4.1: Кінетична енергія

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74596

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Довгий час при розвитку класичної механіки фізикам було відомо про існування двох різних величин, які можна було б визначити для об'єкта інерції\(m\) і швидкості\(v\). Один був імпульс\(mv\), а інший - щось пропорційне\(mv^2\). Незважаючи на свою очевидну схожість, ці дві величини демонстрували різні властивості і, здавалося, фіксували різні аспекти руху.

Коли все остаточно розібралося, у другій половині 19 століття кількість\(\frac{1}{2}mv^2\) стала визнаватися формою енергії - сама, мабуть, найважливіша концепція у всій фізиці. Кінетична енергія, як називається ця величина, може бути найбільш очевидним і інтуїтивно зрозумілим видом енергії, і тому це гарне місце для початку нашого вивчення предмета.

Ми будемо використовувати букву\(K\) для позначення кінетичної енергії, і, оскільки це форма енергії, ми будемо виражати її в одиницях, спеціально названих для цієї мети, тобто джоулів (J). 1 джоуль - 1 кг·м ² /с ². У визначенні

\[ K=\frac{1}{2} m v^{2} \label{eq:4.1} \]

буква\(v\) призначена для представлення величини вектора швидкості, тобто швидкості частинки. Значить, на відміну від імпульсу, кінетична енергія є не вектором, а скаляром: з нею немає почуття напрямку. У трьох вимірах можна було б написати

\[ K=\frac{1}{2} m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right) \label{eq:4.2} \]

Отже, існує деяка кількість кінетичної енергії, пов'язаної з кожним компонентом вектора швидкості, але в підсумку всі вони складаються разом одноразово.

Для системи частинок ми будемо розглядати кінетичну енергію як адитивну величину, як ми це робили для імпульсу, тому загальна кінетична енергія системи буде просто сумою кінетичних енергій всіх частинок, що складають систему. Зауважте, що, на відміну від імпульсу, це скалярна (не векторна) сума, і найголовніше, що кінетична енергія, за визначенням, завжди позитивна, тому не може бути й мови про «скасування» кінетичної енергії однієї частинки іншою, знову ж таки, на відміну від того, що сталося з імпульсом. Два об'єкти однакової маси, що рухаються з рівними швидкостями в протилежних напрямках, мають сумарний імпульс нуля, але їх сумарна кінетична енергія, безумовно, ненульова. В основному, кінетична енергія системи ніколи не може бути нульовою до тих пір, поки в системі відбувається будь-який рух.

Кінетична енергія при зіткненнях

Щоб отримати деякі подальші уявлення про поняття кінетичної енергії та способах, якими вона відрізняється від імпульсу, корисно подивитися на неї в тій же обстановці, в якій ми «виявили» імпульс, а саме одновимірні зіткнення в ізольованій системі. Якщо ми знову подивимося на зіткнення, представлене на малюнку 3.1.1 глави 3, відтвореної нижче,

ми можемо використовувати визначення (\ ref {eq:4.1}) для обчислення початкових і кінцевих значень як\(K\) для кожного об'єкта, так і для системи в цілому. Пам'ятайте, ми виявили, що для цієї конкретної системи\(m_2 = 2m_1\), так що ми можемо просто встановити\(m_1 \) = 1 кг і\(m_2\) = 2 кг, для простоти. Початкова і кінцева швидкості\(v_{1i}\) становлять = 1 м/с,\(v_{2i}\) = 0,\(v_{1f}\) = −1/3 м/с,\(v_{2f}\) = 2/3 м/с, і тому кінетичні енергії

\[ K_{1 i}=\frac{1}{2} \: \mathrm{J}, K_{2 i}=0 ; \quad K_{1 f}=\frac{1}{18} \: \mathrm{J}, K_{2 f}=\frac{4}{9} \: \mathrm{J} \nonumber .\]

Зверніть увагу, що 1/18 + 4/9 = 9/18 = 1/2, і так

\[ K_{s y s, i}=K_{1 i}+K_{2 i}=\frac{1}{2} \: \mathrm{J}=K_{1 f}+K_{2 f}=K_{s y s, f} \nonumber .\]

На словах ми виявляємо, що в цьому зіткненні кінцеве значення загальної кінетичної енергії таке ж, як і її початкове значення, і тому, схоже, ми «виявили» ще одну збережену величину (крім імпульсу) для цієї системи.

