3.3: Звичайні режими

Якщо є тільки один ступінь свободи, то обидва\(X\) і\(M^{-1}\) є просто числами і розв'язки рівняння руху, (3,62), мають вигляд постійної амплітуди, що разів експоненціальний коефіцієнт. Насправді ми побачили, що ця форма пов'язана з дуже загальним фактом про фізику — інваріантністю перекладу часу (1.33). Аргументи глави 1, (1.71) - (1.85), не залежали від кількості ступенів свободи. Таким чином, вони показують, що тут знову ми можемо знайти незвідні рішення, які йдуть в себе до загальної константи, коли годинник скидаються. Як і в розділі 1, перший крок полягає в тому, щоб дозволити рішенням бути складними. Тобто замінюємо (3,62) на\[\frac{d^{2} Z}{d t^{2}}=-M^{-1} K Z ,\]

де\(Z\) складний\(n\) вектор з компонентами,\(z_{j}\). Реальними частинами компонентів\(Z\) є компоненти реального розчину, що задовольняють (3,62),\[x_{j}=\operatorname{Re} z_{j} .\]

Ми скажемо, що реальний вектор\(X\),, є реальною частиною складного вектора\(Z\),\[X=\operatorname{Re} Z ,\]

якщо (3.64) задоволений.

Так само, як і в розділі 1, ми знаємо, що ми можемо знайти нескорочувані рішення, які мають однакову форму аж до загальної константи, коли годинник скидаються. Ми знаємо з (1.85), що вони мають форму\[Z(t)=A e^{-i \omega t}\]

де\(A\) є якась постійна\(n\) -вектор і кутова частота\(\omega\), все одно просто число. Тепер якщо\(t \rightarrow t + a\),\ [Z (t)\ стрілка вправо Z (t+a) =e^ {=i\ омега a} Z (t).\)

Хоча незведена форма, (3.66), походить якраз від часу трансляції інваріантності, ми все одно повинні дивитися на рівняння руху, щоб визначити вектор,\(A\) і кутову частоту,\(\omega\). Вставляючи (3.66) у (3.63), роблячи диференціацію та скасовуючи експоненціальні фактори з обох сторін, ми виявляємо, що (3.66) є рішенням, якщо\[\omega^{2} A=M^{-1} K A .\]

Дане матричне рівняння є рівнянням власногозначення того виду, який ми обговорювали в (3.51) - (3.57). \(\omega^{2}\)є власним значенням матриці\(M^{-1}K\) і\(A\) є відповідним власним вектором. Давайте подивимося, що це означає фізично.

Реальна частина вектора стовпця\(Z\) визначає зміщення кожної зі ступенів свободи системи. Рівняння власних значень (3.68) не передбачає жодних комплексних чисел (тому що ми не ставили жодного демпфування). Тому (як ми побачимо явно нижче), ми можемо вибрати рішення так, щоб всі компоненти були\(A\) реальними. Тоді реальна частина складних рішень, які ми шукаємо в (3.66)\[X(t)=A \cos \omega t ,\]

або за складовими\(A\),\ [A=\ left (\ begin {масив} {c}
a_ {1}\
a_ {2}\\ vdots

\ end {масив}\ правий).\]

\[x_{1}(t)=a_{1} \cos \omega t, \quad x_{2}(t)=a_{2} \cos \omega t, \quad \text { etc. }\]

Мало того, що все рухається з однаковою частотою, але фіксуються співвідношення переміщень окремих ступенів свободи. Все коливається по фазі. Єдина відмінність руху різних ступенів свободи полягає в їх різній амплітуді від різних складових\(A\).

Сенс варто повторити. Інваріантність та лінійність трансляції часу означають, що ми завжди можемо знайти незвідні розв'язки (3.67), в яких всі ступені свободи коливаються з однаковою частотою. Додатковий фрагмент інформації, який призводить до (3.69) є динамічним. Якщо демпфування немає, то всі складові\(A\) можуть бути обрані реальними, а всі ступені свободи коливаються не тільки з однаковою частотою, але і з однаковою фазою.

