3.2: Матриці
Дуже корисно переписати рівняння (3.14) у матричному позначенні. Через лінійність рівнянь руху для гармонічного руху буде дуже корисно мати під рукою інструменти лінійної алгебри для нашого вивчення хвильових явищ. Якщо ви не вивчали лінійну алгебру (або багато чого не розуміли) на курсах математики, НЕ ПАНІКУЙТЕ. Почнемо з нуля з опису властивостей матриць і множення матриць. Важливо пам'ятати, що матриці не є нічим дуже глибоким або магічним. Вони є лише бухгалтерськими пристроями, розробленими для полегшення вашого життя, коли ви маєте справу з більш ніж одним рівнянням одночасно.
Матриця являє собою прямокутний масив чисел. N×MМатриця міститьN рядки таM стовпці. Матриці можна додавати і віднімати, просто додаючи і віднімаючи кожен з компонентів. Різниця приходить в множенні. Дуже зручно визначити закон множення, який визначає добутокN×M матриці зліва зM×L матрицею праворуч (порядок важливий!) бутиN×L матрицею наступним чином:
ВикличтеN×M матрицюA і нехайAjk буде число вj -му рядку іk у стовпці для1≤j≤N і1≤k≤M. Ці окремі складові матриці називаються матричними елементами. З точки зору елементів матриці матрицяA виглядає так:\ [A=\ left (\ begin {масив}
{cccc} A_ {11} & A_ {12} &\ cdots &
A_ {1 М}\\ A_ {21} & A_ {22} &\
cdots & A_ {2 M}\\ vdots &\ ddots\
_ {N 1} & A_ {N 2} &\ cdots & A_ {N M}
\ кінець {масив}\ праворуч).\]
ВикликатиM×L матрицюB з елементами матриціBkl для1≤k≤M і1≤l≤L:\ [B=\ left (\
begin {масив} {cccc} B_ {11} & B_ {12} &\ cdots & B_ {1 L}\\
B_ {21} & B_ {22} &\ cdots & B_ {2 L}
\\ vdots &\ ddots &\ vdots\\
B_ {M 1} & B_ {M 2} &\ cdots & B_ {M L}
\ кінець {масив}\ праворуч).\]
ВикликатиN×L матрицюC з елементами матриціCjl для1≤j≤N і1≤l≤L. \ [C =\ лівий (\ почати {масив} {cccc} C_ {11} &
C_ {12} &\ cdots & C_ {1 L}\\ C_ {21} & C_ {22} &\
cdots & C_ {2 L}\\ vdots &\ vdots &\\ vdots\\\ vdots\\\ vdots
\\\ vdots\\\ vdots\\\ vdots\\\
vdots\\\ vdots\\\ vdots\\\ vdots\\ &\ cdots & C_ {N L}
\ кінець {масив }\ праворуч).\]
Тоді матрицяC визначається як матриця добутку,AB якщоCjl=M∑k=1Ajk⋅Bkl.
Рівняння (3.23) - алгебраїчне твердження правила «рядк-стовпець». Щоб обчислити елементjℓ матриці добутку матриціAB, візьмітьj -й рядок матриціA іℓ -й стовпець матриціB і сформуйте їх точковий добуток (відповідний сумі понадk in (3.23)). Це правило показано нижче:\ [\ left (\ begin {масив} {ccccc}
A_ {11} &\ cdots & A_ {1 k} &\ cdots & A_ {1 M}
\\ vdots &\\ ddots &\\ ddots &\
\ vdots\\\ hline A_ {j 1} &\ cdots & A_ {j} точки & A_ {j М}\\
\ hline\ vdots &\ ddots &\ ddots &\ ddots
\\ vdots\\ vdots\\ vdots\\ vdots &\ vdots\\ vdots
\\ кінець {масив}\ вліво (\ почати {масив} {cc|c|cc}
B_ {1} &\ cdots & B_ 1\ ell} &\ cdots підсилювач; B_ {1 L}
\\ vdots &\ ddots &\ vdots &\\ dots\\
B_ {k 1} &\ cdots & B_ {k
\ ell} &\ cdots &
B_ {k L}\\ vdots &\ dots &\ B_ {M\ ell} & ;\ cdots & B_ {M L}
\ кінець {масив}\ праворуч)\]
\ [=\ ліворуч (\ почати {масив} {ccccc}
C_ {11} &\ cdots & C_ {1\ ell} &\ cdots & C_ {1 L}
\\ vdots &\ ddots &\\ vdots\\
C_ {j 1} &\ cdots & C_ {J\ ell} &\ cdots & C_ {j\ ell} L}\
\ vdots &\ ddots &\ vdots &\ ddots &\\ vdots\\
C_ {N 1} &\ cdots & C_ {N\ ell} &\ cdots & C_ {N L}
\ кінець {масив}\ справа).\]
Наприклад,\ [\ left (\ begin {масив} {cc}
2 & 3\\
0 & 1\\
2 & -1
\ кінець {масив}\ праворуч)\ cdot\ left (\ begin {масив} {lll}
1 & 0 & 1\\
0 & 3\ end {масив}
\ праворуч) =\ left (\ begin {масив} {ccc}
2 & 3 & 13\\
0 & 1 & 3\\
2 & -1 & 1
\ end {масив}\ праворуч).\]
Легко перевірити, чи визначене таким чином матричний добуток є асоціативним,(AB)C=A(BC). Однак, в цілому, він не комутативний,AB≠BA. Насправді, якщо матриці не квадратні, твір в протилежному порядку може навіть не мати ніякого сенсу! Матричний добуток має сенсAB лише вA тому випадку, якщо кількість стовпців збігається з кількістю рядківB. Остерігайтеся!
