3.2: Матриці

Дуже корисно переписати рівняння (3.14) у матричному позначенні. Через лінійність рівнянь руху для гармонічного руху буде дуже корисно мати під рукою інструменти лінійної алгебри для нашого вивчення хвильових явищ. Якщо ви не вивчали лінійну алгебру (або багато чого не розуміли) на курсах математики, НЕ ПАНІКУЙТЕ. Почнемо з нуля з опису властивостей матриць і множення матриць. Важливо пам'ятати, що матриці не є нічим дуже глибоким або магічним. Вони є лише бухгалтерськими пристроями, розробленими для полегшення вашого життя, коли ви маєте справу з більш ніж одним рівнянням одночасно.

Матриця являє собою прямокутний масив чисел. \(N \times M\)Матриця містить\(N\) рядки та\(M\) стовпці. Матриці можна додавати і віднімати, просто додаючи і віднімаючи кожен з компонентів. Різниця приходить в множенні. Дуже зручно визначити закон множення, який визначає добуток\(N \times M\) матриці зліва з\(M \times L\) матрицею праворуч (порядок важливий!) бути\(N \times L\) матрицею наступним чином:

Викличте\(N \times M\) матрицю\(A\) і нехай\(A_{jk}\) буде число в\(j\) -му рядку і\(k\) у стовпці для\(1 \leq j \leq N\) і\(1 \leq k \leq M\). Ці окремі складові матриці називаються матричними елементами. З точки зору елементів матриці матриця\(A\) виглядає так:\ [A=\ left (\ begin {масив}
{cccc} A_ {11} & A_ {12} &\ cdots &
A_ {1 М}\\ A_ {21} & A_ {22} &\
cdots & A_ {2 M}\\ vdots &\ ddots\
_ {N 1} & A_ {N 2} &\ cdots & A_ {N M}
\ кінець {масив}\ праворуч).\]

Викликати\(M \times L\) матрицю\(B\) з елементами матриці\(B_{kl}\) для\(1 \leq k \leq M\) і\(1 \leq l \leq L\):\ [B=\ left (\
begin {масив} {cccc} B_ {11} & B_ {12} &\ cdots & B_ {1 L}\\
B_ {21} & B_ {22} &\ cdots & B_ {2 L}
\\ vdots &\ ddots &\ vdots\\
B_ {M 1} & B_ {M 2} &\ cdots & B_ {M L}
\ кінець {масив}\ праворуч).\]

Викликати\(N \times L\) матрицю\(C\) з елементами матриці\(C_{jl}\) для\(1 \leq j \leq N\) і\(1 \leq l \leq L\). \ [C =\ лівий (\ почати {масив} {cccc} C_ {11} &
C_ {12} &\ cdots & C_ {1 L}\\ C_ {21} & C_ {22} &\
cdots & C_ {2 L}\\ vdots &\ vdots &\\ vdots\\\ vdots\\\ vdots
\\\ vdots\\\ vdots\\\ vdots\\\
vdots\\\ vdots\\\ vdots\\\ vdots\\ &\ cdots & C_ {N L}
\ кінець {масив }\ праворуч).\]

Тоді матриця\(C\) визначається як матриця добутку,\(A B\) якщо\[C_{j l}=\sum_{k=1}^{M} A_{j k} \cdot B_{k l} .\]

Рівняння (3.23) - алгебраїчне твердження правила «рядк-стовпець». Щоб обчислити елемент\(j \ell\) матриці добутку матриці\(AB\), візьміть\(j\) -й рядок матриці\(A\) і\(\ell\) -й стовпець матриці\(B\) і сформуйте їх точковий добуток (відповідний сумі понад\(k\) in (3.23)). Це правило показано нижче:\ [\ left (\ begin {масив} {ccccc}
A_ {11} &\ cdots & A_ {1 k} &\ cdots & A_ {1 M}
\\ vdots &\\ ddots &\\ ddots &\
\ vdots\\\ hline A_ {j 1} &\ cdots & A_ {j} точки & A_ {j М}\\
\ hline\ vdots &\ ddots &\ ddots &\ ddots
\\ vdots\\ vdots\\ vdots\\ vdots &\ vdots\\ vdots
\\ кінець {масив}\ вліво (\ почати {масив} {cc|c|cc}
B_ {1} &\ cdots & B_ 1\ ell} &\ cdots підсилювач; B_ {1 L}
\\ vdots &\ ddots &\ vdots &\\ dots\\
B_ {k 1} &\ cdots & B_ {k
\ ell} &\ cdots &
B_ {k L}\\ vdots &\ dots &\ B_ {M\ ell} & ;\ cdots & B_ {M L}
\ кінець {масив}\ праворуч)\]