Якщо таке рішення має задовольнити рівняння руху, то прискорення також має бути пропорційним\(A\), щоб окремі переміщення не вийшли з синхронізації. Але це те, що нам говорить (3.68). \(-M^{-1}K\)це матриця, яка, впливаючи на зміщення, дає прискорення. Рівняння власних значень (3.68) означає, що прискорення\(A\) знову пропорційне. Константа пропорційності\(\omega^{2}\), - це сила повернення на одиницю переміщення на одиницю маси для конкретного зміщення, заданого\(A\).

Ми вже обговорювали математичну структуру рівняння власногозначення в (3.51) - (3.57). Ми зробимо це знову, для акценту, у випадку фізичного інтересу, (3.68). Повинно бути зрозуміло, що не кожне значення\(A\) і\(\omega^{2}\) дає рішення (3,68). Ми вирішимо для дозволених значень, спочатку знайшовши можливі значення,\(\oemga^{2}\) а потім знайдемо відповідні значення\(A\). Щоб знайти власні значення, зауважте, що (3.68) можна переписати як\[\left[M^{-1} K-\omega^{2} I\right] A=0 ,\]

де\(I\) - матриця\(n \times n\) ідентичності. (3.72) - це просто компактний спосіб представлення\(n\) однорідних лінійних рівнянь у\(n\) компонентах, від\(A\) яких залежать коефіцієнти\(\omega^{2}\). У (3.47) і (3.48) ми побачили, що для систем\(n\) однорідних лінійних рівнянь у\(n\) невідомих ненульовому розв'язку існує тоді і лише тоді, коли детермінант матриці коефіцієнтів зникає. Причина полягає в тому, що якби визначник був ненульовим\(M^{-1}K − \omega^{2}I\), то матриця мала б обернену, і ми могли б використовувати (3.31), щоб зробити висновок, що єдиним рішенням для вектора\(A\), є\(A = 0\). Таким чином, щоб мати ненульову амплітуду\(A\), ми повинні мати\[\operatorname{det}\left[M^{-1} K-\omega^{2} I\right]=0 .\]

(3.73) - поліноміальне рівняння для\(\omega^{2}\). Це рівняння ступеня\(n\) в\(\omega^{2}\), тому що термін у визначнику з добутку всіх діагональних елементів матриці містить шматок, який йде як\(\left[\omega^{2}\right]^{n}\). Всі коефіцієнти в многочлені дійсні. Фізично ми очікуємо, що всі рішення будуть реальними та позитивними, коли система знаходиться в стабільній рівновазі, оскільки ми очікуємо, що такі системи коливатимуться.\(\omega^{2}\) Математично ми можемо показати, що\(\omega^{2}\) це завжди реально, до тих пір, поки всі маси позитивні. Ми зробимо це нижче в (3.127) - (3.130).

\(\omega^{2}\)Негативні пов'язані з нестабільною рівновагою. Наприклад, розглянемо масу на кінці жорсткого стрижня, вільно розгойдуватися в земному гравітаційному полі у вертикальній площині навколо шарніра без тертя, як показано на малюнку\( 3.5\). Маса може переміщатися по пунктирній лінії. Стабільне положення рівноваги позначається суцільною лінією. Нестійке положення рівноваги позначається пунктирною лінією.

Малюнок\( 3.5\): Маса на жорсткому стрижні, вільно розгойдуватися в земній гравітації у вертикальній площині.

Коли маса знаходиться в нестійкій точці рівноваги, найменше порушення призведе до її падіння. Опинившись від рівноваги, зміщення збільшується експоненціально, поки кут від вертикалі не стане настільки великим, що нелінійності в рівнянні руху для цієї системи переймають. Цей нелінійний осцилятор ми обговоримо далі в додатку B.

Після того, як ми знайшли можливі значення\(\omega^{2}\), ми можемо поставити кожне з них назад у (3.72), щоб отримати відповідне\(A\). Оскільки (3,72) є однорідним, загальна шкала не\(A\) визначається, але всі співвідношення\(a_{j} / a_{k}\), фіксуються для кожного\(\omega^{2}\).