За винятком того, що вона не комутативна, множення матриці поводиться дуже схоже на звичайне множення. Наприклад, існують матриці «ідентичності». МатрицяN×N ідентичності, називаєтьсяI, має нулі скрізь, за винятком 1 вниз по діагоналі. Наприклад, матриця3×3 ідентичності є\ [I=\ left (\ begin {масив} {lll}
1 & 0\\ 0 & 1\
0 & 0\ 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & 1
\ end {масив}\ право).\]
МатрицяN×N ідентичності задовольняє\ [\ begin {масив}
I = A = A\ text {для будь-якого} N\ times N\ text {матриця} A\\
I B\ text {для будь-якого} N\ times M\ text {;}\ C I =
C\ text {для будь-якого} M\ times N\ text {матриця} C\ text {}
\ end {масив}\]
Нас в першу чергу будуть стосуватися «квадратних» (тобтоN×N) матриць.
Матриці дозволяють нам мати справу з багатьма лінійними рівняннями одночасно.
NРозмірний вектор стовпця можна розглядати якN×1 матрицю. Ми будемо називати цей об'єкт «N-вектором». Його не слід плутати з координатним вектором в тривимірному просторі. Так само ми можемо думати проN розмірний рядок вектор як1×N 0 матриці. Матричне множення також може описувати добуток матриці з вектором для отримання вектора. Особливо важливий випадок, який нам знадобиться для аналізу хвильових явищ, стосується квадратних матриць. РозглянемоN×N матрицю,A що множить наN -векторX, щоб дати іншийN -вектор,F. Квадратна матрицяA має елементиN2 матриці,Ajk forj іk=1 toN. ВекториX іF кожен з них маютьN матричні елементи, тільки їх компонентиXj іFj forj=1 toN. Тоді матричне рівняння:AX−F
насправді розшифровується якN рівняння:N∑k=1Ajk⋅Xk=Fj
дляj=1 того, щобN. Іншими словами, цеN одночасні лінійні рівняння для тел. ви всі знаєте, з ваших досліджень алгебри, як розв'язати з точки зору тих і тих, алеAjk це дуже корисно зробити в матричних позначеннях.NXjXjFj Іноді ми можемо знайти «зворотну» матрицюAA−1, яка має властивістьAA−1=A−1A=I,
деI - матриця ідентичності, розглянута в (3.26) та (3.27). Якщо ми можемо знайти таку матрицю, тоN одночасні лінійні рівняння (3.29) мають унікальне рішення, яке ми можемо записати в дуже компактній формі. Помножте обидві сторони (3,29) наA−1. З лівого боку, ми можемо використовувати (3.30) і (3.27), щоб позбутися\(A^{-1}A\\) і написати рішення наступним чином:X=A−1F.
Зворотний і детермінантний
Ми можемо обчислити зA−1 точки зору «детермінанта»A. Визначником матриціA є сума добутків елементів матриціA з наступними властивостями:
- ЄN! терміни в сумі;
- Кожен член в сумі є добуткомN різних елементів матриці;
- У кожному продукті кожен номер рядка і кожен номер стовпця відображається рівно один раз;
- Кожен такий виріб можна отримати з добутку діагональних елементівA11A22⋯ANN, шляхом послідовності взаємозамінів міток стовпців. Наприклад,A12A21A33⋯ANN передбачає одну розв'язку в той час якA12A23A31A44⋯ANN вимагає двох.
