12.4: Комплексні експоненціальні рішення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 73954

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Складні експоненціальні функції виду\(\mathrm{x}=\exp (\pm \mathrm{i} \omega \mathrm{t})\) також являють собою розв'язки вільного гармонічного осцилятора, керованого рівнянням (12.2.1). Це має сенс, оскільки складна експоненція - це сума синусів і косинусів. Однак для гармонічного осцилятора без тертя експоненціальні рішення не дають особливої переваги перед синусами та косинусами. Крім того, зміщення осцилятора є реальними, а не складними величинами.

Принцип суперпозиції вирішує задачу комплексного та реального розв'язків. Для рівняння типу (12.2.1), яке має дійсні коефіцієнти, якщо\(\exp (i \omega t)\) це рішення, то так є\(\exp (-\mathrm{i} \omega \mathrm{t})\), тому суперпозиція цих двох розв'язків також є рішенням. Крім того

\[\exp (i \omega t)+\exp (-i \omega t)=2 \cos (\omega t)=2 \operatorname{Re}[\exp (i \omega t)]\label{12.13}\]

Це показує ярлик для отримання фізичної частини складного експоненціального рішення рівнянь, таких як рівняння гармонічного осцилятора; просто взяти реальну частину.

Складні експоненціальні розв'язки вступають у свої права для більш складних рівнянь. Наприклад, припустимо, що сила на масу в масово-пружинній системі набуває вигляду

\[F=-k x-b \frac{d x}{d t}\label{12.14}\]

Термін, що містить b, являє собою ефект демпфування тертя на гармонічний осцилятор, а керівне диференціальне рівняння стає

\[\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{b}{M} \frac{d x}{d t}+\frac{k}{M} x=0\label{12.15}\]

Спроба експоненціальної функції\(\exp (\sigma t)\) в цьому рівнянні призводить до

\[\sigma=\frac{1}{2}\left[-\frac{b}{M} \pm\left(\frac{b^{2}}{M^{2}}-\frac{4 k}{M}\right)^{1 / 2}\right]=-\beta \pm i\left(\omega_{0}^{2}-\beta^{2}\right)^{1 / 2}\label{12.16}\]

де ми встановили

\[\beta=\frac{b}{2 M} \quad \omega_{0}=\left(\frac{k}{M}\right)^{1 / 2}\label{12.17}\]

Величина\(\omega \equiv\left(\omega_{0}^{2}-\beta^{2}\right)^{1 / 2}\) - це фактична частота коливань затухаючого осцилятора, яку можна побачити менше частоти коливань ω ₀, яка виникає при вимкненому гасінні. Таким чином, фізичне рішення затухаючого осцилятора

\[x(t)=\operatorname{Re}[\exp (\sigma t)]=\operatorname{Re}[\exp (i \omega t) \exp (-\beta t)]=\cos (\omega t) \exp (-\beta t)\label{12.18}\]

до тих пір, поки\(\omega_{0}^{2}>\beta^{2}\). Зверніть увагу, що це рішення має форму коливання,\(\cos (\omega t)\) помноженого на загасаючу експоненцію\(\exp (-\beta t)\). Це підтверджує, що\(b\) термін зменшує амплітуду коливання з часом.