Нормальні режими і частоти

Вектор\(A\) називається «нормальним режимом» системи, пов'язаної з частотою\(\omega\). Оскільки\(A\) це реально, за відсутності тертя складні рішення (3.66) можуть бути об'єднані в реальні рішення, як (3.69). Загальний дійсний розв'язок має вигляд\ [\ begin {зібраний}
X (t) =\ ім'я оператора {Re} [(b+i c) Z (t)] =\\
b A\ cos\ omega t+c A\ sin\ omega t=d A\ cos (\ омега т-\ тета)
\ кінець {зібраний}\]

де\(b\) і\(c\) (або\(d\) і\(\theta\)) - дійсні числа.

Тепер ми можемо побудувати повне рішення рівняння руху. Через лінійності ми отримуємо її, склавши разом всі нормальні режимні розв'язки з довільними коефіцієнтами, які повинні бути встановлені початковими умовами.

Тепер ми бачимо, що кількість різних нормальних режимів завжди дорівнює\(n\), кількість ступенів свободи. Позначте звичайні режими як\(A^{\alpha}\), де\(\alpha\) мітка, яка (ми будемо сперечатися нижче) йде від 1 до\(n\). Позначте відповідні частоти\(\omega_{\alpha}\). Тоді найбільш загальним можливим рухом системи є сума всіх нормальних режимів,\[Z(t)=\sum_{\alpha=1}^{n} w_{\alpha} A^{\alpha} e^{-i \omega_{\alpha} t}\]

або в реальному вигляді (з\(w = b + ic\))\ [\ почати {вирівняний}
X (t) =&\ sum_ {\ alpha=1} ^ {n}\ лівий [b_ {\ альфа} A^ {\ альфа} A^ {\ альфа} A^ {\ альфа}\ sin\ ліворуч (\ омега_ {\ альфа} t\ праворуч) +c_ {\ альфа} A^ {\ альфа}\ sin\ ліворуч (\ омега_ {\ альфа} t\ праворуч)\ праворуч]\\
&=\ sum_ {\ альфа = 1} ^ {n} d_ {\ альфа} A^ {\ альфа}\ cos\ ліворуч (\ омега_ {\\ альфа} т-\ тета_ {\ альфа}\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}\]

де\(b_{\alpha}\) і\(c_{\alpha}\) (або\(d_{\alpha}\) і\(\theta_{\alpha}\)) - дійсні числа, які необхідно визначати з початкових умов системи. Зверніть увагу, що набір всіх векторів нормального режиму повинен бути «повним», в математичному сенсі, що будь-яка можлива конфігурація цієї системи може бути описана як лінійна комбінація нормальних режимів. Інакше ми не могли задовольнити довільні початкові умови з розв'язком, (3.76). Це можна довести математично (оскільки матриця,\(K\), симетрична, а маси позитивні), але фізичного аргументу нам тут буде достатньо. Так само жоден нормальний режим не може бути лінійною комбінацією інших нормальних режимів, оскільки кожен відповідає незалежному можливому руху фізичної системи зі своєю частотою. Математичний спосіб сказати це полягає в тому, що набір всіх нормальних режимів «лінійно незалежний».

Оскільки набір нормальних режимів повинен бути як повним, так і лінійно незалежним, повинні бути точно\(n\) нормальні режими, де знову ж таки,\(n\) є (3,77) кількість ступенів свободи.

Якби режимів було менше, ніж\(n\) зазвичай, вони не могли б описати всі можливі конфігурації\(n\) ступенів свободи. Якби їх було більше\(n\), вони не могли бути лінійно незалежними\(n\) розмірними векторами. Принаймні один з них можна було б записати як лінійну комбінацію інших. Як ми побачимо пізніше, (3.77) - це фізичний принцип аналізу Фур'є.

Варто зазначити, що вирішення рівняння власних значень (3,68) стає важко дуже швидко, коли кількість ступенів свободи збільшується. Спочатку ви повинні обчислити детермінант\(n \times n\) матриці. Якщо всі записи ненульові, це вимагає складання\(n!\) термінів. Після того, як ви закінчите це, вам все одно доведеться вирішити поліноміальне рівняння ступеня\(n\). Бо\(n > 3\), це не може бути зроблено аналітично, за винятком особливих випадків.

З іншого боку, завжди просто перевірити, чи є даний вектор власним вектором даної матриці і, якщо так, обчислити власне значення. Цей факт ми будемо використовувати в задачах в кінці глави.