- Коефіцієнт добутку в детермінанті дорівнює +1, якщо він передбачає парну кількість розв'язок, і −1, якщо він передбачає непарну кількість розв'язок.
Таким чином, детермінант2×2 матриці,A єdetA=A11A22−A12A21.
Детермінант3×3 матриці,A є\ [\ begin {зібрано}
\ ім'я оператора {det} A=A_ {11} A_ {22} A_ {33} +A_ {12} A_ {23} A_ {31} +A_ {13} A_ {21} A_ {32}\
-A_ {11} A_ {23} A_ {32} -A_ {13}} А_ {22} А_ {31} -А_ {12} А_ {21} А_ {33}.
\ end {зібраний}\]
Якщо вам не дуже пощастило, вам ніколи не доведеться обчислювати детермінант матриці більше, ніж3×3 вручну. Якщо вам так не пощастило, найкраще використовувати індуктивну процедуру, яка будує її з детермінант менших підматриць. Про цю процедуру ми розповімо нижче.
ЯкщоdetA=0, матриця не має зворотного. Це не «оборотний». При цьому одночасні лінійні рівняння не мають або взагалі розв'язку, або нескінченну кількість розв'язків. ЯкщоdetA≠0, обернена матриця існує і однозначно задаєтьсяA−1=˜AdetA
де˜A - матриця кофактора, визначена її матричними елементами наступним чином:(\AA)jk=detA(jk)
з\ [\ почати {вирівняний}
&A (j k) _ {l m} =1\ текст {якщо} м = j\ текст {і} l = k\\
&A (j k) _ {l m} =0\ текст {якщо} m = j\ текст {і} л\ neq k\
&A (j k) _ {l m} =0\ текст {якщо} m\ neq\ текст {m\ neq\ текст {і} l=k\\
&A (j k) _ {л м} =A_ {л м}\ текст {якщо} м\ neq j \ текст {і} л\ neq k
\ end {вирівняний}\]
Іншими словами,A(jk) виходить з матриціA шляхом заміни елементаkj матриці на 1 і всіх інших елементів матриці в рядкуk або стовпціj на 0. Таким чином, якщо\ [A=\ left (\ begin {масив} {cc|ccc}
A_ {11} &\ cdots & A_ {1 j} &\ cdots & A_ {1 N}\
\ vdots &\ ddots &\\ ddots &\\ ddots\\ vdots
\\ vdots\\ vdots\\ vdots\\ vdots\\ vdots\\ & A_ {k N}\
\\ лінія\ vdots & amp;\ ddots &\ vdots &\ ddots\\ vdots\\
A_ {N 1} &\ cdots & A_ {N j} &\ cdots & A_ {N N}
\ кінець {масив}\ праворуч),\]
\ [A (j k) =\ ліворуч (\ почати {масив} {cc|ccc}
A_ {1} &\ cdots & 0 &
\ cdots & A_ {1 N}\\ vdots &
\ ddots &\\ dots &\ ddots &\
\ ddots\\ крапки &\ vdots amp;\ ddots &\ vdots\\
A_ {N 1} &\ cdots & 0 &\ cdots & A_ {N N}
\ кінець {масив}\ праворуч).\]
Зверніть увагу на підлий обмінj↔k у цьому визначенні, порівняно з (3.23).
Наприклад, якщо\ [A=\ left (\ begin {масив} {ll}
4 & 3\\
5 & 2
\ end {масив}\ праворуч)\]
потім\ [\ почати {
вирівняний} &A (11) =\ left (\ begin {масив} {ll}
1 & 0\
0 & 2
\ кінець {масив}\ праворуч) & A (12) =\ left (\ begin {масив} {ll}
0 & 3\
1 & 0
\ end {масив}\ праворуч)\
&A (21) =\ ліворуч (\ begin {масив} {ll}
0 & 1\\
5 & 0
\ end {масив}\ праворуч) & A (22) =\ left (\ begin {масив} {ll}
4 & 0\
0 & 1
\ end {масив}\ праворуч).
\ end {вирівняний}\]
Таким чином,\ [\ bar {A} =\ left (\ begin {масив} {cc}
2 & -3\\
-5 & 4
\ end {масив}\ праворуч)\]
і з тих пірdetA=4⋅2−5⋅3=−7,\ [A^ {-1} =\ left (\ begin {масив} {cc}
-2/7 & 3/7\\
5/7 & -4/7
\ end {масив}\ праворуч).\]
A−1задовольняє,AA−1=A−1A=I деI знаходиться матриця ідентичності:\ [I=\ left (\ begin {масив} {ll}
1 & 0\
0 & 1
\ end {масив}\ право).\]
З точки зору підматрицьA(jk), ми можемо визначити детермінанту індуктивно, як було обіцяно вище. Насправді причина того, що (3.30) працює, полягає в тому, що детермінант може бути записаний якdetA=N∑k=1A1kdetA(k1).