\ [=\ ліворуч (\ почати {масив} {ccccc}
C_ {11} &\ cdots & C_ {1\ ell} &\ cdots & C_ {1 L}
\\ vdots &\ ddots &\\ vdots\\
C_ {j 1} &\ cdots & C_ {J\ ell} &\ cdots & C_ {j\ ell} L}\
\ vdots &\ ddots &\ vdots &\ ddots &\\ vdots\\
C_ {N 1} &\ cdots & C_ {N\ ell} &\ cdots & C_ {N L}
\ кінець {масив}\ справа).\]

Наприклад,\ [\ left (\ begin {масив} {cc}
2 & 3\\
0 & 1\\
2 & -1
\ кінець {масив}\ праворуч)\ cdot\ left (\ begin {масив} {lll}
1 & 0 & 1\\
0 & 3\ end {масив}
\ праворуч) =\ left (\ begin {масив} {ccc}
2 & 3 & 13\\
0 & 1 & 3\\
2 & -1 & 1
\ end {масив}\ праворуч).\]

Легко перевірити, чи визначене таким чином матричний добуток є асоціативним,\((AB)C = A(BC)\). Однак, в цілому, він не комутативний,\(A B \neq B A\). Насправді, якщо матриці не квадратні, твір в протилежному порядку може навіть не мати ніякого сенсу! Матричний добуток має сенс\(AB\) лише в\(A\) тому випадку, якщо кількість стовпців збігається з кількістю рядків\(B\). Остерігайтеся!

За винятком того, що вона не комутативна, множення матриці поводиться дуже схоже на звичайне множення. Наприклад, існують матриці «ідентичності». Матриця\(N \times N\) ідентичності, називається\(I\), має нулі скрізь, за винятком 1 вниз по діагоналі. Наприклад, матриця\(3 \times 3\) ідентичності є\ [I=\ left (\ begin {масив} {lll}
1 & 0\\ 0 & 1\
0 & 0\ 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & 1
\ end {масив}\ право).\]

Матриця\(N \times N\) ідентичності задовольняє\ [\ begin {масив}
I = A = A\ text {для будь-якого} N\ times N\ text {матриця} A\\
I B\ text {для будь-якого} N\ times M\ text {;}\ C I =
C\ text {для будь-якого} M\ times N\ text {матриця} C\ text {}
\ end {масив}\]

Нас в першу чергу будуть стосуватися «квадратних» (тобто\(N \times N\)) матриць.

Матриці дозволяють нам мати справу з багатьма лінійними рівняннями одночасно.

\(N\)Розмірний вектор стовпця можна розглядати як\(N \times 1\) матрицю. Ми будемо називати цей об'єкт «\(N\)-вектором». Його не слід плутати з координатним вектором в тривимірному просторі. Так само ми можемо думати про\(N\) розмірний рядок вектор як\(1 \times N\) 0 матриці. Матричне множення також може описувати добуток матриці з вектором для отримання вектора. Особливо важливий випадок, який нам знадобиться для аналізу хвильових явищ, стосується квадратних матриць. Розглянемо\(N \times N\) матрицю,\(A\) що множить на\(N\) -вектор\(X\), щоб дати інший\(N\) -вектор,\(F\). Квадратна матриця\(A\) має елементи\(N^{2}\) матриці,\(A_{jk}\) for\(j\) і\(k = 1\) to\(N\). Вектори\(X\) і\(F\) кожен з них мають\(N\) матричні елементи, тільки їх компоненти\(X_{j}\) і\(F_{j}\) for\(j = 1\) to\(N\). Тоді матричне рівняння:\[A X-F\]

насправді розшифровується як\(N\) рівняння:\[\sum_{k=1}^{N} A_{j k} \cdot X_{k}=F_{j}\]