Повернутися до\(2 \times 2\) прикладу

Повернемося до прикладу з початку цієї глави в особливому випадку, коли два маятникових блоку мають однакову масу,\(m_{1} = m_{2} = m\). Як би просто це не було, це буде дуже важлива система для нашого розуміння хвильових явищ. Давайте подивимося, як розроблені нами методи дозволяють вирішувати для дозволених частот і відповідних\(A\) векторів нормальні режими. З (3.7) і (3.8)\(K\) матриця має вигляд\ [K=\ left (\ begin {масив} {cc}
m g/\ ell+\ kappa & -\ kappa\\
-\ kappa & m g/\ ell+\ kappa
\ end {масив}\ справа).\]

\(M\)Матриця є\ [M=\ left (\ begin {масив} {cc}
m & 0\\
0 & m
\ end {масив}\ праворуч).\]

Таким чином, з (3.78) і (3.79),\ [M^ {-1} K=\ left (\ begin {масив} {cc}
г/\ ell+\ kappa/m & -\ kappa/m\\
-\ kappa/m & g/\ ell+\ kappa/m
\ end {масив}\ праворуч).

Матриця\(M^{-1}K − \omega^{2}I\) є\ [M^ {-1} K-\ омега^ {2} I=\ left (\ begin {масив} {cc}
г/\ ell+\ каппа/м-\ омега^ {2} &
-\ каппа/m & g/\\ ell+\ kappa/m-\ omega^ {2}
\ кінець масиву}\ праворуч).\]

Щоб знайти власні значення\(M^{-1}K\), формуємо детермінант\ [\ begin {зібрано}
\ ім'я оператора {det}\ left [M^ {-1} K-\ omega^ {2} I\ right] =\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {cc}
g/\ ell+\ kappa/m-\ omega^ {2} & -\ kкаппа/м\\
-\ каппа/м & г/\ елль+\ каппа /м-\ омега^ {2}
\ кінець {масив}\ вправо)\\
=\ вліво (г/\ елль+\ каппа/ м-\ омега^ {2}\ справа) ^ {2} - (\ каппа/м) ^ {2}\
=\ ліво (\ омега^ {2} -g/\ ell\ праворуч)\ ліворуч (\ омега^ {2} -g/\ ell\ праворуч)\ ліво (\ омега) ^ {2} -г/\ елл-2\ каппа/м\ праворуч) =0.
\ end {зібраний}\]

Таким чином, кутові частоти нормальних режимів є\[\omega_{1}^{2}=g / \ell, \quad \omega_{2}^{2}=g / \ell+2 \kappa / m .\]

Щоб знайти відповідні нормальні режими, ми підставляємо ці частоти назад у рівняння власних значень. Для\(\omega_{1}^{2}\), вектор нормального режиму\(A^{1}\),\ [A^ {1} =\ left (\ begin {масив} {l}
a_ {1} ^ {1}\
a_ {2} ^ {1}
\ end {масив}\ право),\]

задовольняє матричному рівнянню\[\left[M^{-1} K-\omega_{1}^{2} I\right] A^{1}=0 .\]

З (3.81) і (3.83),\ [M^ {-1} K-\ omega_ {1} ^ {2} I =\ ліворуч (\ почати {масив} {cc}
\ каппа/м & -\ каппа/ м\\
-\ каппа/м\ каппа/ м
\ кінець {масив}\ праворуч).\]

Таким чином (3.85) стає\ [\ begin {вирівняний}
&\ left (
\ begin {масив} {cc}\ kappa/m &
-\ kappa/m\\ -\ kappa/m &
\ kappa/m\ end {масив}\ праворуч)\ left (\ begin {масив} {l}
a_ {1} ^ {1}
\ end {масив}\ право
) =0\\
&=\ гідророзриву {\ каппа} {м}\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
a_ {1} ^ {1} -a_ {2} ^ {1} ^ {1}
+a_ {1} ^ {1} ^ {1}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ Стрілка вправо a_ {1} ^ {1} =a _ {2} ^ {1}.
\ end {вирівняний}\]

Ми можемо взяти,\(a_{1}^{1}=1\) тому що ми можемо помножити вектор нормального режиму на будь-яке число, яке нам подобається. Має\(a_{1}^{1} / a_{2}^{1}\) значення тільки співвідношення. Так, наприклад, ми можемо взяти\ [A^ {1} =\ left (\ begin {масив} {l}
1\
1
\ end {масив}\ право).\]

Це дає (3.10). Зсув в цьому нормальному режимі показано на рис\( 3.6\).