Насправді це вірно для будь-якого ряду, а не тількиj=1. Співвідношення, (3.30) можна переписати як\ [\ sum_ {k=1} ^ {N} A_ {j k}\ ім'я оператора {det} A\ left (k j^ {\ прайм}\ право) =\ left\ {\ begin {масив} {c}
\ ім'я оператора {det} A\ text {для} j=j^ {\ прайм}\
0\ текст {для} j\ neq j^ {\ прайм}
\ кінець {масив}\ право.\]
Детермінанти підматрицьdetA(kl), в (3.43), можуть, в свою чергу, обчислюватися тією ж процедурою. Результатом є визначення детермінанта, який посилається на себе. Однак, врешті-решт, процес припиняється, оскільки матриці стають меншими, і детермінант завжди можна обчислити таким чином. Єдина проблема цієї процедури полягає в тому, що вона дуже стомлює для великої матриці. Дляn×n матриці ви в кінцевому підсумку обчислюєтеn! терміни і додаєте їх. Для великихn це недоцільно. Однією з приємних особливостей прийомів, про які ми поговоримо в наступних розділах, є те, що ми зможемо уникнути подібних розрахунків.
Більше корисних фактів про матриці
Припустимо, щоA іB єN×N матрицями іv єN -вектором.
- Якщо ви знаєте зворотніA іB, то можна знайти зворотне добуткуAB, перемноживши зворотні в зворотному порядку:(AB)−1=B−1A−1.
- Детермінант продуктуAB, є добутком детермінант:det(AB)=detAdetB,
таким чиномdet(AB)−0, якщо, тоA або абоB має зникаючий детермінант. - Матриця, що множить ненульовий вектор, може дати нуль, тільки якщо детермінант матриці зникає:Av=0⇒detA=0 or v=0
Це твердження, в мові матриці, щоN однорідні лінійні рівняння вN невідомих можуть мати нетривіальне рішенняv≠0, тільки якщо визначник коефіцієнтів зникає. - АналогічноdetA=0, якщо існує ненульовий векторv, який знищуєтьсяA:detA=0⇒∃v≠0 such that Av=0.
Це твердження, в матричній мові, щоN однорідні лінійні рівняння вN невідомих насправді мають нетривіальне рішення, v≠0, Якщо детермінант коефіцієнтів зникає. - ТранспонуванняN×M матриціA, позначаєтьсяAT, -M×N матриця, отримана шляхом відображення матриці про діагональну лінію через верхній лівий кут. Таким чином, якщо\ [A=\ left (\ begin {масив}
{cccc} A_ {11} & A_ {12} &\ cdots &
A_ {1 M}\\ A_ {21} & A_ {22} &\ cdots & A_ {2 M}\\ vdots &\ vdots &\
\ vdots &\ vdots &\ vdots\\
A_ {N 1} & A_ {N 2} &\ cdots & A_ {N M}
\ кінець {масив}\ праворуч)\]
потім\ [A^ {T} =\ ліворуч (\ почати {масив} {ccccc}
A_ {11} & A_ {21} &\ cdots & A_ {N 1}\
A_ {12} & A_ {22}} &\ cdots &\ cdots & A_ {N 2}\
\ vdots &\ vdots &\\ ddots &\\ ddots &\\ vdots\\\
A_ {1 M} &\ cdots &\ cdots & A_ {N M}
\ end {масив}\ право).\]
ЗауважтеN≠M, що якщо, форма матриці змінюється за допомогою транспозиція. Тільки для квадратних матриць транспонування повертає вам матрицю такого ж роду. Квадратна матриця, яка дорівнює її транспонуванню, називається «симетричною» матрицею.
Рівняння власних значень
Ми широко використаємо поняття «рівняння власних значень». ДляN×NR матриці рівняння власного значення має вигляд:Rc=hc,
деc - ненульовийN -вектор, 1 іh є числом. Ідея полягає в тому, щоб знайти як числоh, яке називається власним значенням, так і векторc, який називається власним вектором. Це проблема, яку ми обговорювали в розділі 1 в (1.78) у зв'язку з інваріантністю перекладу часу, але тепер написана в матричному вигляді.