для\(j=1\) того, щоб\(N\). Іншими словами, це\(N\) одночасні лінійні рівняння для тел. ви всі знаєте, з ваших досліджень алгебри, як розв'язати з точки зору тих і тих, але\(A_{jk}\) це дуже корисно зробити в матричних позначеннях.\(N\)\(X_{j}\)\(X_{j}\)\(F_{j}\) Іноді ми можемо знайти «зворотну» матрицю\(A\)\(A^{-1}\), яка має властивість\[A A^{-1}=A^{-1} A=I ,\]

де\(I\) - матриця ідентичності, розглянута в (3.26) та (3.27). Якщо ми можемо знайти таку матрицю, то\(N\) одночасні лінійні рівняння (3.29) мають унікальне рішення, яке ми можемо записати в дуже компактній формі. Помножте обидві сторони (3,29) на\(A^{-1}\). З лівого боку, ми можемо використовувати (3.30) і (3.27), щоб позбутися\(A^{-1}A\\) і написати рішення наступним чином:\[X=A^{-1} F .\]

Зворотний і детермінантний

Ми можемо обчислити з\(A^{-1}\) точки зору «детермінанта»\(A\). Визначником матриці\(A\) є сума добутків елементів матриці\(A\) з наступними властивостями:

• Є\(N!\) терміни в сумі;
• Кожен член в сумі є добутком\(N\) різних елементів матриці;
• У кожному продукті кожен номер рядка і кожен номер стовпця відображається рівно один раз;
• Кожен такий виріб можна отримати з добутку діагональних елементів\(A_{11} A_{22} \cdots A_{N N}\), шляхом послідовності взаємозамінів міток стовпців. Наприклад,\(A_{12} A_{21} A_{33} \cdots A_{N N}\) передбачає одну розв'язку в той час як\(A_{12} A_{23} A_{31} A_{44} \cdots A_{N N}\) вимагає двох.
• Коефіцієнт добутку в детермінанті дорівнює +1, якщо він передбачає парну кількість розв'язок, і −1, якщо він передбачає непарну кількість розв'язок.

Таким чином, детермінант\(2 \times 2\) матриці,\(A\) є\[\operatorname{det} A=A_{11} A_{22}-A_{12} A_{21} .\]

Детермінант\(3 \times 3\) матриці,\(A\) є\ [\ begin {зібрано}
\ ім'я оператора {det} A=A_ {11} A_ {22} A_ {33} +A_ {12} A_ {23} A_ {31} +A_ {13} A_ {21} A_ {32}\
-A_ {11} A_ {23} A_ {32} -A_ {13}} А_ {22} А_ {31} -А_ {12} А_ {21} А_ {33}.
\ end {зібраний}\]

Якщо вам не дуже пощастило, вам ніколи не доведеться обчислювати детермінант матриці більше, ніж\(3 \times 3\) вручну. Якщо вам так не пощастило, найкраще використовувати індуктивну процедуру, яка будує її з детермінант менших підматриць. Про цю процедуру ми розповімо нижче.

Якщо\(\operatorname{det} A=0\), матриця не має зворотного. Це не «оборотний». При цьому одночасні лінійні рівняння не мають або взагалі розв'язку, або нескінченну кількість розв'язків. Якщо\(\operatorname{det} A \neq 0\), обернена матриця існує і однозначно задається\[A^{-1}=\frac{\tilde{A}}{\operatorname{det} A}\]

де\(\tilde{A}\) - матриця кофактора, визначена її матричними елементами наступним чином:\[(\AA)_{j k}=\operatorname{det} A(j k)\]

з\ [\ почати {вирівняний}
&A (j k) _ {l m} =1\ текст {якщо} м = j\ текст {і} l = k\\
&A (j k) _ {l m} =0\ текст {якщо} m = j\ текст {і} л\ neq k\
&A (j k) _ {l m} =0\ текст {якщо} m\ neq\ текст {m\ neq\ текст {і} l=k\\
&A (j k) _ {л м} =A_ {л м}\ текст {якщо} м\ neq j \ текст {і} л\ neq k
\ end {вирівняний}\]

