемо взяти\ [A^ {1} =\ left (\ begin {масив} {l}
1\
1
\ end {масив}\ право).\]
Це дає (3.10). Зсув в цьому нормальному режимі показано на рис3.6.
Малюнок3.6: Зсув в нормальному режимі,A1.
Дляω22, вектор нормального режимуA2,\ [A^ {2} =\ left (\ begin {масив} {l}
a_ {1} ^ {2}\
a_ {2} ^ {2}
\ end {масив}\ справа),\]
задовольняє матричному рівнянню (деω22 розуміється множення тотожності матриці) 3[M−1K−ω22]A2=0.
Цього разу (3.81) і (3.83) дають\ [M^ {-1} K-\ omega_ {2} ^ {2} =\ left (\ begin {масив} {cc}
-\ kappa/m & -\ kappa/m &
-\ kappa/m & -\ kappa/m
\ end {масив}\ праворуч).
Таким чином (3.90) стає\ [\ begin {вирівняний}
&\ left (\ begin {масив} {ll}
-\ kappa/m &
-\ kappa/m\\ -\ kappa/m & -
\ kappa/m\ end {масив}\ праворуч)\ left (\ begin
{масив} {l}
a_ {1} ^ {2} 2}
\ end {масив}\ праворуч) =0\\
&=-\ гідророзриву {\ каппа} {м}\ ліворуч (\ почати {масив} {l} a_ {1} ^ {2}
+a_ {2} ^ {2} ^ {2} ^ {2} ^ {2}\
кінець {масив}\ праворуч)\ Стрілка вправо a_ {1} ^ {2} ^ {2}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ Стрілка вправо a_ {1} ^ {2} ^ {2}} -a_ {2} ^ {2}.
\ end {вирівняний}.\]
Знову ж таки,a21/a22 має значення тільки співвідношення, тому ми можемо взяти\ [A^ {2} =\ left (\ begin {масив} {c}
1\
-1
\ end {масив}\ право).\]
Це дає (3.11). Зсув в цьому нормальному режимі показано на рис3.7.
Малюнок3.7: Зсув в нормальному режимі,A2.
Фізика цих режимів легко зрозуміти. У режимі 1 блоки переміщаються разом і пружина ніколи не розтягується з положення рівноваги. При цьому частота якразg/ℓ, така ж, як і незв'язаний маятник. У режимі 2 блоки рухаються в протилежних напрямках, тому пружина розтягується в два рази більше зміщення кожного блоку. При цьому виникає додаткова відновлювальна сила2κ, а квадрат кутової частоти відповідно більше.
n=2— Загальна справа
Розберемо явно випадокn=2 для довільноїK матриці,\ [M^ {-1} K=\ left (\ begin {масив} {ll}
K_ {11}/m_ {1} & K_ {12}/m_ {1}\\
K_ {12}/m_ {2} & K_ {22}/m_ {2}
\ end {масив}\ право),\]
де ми використовувалиK21=K12. Тоді (3.73) стає(K11K22−K212m1m2)−(K11m1+K22m2)ω2+ω4=0,
з розчинамиω2=12(K11m1+K22m2)±√14(K11m1−K22m2)2+K212m1m2.
За кожногоω2 ми можемо взятиa1=1. Тодіa2=m1ω2−K11K12.
Як ми і передбачали, власні вектори виявилися реальними. Це загальний наслідок реальностіM−1K іω2. Аргумент варто повторити. Коли всі елементи матриці дійсні, відносини,M−1K−ω2I єaj/ak дійсними (тому що вони виходять при вирішенні безлічі одночасних лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами). Таким чином, якщо ми виберемо одну складову вектораA дійсною (помноживши при необхідності на комплексне число), то всі складові будуть дійсними. Фізично це означає, що для рішення (3.66) всі різні частини системи коливаються не тільки з однаковою частотою, але з однаковою фазою аж до знака. Це вірно лише тому, що ми проігнорували демпфування. Ми повернемося до питання в останньому розділі (необов'язковий розділ, який не для слабких).
Проблема початкового значення
Після того, як ви вирішили для нормальних режимів і відповідних частот, їх просто скласти в найбільш загальне рішення рівнянь руху для наборуN зв'язаних осциляторів, (3.76). ЦеX(t)=∑α(bαAαcosωαt+cαAαsinωαt).
2NКонстантиbα іcα визначаються початковими умовами. Вониbα пов'язані з початковими зміщеннями,X(0):X(0)=∑αbαAα.
На словах,bα це коефіцієнт нормального режиму приAα початковому зміщенніX(0). Вониcα пов'язані з початковими швидкостями,dX(t)dt|t=0:dX(t)dt|t=0=∑αcαωαAα.
Рівняння, (3.99) і (3.100), є двома множинами одночасних лінійних рівнянь дляbα іcα. Їх можна вирішити своїми руками. Це досить легко для невеликої кількості ступенів свободи. У наступному розділі ми побачимо, що ми також можемо отримати рішення безпосередньо з дуже невеликою додатковою роботою, маніпулюючи звичайними режимами.
Тим часом ми повинні зробити паузу ще раз, щоб розглянути фізику (3.98). Це явно показує, як найбільш загальний рух системи може бути розкладений на прості рухи, пов'язані з нормальними режимами. Варто подивитися на приклад (реальний, анімований або бажано обидва) в цей момент. Спробуйте побудувати систему на рис3.1. Підійдуть будь-які два однакових осцилятора з відносно слабкою пружиною, що з'єднує їх. Переконайте себе в тому, що нормальні режими існують. Якщо ви почнете систему коливатися з блоками, що рухаються однаково з тією ж амплітудою, вони залишаться таким чином. Якщо ви змусите їх рухатися в протилежних напрямках з однаковою амплітудою, вони продовжуватимуть це робити. Тепер налаштуйте випадковий рух. Подивіться, чи зможете ви зрозуміти, як розібрати його на звичайні режими. Може допомогти знову заглянути на програму 3-1 на диску програми, в якій це робиться явно. У цій анімації ви бачите два блоки Рисунок3.1 і нижче, два нормальних режими, які необхідно додати, щоб отримати повне рішення.
_______________________
3 Це втомлює писати матрицю ідентичностіI, всюди. Це насправді не потрібно, тому що ви завжди можете сказати з контексту, чи належить він там чи ні. Відтепер ми часто залишатимемо це поза увагою. Таким чином, якщо ви бачите щось, що виглядає як число в матричному рівнянні, як−ω22 in (3.90), ви повинні подумки включити коефіцієнтI.