Малюнок\( 3.6\): Зсув в нормальному режимі,\(A^{1}\).

Для\(\omega_{2}^{2}\), вектор нормального режиму\(A^{2}\),\ [A^ {2} =\ left (\ begin {масив} {l}
a_ {1} ^ {2}\
a_ {2} ^ {2}
\ end {масив}\ справа),\]

задовольняє матричному рівнянню (де\(\omega_{2}^{2}\) розуміється множення тотожності матриці) ³\[\left[M^{-1} K-\omega_{2}^{2}\right] A^{2}=0 .\]

Цього разу (3.81) і (3.83) дають\ [M^ {-1} K-\ omega_ {2} ^ {2} =\ left (\ begin {масив} {cc}
-\ kappa/m & -\ kappa/m &
-\ kappa/m & -\ kappa/m
\ end {масив}\ праворуч).

Таким чином (3.90) стає\ [\ begin {вирівняний}
&\ left (\ begin {масив} {ll}
-\ kappa/m &
-\ kappa/m\\ -\ kappa/m & -
\ kappa/m\ end {масив}\ праворуч)\ left (\ begin
{масив} {l}
a_ {1} ^ {2} 2}
\ end {масив}\ праворуч) =0\\
&=-\ гідророзриву {\ каппа} {м}\ ліворуч (\ почати {масив} {l} a_ {1} ^ {2}
+a_ {2} ^ {2} ^ {2} ^ {2} ^ {2}\
кінець {масив}\ праворуч)\ Стрілка вправо a_ {1} ^ {2} ^ {2}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ Стрілка вправо a_ {1} ^ {2} ^ {2}} -a_ {2} ^ {2}.
\ end {вирівняний}.\]

Знову ж таки,\(a_{1}^{2} / a_{2}^{2}\) має значення тільки співвідношення, тому ми можемо взяти\ [A^ {2} =\ left (\ begin {масив} {c}
1\
-1
\ end {масив}\ право).\]

Це дає (3.11). Зсув в цьому нормальному режимі показано на рис\( 3.7\).

Малюнок\( 3.7\): Зсув в нормальному режимі,\(A^{2}\).

Фізика цих режимів легко зрозуміти. У режимі 1 блоки переміщаються разом і пружина ніколи не розтягується з положення рівноваги. При цьому частота якраз\(g / \ell\), така ж, як і незв'язаний маятник. У режимі 2 блоки рухаються в протилежних напрямках, тому пружина розтягується в два рази більше зміщення кожного блоку. При цьому виникає додаткова відновлювальна сила\(2\kappa\), а квадрат кутової частоти відповідно більше.

\(n=2\)— Загальна справа

Розберемо явно випадок\(n = 2\) для довільної\(K\) матриці,\ [M^ {-1} K=\ left (\ begin {масив} {ll}
K_ {11}/m_ {1} & K_ {12}/m_ {1}\\
K_ {12}/m_ {2} & K_ {22}/m_ {2}
\ end {масив}\ право),\]

де ми використовували\(K_{21} = K_{12}\). Тоді (3.73) стає\[\left(\frac{K_{11} K_{22}-K_{12}^{2}}{m_{1} m_{2}}\right)-\left(\frac{K_{11}}{m_{1}}+\frac{K_{22}}{m_{2}}\right) \omega^{2}+\omega^{4}=0 ,\]

з розчинами\[\omega^{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{K_{11}}{m_{1}}+\frac{K_{22}}{m_{2}}\right) \pm \sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{K_{11}}{m_{1}}-\frac{K_{22}}{m_{2}}\right)^{2}+\frac{K_{12}^{2}}{m_{1} m_{2}}} .\]