Іншими словами,\(A(jk)\) виходить з матриці\(A\) шляхом заміни елемента\(kj\) матриці на 1 і всіх інших елементів матриці в рядку\(k\) або стовпці\(j\) на 0. Таким чином, якщо\ [A=\ left (\ begin {масив} {cc|ccc}
A_ {11} &\ cdots & A_ {1 j} &\ cdots & A_ {1 N}\
\ vdots &\ ddots &\\ ddots &\\ ddots\\ vdots
\\ vdots\\ vdots\\ vdots\\ vdots\\ vdots\\ & A_ {k N}\
\\ лінія\ vdots & amp;\ ddots &\ vdots &\ ddots\\ vdots\\
A_ {N 1} &\ cdots & A_ {N j} &\ cdots & A_ {N N}
\ кінець {масив}\ праворуч),\]

\ [A (j k) =\ ліворуч (\ почати {масив} {cc|ccc}
A_ {1} &\ cdots & 0 &
\ cdots & A_ {1 N}\\ vdots &
\ ddots &\\ dots &\ ddots &\
\ ddots\\ крапки &\ vdots amp;\ ddots &\ vdots\\
A_ {N 1} &\ cdots & 0 &\ cdots & A_ {N N}
\ кінець {масив}\ праворуч).\]

Зверніть увагу на підлий обмін\(j \leftrightarrow k\) у цьому визначенні, порівняно з (3.23).

Наприклад, якщо\ [A=\ left (\ begin {масив} {ll}
4 & 3\\
5 & 2
\ end {масив}\ праворуч)\]

потім\ [\ почати {
вирівняний} &A (11) =\ left (\ begin {масив} {ll}
1 & 0\
0 & 2
\ кінець {масив}\ праворуч) & A (12) =\ left (\ begin {масив} {ll}
0 & 3\
1 & 0
\ end {масив}\ праворуч)\
&A (21) =\ ліворуч (\ begin {масив} {ll}
0 & 1\\
5 & 0
\ end {масив}\ праворуч) & A (22) =\ left (\ begin {масив} {ll}
4 & 0\
0 & 1
\ end {масив}\ праворуч).
\ end {вирівняний}\]

Таким чином,\ [\ bar {A} =\ left (\ begin {масив} {cc}
2 & -3\\
-5 & 4
\ end {масив}\ праворуч)\]

і з тих пір\(\operatorname{det} A=4 \cdot 2-5 \cdot 3=-7\),\ [A^ {-1} =\ left (\ begin {масив} {cc}
-2/7 & 3/7\\
5/7 & -4/7
\ end {масив}\ праворуч).\]

\(A^{-1}\)задовольняє,\(A A^{-1}=A^{-1} A=I\) де\(I\) знаходиться матриця ідентичності:\ [I=\ left (\ begin {масив} {ll}
1 & 0\
0 & 1
\ end {масив}\ право).\]

З точки зору підматриць\(A(jk)\), ми можемо визначити детермінанту індуктивно, як було обіцяно вище. Насправді причина того, що (3.30) працює, полягає в тому, що детермінант може бути записаний як\[\operatorname{det} A=\sum_{k=1}^{N} A_{1 k} \operatorname{det} A(k 1) .\]

Насправді це вірно для будь-якого ряду, а не тільки\(j = 1\). Співвідношення, (3.30) можна переписати як\ [\ sum_ {k=1} ^ {N} A_ {j k}\ ім'я оператора {det} A\ left (k j^ {\ прайм}\ право) =\ left\ {\ begin {масив} {c}
\ ім'я оператора {det} A\ text {для} j=j^ {\ прайм}\
0\ текст {для} j\ neq j^ {\ прайм}
\ кінець {масив}\ право.\]

Детермінанти підматриць\(\operatorname{det} A(k \mathrm{l})\), в (3.43), можуть, в свою чергу, обчислюватися тією ж процедурою. Результатом є визначення детермінанта, який посилається на себе. Однак, врешті-решт, процес припиняється, оскільки матриці стають меншими, і детермінант завжди можна обчислити таким чином. Єдина проблема цієї процедури полягає в тому, що вона дуже стомлює для великої матриці. Для\(n \times n\) матриці ви в кінцевому підсумку обчислюєте\(n!\) терміни і додаєте їх. Для великих\(n\) це недоцільно. Однією з приємних особливостей прийомів, про які ми поговоримо в наступних розділах, є те, що ми зможемо уникнути подібних розрахунків.