Пара прикладів може бути по порядку. Припустимо, щоR це діагональна матриця, як\ [R=\ left (\ begin {масив} {ll}
2 &
0\ 0 & 1
\ end {масив}\ право).\]
Тоді власні значення - це лише діагональні елементи, 2 та 1, а власні вектори - вектори в координатних напрямках,\ [R\ left (\ begin {масив} {l}
1\
0
\ end {array}\ right) =2\ left (\ begin {масив} {l}
1\
0
\ end {масив}\ праворуч),\ quad R\ left (\ begin {масив} {l}
0\\
1
\ end {масив}\ праворуч) =1\ left (\ begin {масив} {l}
0\\
1
\ end {масив}\ праворуч).\]
Менш очевидним прикладом є\ [R=\ left (\ begin {масив} {ll}
2 & 1\
1 & 2
\ end {масив}\ право).\]
Цього разу власні значення 3 і 1, а власні вектори, як показано нижче:\ [R\ left (\ begin {масив} {l}
1\
1\ end {масив}
\ справа) =3\ left (\ begin {масив} {l}
1\
1
\ end {масив}\ право),\ quad R\ left (\ begin {масив} {c}
1\\
-1
\ end {масив}\ праворуч) =1\ ліворуч (\ begin {масив} {c}
1\
-1
\ end {масив}\ праворуч).\]
Може здатися дивним, що в рівнянні власних значень як власне значення, так і власний вектор є невідомими. Причина, по якій він працює, полягає в томуh, що для більшості значень рівняння (3.51) не має рішення. Щоб побачити це, запишемо (3.51) як набір однорідних лінійних рівнянь для складових власного вектораc,(R−hI)c=0.
Множина рівнянь (3.56) має ненульові розв'язкиc лише тоді, коли детермінант матриці коефіцієнтівR−hI зникає. Але це буде відбуватися тільки дляN значеньh, тому що умоваdet(R−hI)=0
є іN рівняння порядку дляh. Для кожногоh, що вирішує (3.57), ми можемо знайти рішення дляc. 2 Нижче ми наведемо кілька прикладів цієї процедури.
Матричне рівняння руху
Дуже корисно переписати рівняння руху (3.14) у матричному позначенні. Визначте вектор стовпцяX, у рядку якогоj (зверху) координатаxj:\ [X=\ left (\ begin {масив} {c}
x_ {1}\\
x_ {2}\\
vdots\\
x_ {n}
\ end {array}\ right).\]
Визначте «Kматрицю»,n×n матрицю, яка має коефіцієнтKjk у своємуj рядку таk 5-му стовпці:\ [K=\ left (\ begin {масив}
{cccc} K_ {11} & K_ {12} &\ cdots & K_ {1 n}\\
K_ {21} & K_ {22} &\ cdots & K_ {2 n}\\
\ vdots &\ vdots &\ ddots &\\ vdots\\
k_ {n 1} & K_ {n 2} &\ cdots & K_ {n n}
\ кінець {масив}\ справа).\]
Kjkяк кажуть, є «jkматричним елементом»K матриці. Через рівняння (3.19)K матриця симетрична,K=KT.
Визначте діагональну матрицюM зmj у тому рядку іj стовпці і нулями в іншому місці\ [M=\ left (\ begin {масив} {cccc}
m_ {1} & 0 &\ cdots &
0\\ 0 & m_ {2} &\ cdots & 0
\\\ vdots &\ ddots &j amp;\ vdots\\
0 & 0 &\ cdots & m_ {n}
\ end {масив}\ праворуч).\]
Mназивається «матрицею маси».
Використовуючи ці визначення, ми можемо переписати (3.14) у матричних позначеннях наступним чином:Md2Xdt2=−KX.
Тут немає нічого дуже фантазійного. Ми щойно використовували матричні позначення, щоб позбутися від знака підсумовування (3.14). Сума тепер неявна у множенні матриці в (3.61). Це корисно, оскільки тепер ми можемо використовувати властивості матриць та множення матриць, розглянуті вище, для маніпулювання (3.61). Наприклад, ми можемо спростити (3.61) трохи, помноживши зліва на,M−1 щоб отриматиd2Xdt2=−M−1KX.
_____________________
1c=0 не враховується, тому що рівняння виконується тривіально для будь-якогоh. Нас цікавлять тільки нетривіальні рішення.
2 Дещо складніше ситуація, коли розчини дляh вироджуються. Ми обговорюємо це в (3.117) нижче.