За кожного\(\omega^{2}\) ми можемо взяти\(a_{1} = 1\). Тоді\[a_{2}=\frac{m_{1} \omega^{2}-K_{11}}{K_{12}} .\]

Як ми і передбачали, власні вектори виявилися реальними. Це загальний наслідок реальності\(M^{-1}K\) і\(\omega^{2}\). Аргумент варто повторити. Коли всі елементи матриці дійсні, відносини,\(M^{-1}K − \omega^{2}I\) є\(a_{j} / a_{k}\) дійсними (тому що вони виходять при вирішенні безлічі одночасних лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами). Таким чином, якщо ми виберемо одну складову вектора\(A\) дійсною (помноживши при необхідності на комплексне число), то всі складові будуть дійсними. Фізично це означає, що для рішення (3.66) всі різні частини системи коливаються не тільки з однаковою частотою, але з однаковою фазою аж до знака. Це вірно лише тому, що ми проігнорували демпфування. Ми повернемося до питання в останньому розділі (необов'язковий розділ, який не для слабких).

Проблема початкового значення

Після того, як ви вирішили для нормальних режимів і відповідних частот, їх просто скласти в найбільш загальне рішення рівнянь руху для набору\(N\) зв'язаних осциляторів, (3.76). Це\[X(t)=\sum_{\alpha}\left(b_{\alpha} A^{\alpha} \cos \omega_{\alpha} t+c_{\alpha} A^{\alpha} \sin \omega_{\alpha} t\right) .\]

\(2N\)Константи\(b_{\alpha}\) і\(c_{\alpha}\) визначаються початковими умовами. Вони\(b_{\alpha}\) пов'язані з початковими зміщеннями,\(X(0)\):\[X(0)=\sum_{\alpha} b_{\alpha} A^{\alpha} .\]

На словах,\(b_{\alpha}\) це коефіцієнт нормального режиму при\(A^{\alpha}\) початковому зміщенні\(X(0)\). Вони\(c_{\alpha}\) пов'язані з початковими швидкостями,\(\left.\frac{d X(t)}{d t}\right|_{t=0}\):\[\left.\frac{d X(t)}{d t}\right|_{t=0}=\sum_{\alpha} c_{\alpha} \omega_{\alpha} A^{\alpha} .\]

Рівняння, (3.99) і (3.100), є двома множинами одночасних лінійних рівнянь для\(b_{\alpha}\) і\(c_{\alpha}\). Їх можна вирішити своїми руками. Це досить легко для невеликої кількості ступенів свободи. У наступному розділі ми побачимо, що ми також можемо отримати рішення безпосередньо з дуже невеликою додатковою роботою, маніпулюючи звичайними режимами.

Тим часом ми повинні зробити паузу ще раз, щоб розглянути фізику (3.98). Це явно показує, як найбільш загальний рух системи може бути розкладений на прості рухи, пов'язані з нормальними режимами. Варто подивитися на приклад (реальний, анімований або бажано обидва) в цей момент. Спробуйте побудувати систему на рис\( 3.1\). Підійдуть будь-які два однакових осцилятора з відносно слабкою пружиною, що з'єднує їх. Переконайте себе в тому, що нормальні режими існують. Якщо ви почнете систему коливатися з блоками, що рухаються однаково з тією ж амплітудою, вони залишаться таким чином. Якщо ви змусите їх рухатися в протилежних напрямках з однаковою амплітудою, вони продовжуватимуть це робити. Тепер налаштуйте випадковий рух. Подивіться, чи зможете ви зрозуміти, як розібрати його на звичайні режими. Може допомогти знову заглянути на програму 3-1 на диску програми, в якій це робиться явно. У цій анімації ви бачите два блоки Рисунок\( 3.1\) і нижче, два нормальних режими, які необхідно додати, щоб отримати повне рішення.

_______________________
³ Це втомлює писати матрицю ідентичності\(I\), всюди. Це насправді не потрібно, тому що ви завжди можете сказати з контексту, чи належить він там чи ні. Відтепер ми часто залишатимемо це поза увагою. Таким чином, якщо ви бачите щось, що виглядає як число в матричному рівнянні, як\(-\omega_{2}^{2}\) in (3.90), ви повинні подумки включити коефіцієнт\(I\).