Більше корисних фактів про матриці

Припустимо, що\(A\) і\(B\) є\(N \times N\) матрицями і\(v\) є\(N\) -вектором.

1. Якщо ви знаєте зворотні\(A\) і\(B\), то можна знайти зворотне добутку\(AB\), перемноживши зворотні в зворотному порядку:\[(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} .\]
2. Детермінант продукту\(AB\), є добутком детермінант:\[\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det} A \operatorname{det} B ,\]
   таким чином\(\operatorname{det}(A B)-0\), якщо, то\(A\) або або\(B\) має зникаючий детермінант.
3. Матриця, що множить ненульовий вектор, може дати нуль, тільки якщо детермінант матриці зникає:\[A v=0 \Rightarrow \operatorname{det} A=0 \text { or } v=0\]
   Це твердження, в мові матриці, що\(N\) однорідні лінійні рівняння в\(N\) невідомих можуть мати нетривіальне рішення\(v \neq 0\), тільки якщо визначник коефіцієнтів зникає.
4. Аналогічно\(\operatorname{det} A=0\), якщо існує ненульовий вектор\(v\), який знищується\(A\):\[\operatorname{det} A=0 \Rightarrow \exists v \neq 0 \text { such that } A v=0 .\]
   Це твердження, в матричній мові, що\(N\) однорідні лінійні рівняння в\(N\) невідомих насправді мають нетривіальне рішення, \(v \neq 0\), Якщо детермінант коефіцієнтів зникає.
5. Транспонування\(N \times M\) матриці\(A\), позначається\(A^{T}\), -\(M \times N\) матриця, отримана шляхом відображення матриці про діагональну лінію через верхній лівий кут. Таким чином, якщо\ [A=\ left (\ begin {масив}
   {cccc} A_ {11} & A_ {12} &\ cdots &
   A_ {1 M}\\ A_ {21} & A_ {22} &\ cdots & A_ {2 M}\\ vdots &\ vdots &\
   \ vdots &\ vdots &\ vdots\\
   
   A_ {N 1} & A_ {N 2} &\ cdots & A_ {N M}
   \ кінець {масив}\ праворуч)\]
   потім\ [A^ {T} =\ ліворуч (\ почати {масив} {ccccc}
   A_ {11} & A_ {21} &\ cdots & A_ {N 1}\
   A_ {12} & A_ {22}} &\ cdots &\ cdots & A_ {N 2}\
   \ vdots &\ vdots &\\ ddots &\\ ddots &\\ vdots\\\
   A_ {1 M} &\ cdots &\ cdots & A_ {N M}
   \ end {масив}\ право).\]
   Зауважте\(N \neq M\), що якщо, форма матриці змінюється за допомогою транспозиція. Тільки для квадратних матриць транспонування повертає вам матрицю такого ж роду. Квадратна матриця, яка дорівнює її транспонуванню, називається «симетричною» матрицею.

Рівняння власних значень

Ми широко використаємо поняття «рівняння власних значень». Для\(N \times N\)\(R\) матриці рівняння власного значення має вигляд:\[R c=h c,\]

де\(c\) - ненульовий\(N\) -вектор, ¹ і\(h\) є числом. Ідея полягає в тому, щоб знайти як число\(h\), яке називається власним значенням, так і вектор\(c\), який називається власним вектором. Це проблема, яку ми обговорювали в розділі 1 в (1.78) у зв'язку з інваріантністю перекладу часу, але тепер написана в матричному вигляді.

Пара прикладів може бути по порядку. Припустимо, що\(R\) це діагональна матриця, як\ [R=\ left (\ begin {масив} {ll}
2 &
0\ 0 & 1
\ end {масив}\ право).\]

Тоді власні значення - це лише діагональні елементи, 2 та 1, а власні вектори - вектори в координатних напрямках,\ [R\ left (\ begin {масив} {l}
1\
0
\ end {array}\ right) =2\ left (\ begin {масив} {l}
1\
0
\ end {масив}\ праворуч),\ quad R\ left (\ begin {масив} {l}
0\\
1
\ end {масив}\ праворуч) =1\ left (\ begin {масив} {l}
0\\
1
\ end {масив}\ праворуч).\]