Ця віра може бути посилена, якщо ми подивимось далі на зіткнення, зображене на малюнку 3.1.2 глави 3, знову відтворене нижче. Нагадаємо, я вказав тоді, що ми можемо думати про це як дійсно таке ж зіткнення, як зображено на малюнку 3.1.1, тільки дивився на з іншої системи відліку (один рухається спочатку вправо на 1 м/с). Нам доведеться більше сказати про те, як перетворити величини з системи відліку в іншу до кінця глави.

У будь-якому випадку, як там спостерігалося, все, що нам потрібно зробити, це додати −1 м/с до всіх швидкостей в попередній задачі, тому ми маємо\(v_{1i}\) = 0,\(v_{2i}\) = −1 м/с,\(v_{1f}\) = −4/3 м/с,\(v_{2f}\) = −1/3 м/с Відповідні кінетичні енергії відповідно\(K_{1i}\) = 0,\(K_{2i}\) = 1 Дж,\(K_{1f}\) = \(\frac{8}{9}\)J,\(K_{2f}\) =\(\frac{1}{9}\) J. Всі ці значення відрізняються від значень, які ми мали в попередньому прикладі, але зауважте, що ще раз загальна кінетична енергія після зіткнення дорівнює загальній кінетичній енергії раніше, а саме 1 Дж у цьому випадку ¹.

Речі, однак, дуже різні, якщо розглядати третій приклад зіткнення, показаний у главі 3, а саме той, де два об'єкти склеюються після зіткнення.

Їх спільна кінцева швидкість, що відповідає збереженню імпульсу, дорівнює\(v_{1f}\)\(v_{2f}\) = 1/3 м/с Так як система запускається як на малюнку\(\PageIndex{1}\), її кінетична енергія спочатку\(K_{sys,i} = \frac{1}{2}\) J, але після зіткнення у нас залишається тільки

\[ K_{s y s, f}=\frac{1}{2}(3 \: \mathrm{kg})\left(\frac{1}{3} \: \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^{2}=\frac{1}{6} \: \mathrm{J} \nonumber .\]

Однак це показує, що на відміну від загального імпульсу системи, на яку повністю не впливають внутрішні взаємодії, загальна кінетична енергія залежить від деталей взаємодії і, таким чином, передає деяку інформацію про її природу. Потім ми можемо вдосконалити наше дослідження зіткнень, щоб розрізнити два види: ті, де початкова кінетична енергія відновлюється після зіткнення, яку ми будемо називати пружною, і ті, де її немає, які ми називаємо нееластичними. Особливим випадком нееластичного зіткнення є той, який називається абсолютно нееластичним, де два об'єкти в кінцевому підсумку склеюються, як на малюнку\(\PageIndex{3}\). Як ми побачимо пізніше, «дефіцит» кінетичної енергії є найбільшим у цьому випадку.

Я вже говорив вище, що при пружному зіткненні кінетична енергія «відновлюється», і я віддаю перевагу цій термінології «збереженій», оскільки, насправді, на відміну від загального імпульсу, загальна кінетична енергія системи не залишається постійною протягом всієї взаємодії, навіть під час пружного зіткнення. Найпростішим прикладом, щоб показати це, було б пружне лобове зіткнення між двома об'єктами однакової маси, що рухаються з однаковою швидкістю назустріч один одному. Під час зіткнення обидва об'єкти миттєво зупиняються, перш ніж вони зворотний напрямок і відскакують назад, і в цей момент загальна кінетична енергія дорівнює нулю.

Ви також можете вивчити цифри\(\PageIndex{1}\) і\(\PageIndex{2}\) вище, і обчислити, виходячи з графіків, значення сумарної кінетичної енергії під час зіткнення. Ви побачите, що він опускається до мінімуму, а потім повертається до свого початкового значення (див. Також рисунок\(\PageIndex{4}\), далі в цьому розділі). Умовно ми можемо говорити про кінетичну енергію як про «консервовану» при пружних зіткненнях, але важливо усвідомити, що ми дивимося на інший вид «збереження», ніж те, що ми мали із загальним імпульсом, який був постійним до, під час та після взаємодії, поки система залишалася ізольовані.

Пружні зіткнення говорять про те, що якою б кінцевою природою цієї речі ми не називаємо «енергією», можливо, можна зберігати її в певній формі (в даному випадку під час зіткнення), а потім відновити її, як кінетичну енергію, врешті-решт. Це відкриває шлях для введення інших видів «енергії» крім кінетичної енергії, як ми побачимо в наступному розділі, і можливість взаємоперетворення, що має місце серед цих видів. На даний момент просто скажемо, що при пружному зіткненні деяка кількість кінетичної енергії тимчасово зберігається як якась «внутрішня енергія», а після зіткнення перетворюється назад в кінетичну енергію; тоді як при нееластичному зіткненні деяка кількість кінетичної енергії отримує безповоротно перетворену в якусь «внутрішню енергію», і ми ніколи не отримуємо її назад.