Менш очевидним прикладом є\ [R=\ left (\ begin {масив} {ll}
2 & 1\
1 & 2
\ end {масив}\ право).\]

Цього разу власні значення 3 і 1, а власні вектори, як показано нижче:\ [R\ left (\ begin {масив} {l}
1\
1\ end {масив}
\ справа) =3\ left (\ begin {масив} {l}
1\
1
\ end {масив}\ право),\ quad R\ left (\ begin {масив} {c}
1\\
-1
\ end {масив}\ праворуч) =1\ ліворуч (\ begin {масив} {c}
1\
-1
\ end {масив}\ праворуч).\]

Може здатися дивним, що в рівнянні власних значень як власне значення, так і власний вектор є невідомими. Причина, по якій він працює, полягає в тому\(h\), що для більшості значень рівняння (3.51) не має рішення. Щоб побачити це, запишемо (3.51) як набір однорідних лінійних рівнянь для складових власного вектора\(c\),\[(R-h I) c=0 .\]

Множина рівнянь (3.56) має ненульові розв'язки\(c\) лише тоді, коли детермінант матриці коефіцієнтів\(R-h I\) зникає. Але це буде відбуватися тільки для\(N\) значень\(h\), тому що умова\[\operatorname{det}(R-h I)=0\]

є і\(N\) рівняння порядку для\(h\). Для кожного\(h\), що вирішує (3.57), ми можемо знайти рішення для\(c\). ² Нижче ми наведемо кілька прикладів цієї процедури.

Матричне рівняння руху

Дуже корисно переписати рівняння руху (3.14) у матричному позначенні. Визначте вектор стовпця\(X\), у рядку якого\(j\) (зверху) координата\(x_{j}\):\ [X=\ left (\ begin {масив} {c}
x_ {1}\\
x_ {2}\\
vdots\\
x_ {n}
\ end {array}\ right).\]

Визначте «\(K\)матрицю»,\(n \times n\) матрицю, яка має коефіцієнт\(K_{jk}\) у своєму\(j\) рядку та\(k\) 5-му стовпці:\ [K=\ left (\ begin {масив}
{cccc} K_ {11} & K_ {12} &\ cdots & K_ {1 n}\\
K_ {21} & K_ {22} &\ cdots & K_ {2 n}\\
\ vdots &\ vdots &\ ddots &\\ vdots\\
k_ {n 1} & K_ {n 2} &\ cdots & K_ {n n}
\ кінець {масив}\ справа).\]

\(K_{jk}\)як кажуть, є «\(jk\)матричним елементом»\(K\) матриці. Через рівняння (3.19)\(K\) матриця симетрична,\(K = K^{T}\).

Визначте діагональну матрицю\(M\) з\(m_{j}\) у тому рядку і\(j\) стовпці і нулями в іншому місці\ [M=\ left (\ begin {масив} {cccc}
m_ {1} & 0 &\ cdots &
0\\ 0 & m_ {2} &\ cdots & 0
\\\ vdots &\ ddots &\(j\) amp;\ vdots\\
0 & 0 &\ cdots & m_ {n}
\ end {масив}\ праворуч).\]

\(M\)називається «матрицею маси».

Використовуючи ці визначення, ми можемо переписати (3.14) у матричних позначеннях наступним чином:\[M \frac{d^{2} X}{d t^{2}}=-K X .\]

Тут немає нічого дуже фантазійного. Ми щойно використовували матричні позначення, щоб позбутися від знака підсумовування (3.14). Сума тепер неявна у множенні матриці в (3.61). Це корисно, оскільки тепер ми можемо використовувати властивості матриць та множення матриць, розглянуті вище, для маніпулювання (3.61). Наприклад, ми можемо спростити (3.61) трохи, помноживши зліва на,\(M^{-1}\) щоб отримати\[\frac{d^{2} X}{d t^{2}}=-M^{-1} K X .\]

_____________________
¹\(c = 0\) не враховується, тому що рівняння виконується тривіально для будь-якого\(h\). Нас цікавлять тільки нетривіальні рішення.
² Дещо складніше ситуація, коли розчини для\(h\) вироджуються. Ми обговорюємо це в (3.117) нижче.