Оскільки те, що б в кінцевому рахунку не сталося, залежить від деталей і характеру взаємодії, ми будемо змушені розрізняти «консервативні» взаємодії, де кінетична енергія оборотно зберігається як якась інша форма енергії десь, і «дисипативні» взаємодії, де перетворення енергії є, принаймні частково незворотні. Ясно, що пружні зіткнення пов'язані з консервативними взаємодіями, а непружні зіткнення пов'язані з дисипативними взаємодіями. Цю попередню класифікацію взаємодій доведеться переглянути трохи ретельніше, однак у наступному розділі.

¹ Це, звичайно, узгоджується з принципом відносності, про який я розповідав вам у розділі 2: якщо процес на малюнку дійсно\(\PageIndex{2}\) такий же, як той, що на малюнку\(\PageIndex{1}\), розглядається лише в інерційній системі відліку, то, якщо енергія бачиться збереженою в одному кадр, він також повинен бути помічений, щоб бути законсервованим в іншому. Детальніше про це в розділі 4.2.

Відносна швидкість і коефіцієнт реституції

Цікаву властивість пружних зіткнень можна розкрити з ретельного вивчення фігур\(\PageIndex{1}\) і\(\PageIndex{2}\). В обох випадках, як бачите, відносна швидкість зіткнення двох об'єктів має однакову величину (але протилежний знак) до і після зіткнення. Іншими словами: при пружному зіткненні об'єкти в кінцевому підсумку розсуваються з тією ж швидкістю, що і спочатку зібралися разом.

Нагадаємо, що в главі 1 ми визначили швидкість об'єкта 2 щодо об'єкта 1 як величину

\[ v_{12}=v_{2}-v_{1} \label{eq:4.3} \]

(Порівняйте Рівняння (1.3.8); і аналогічно швидкість об'єкта 1 відносно об'єкта 2 дорівнює\(v_{21} = v_1 − v_2\). За допомогою цього визначення ви можете перевірити, що дійсно зіткнення, показані на рис. \(\PageIndex{1}\)і\(\PageIndex{2}\) задовольнити рівність

\[ v_{12, i}=-v_{12, f} \label{eq:4.4} \]

(Зверніть увагу, що ми могли б однаково добре використовувати\(v_{21}\) замість\(v_{12}\)). Наприклад, на малюнку\(\PageIndex{1}\)\(v_{12,i} = v_{2i} − v_{1i}\) = −1 м/с, тоді як\(v_{12,f}\) = 2/3 − (−1/3) = 1 м/с, тому об'єкти спочатку рухаються назустріч один одному зі швидкістю 1 м в секунду, і вони в кінцевому підсумку розсуваються так само швидко, зі швидкістю 1 м в секунду. Візуально ви повинні помітити, що відстань між червоною і синьою кривими однакове до і після (але не під час) зіткнення; той факт, що вони перетинаються, пояснює різницю в знаку відносної швидкості, що в свою чергу означає просто, що до зіткнення вони збиралися разом, і після цього вони розсуваються.

Потрібно лише трохи алгебри, щоб показати, що Equation (\ ref {eq:4.4}) випливає зі спільних умов збереження імпульсу та збереження кінетичної енергії. Перший (\(p_i\)=\(p_f\)) явно має вигляд

\[ m_{1} v_{1 i}+m_{2} v_{2 i}=m_{1} v_{1 f}+m_{2} v_{2 f} \label{eq:4.5} \]

тоді як другий (\(K_i\)=\(K_f\)) може бути записаний як

\[ \frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2 i}^{2}=\frac{1}{2} m_{1} v_{1 f}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2 f}^{2} \label{eq:4.6} .\]

Ми можемо скасувати всі множники 1/2 в Equation (\ ref {eq:4.6}) ², потім переставити його так, щоб величини, що належать об'єкту 1, були з одного боку, а величини, що належать об'єкту 2, - з іншого. Отримуємо

\ begin {масив} {c}
{m_ {1}\ ліворуч (v_ {1 i} ^ {2} -v_ {1 f} ^ {2}\ праворуч) =-m_ {2}\ ліворуч (v_ {2} -v_ {2}\ праворуч)}\\ {m_ {1}\ ліворуч (v_ {1} -v_
{2}\ праворуч)}\\ {m_ {1}\ ліворуч (v_ {1} -v_ {2 f}} v_ {1 f}\ праворуч)\ ліворуч (v_ {1 i} +v_ {1 f}\ праворуч) =-m_ {2}\ ліворуч (v_ {2 i} -v_ {2 f}\ праворуч)\ ліворуч (v_ {2 i} +v_ {2 f}\ праворуч)}\ мітка {eq:4.7}
\ кінець {масив}

(Використовуючи те, що\(a^2 − b^2 = (a + b)(a − b) \)). Однак зауважте, що рівняння (\ ref {eq:4.5}) також можна переписати як

\[ m_{1}\left(v_{1 i}-v_{1 f}\right)=-m_{2}\left(v_{2 i}-v_{2 f}\right) \nonumber .\]

Це відразу дозволяє нам скасувати відповідні фактори в Eq (\ ref {eq:4.7}), тому ми залишилися з\(v_{1i} + v_{1f} = v_{2i} + v_{2f} \), які можуть бути переписані як

\[ v_{1 f}-v_{2 f}=v_{2 i}-v_{1 i} \label{eq:4.8} \]

і це еквівалентно (\ ref {eq:4.4})

Отже, при пружному зіткненні швидкість, з якою обидва об'єкти розсуваються, така ж, як швидкість, з якою вони зібралися разом, тоді як, в тому, що явно протилежна крайність, при абсолютно нееластичному зіткненні кінцева відносна швидкість дорівнює нулю - об'єкти взагалі не розсуваються після зіткнення. Це говорить про те, що ми можемо кількісно оцінити, наскільки нееластичним є зіткнення, за співвідношенням кінцевої до початкової величини відносної швидкості. Це співвідношення позначається\(e\) і називається коефіцієнтом реституції. Формально,

\[ e=-\frac{v_{12, f}}{v_{12, i}}=-\frac{v_{2 f}-v_{1 f}}{v_{2 i}-v_{1 i}} \label{eq:4.9} .\]

Для пружного зіткнення\(e\) = 1, як того вимагає Рівняння (\ ref {eq:4.4}). Для абсолютно нееластичного зіткнення, подібного до того, що зображено на малюнку\(\PageIndex{3}\),\(e\) = 0. Для зіткнення, яке є нееластичним, але не зовсім нееластичним,\(e\) матиме певне значення між цими двома крайнощами. Ці знання можуть бути використані для «проектування» нееластичних зіткнень (наприклад, для домашніх завдань!) : просто виберіть значення для\(e\), між 0 і 1, в Рівнянні (\ ref {eq:4.9}) і об'єднайте це рівняння зі збереженням вимоги до імпульсу (\ ref {eq:4.5}). Потім два рівняння дозволяють обчислити кінцеві швидкості для будь-яких значень\(m_1\)\(m_2\), і початкових швидкостей. На малюнку\(\PageIndex{4}\) нижче, наприклад, показано, яким було\(\PageIndex{1}\) б зіткнення на малюнку, якби коефіцієнт реституції становив 0,6 замість 1. Ви можете перевірити, вирішивши (\ ref {eq:4.5}) і (\ ref {eq:4.9}) разом, і використовуючи початкові швидкості, що\(v_{1f}\) = −1/15 м/с = −0,0667 м/с, і\(v_{2f}\) = 8/15 м/с = 0,533 м/с.

Хоча, як я щойно згадував, для більшості «нормальних» зіткнень коефіцієнт реституції буде позитивним числом між 1 і 0, з цього можуть бути винятки. Якщо один з об'єктів проходить через інший (наприклад, куля через ціль), значення\(e\) буде від'ємним (хоча все ще між 0 і 1 за величиною). І\(e\) може бути більше 1 для так званих «вибухових зіткнень», де деяка кількість додаткової енергії виділяється і перетворюється в кінетичну енергію, коли об'єкти стикаються. (Наприклад, два хокеїста стикаються на ковзанці і штовхають один одного геть.) При цьому об'єкти цілком можуть розлітатися швидше, ніж зійшлися.

Крайнім прикладом ситуації з\(e\) > 0 є вибухове поділ, коли два об'єкти спочатку рухаються разом, а потім розлітаються. У цьому випадку знаменник рівняння (\ ref {eq:4.9}) дорівнює нулю, і тому\(e\) формально нескінченний. Це говорить про те, що насправді так, а саме, що хоча вибухові процеси, безумовно, важливі, описати їх через коефіцієнт реституції рідко, навіть коли це було б формально можливо. На практиці використання коефіцієнта реституції здебільшого обмежується еластичним до абсолютно нееластичним діапазоном, тобто 0 ≤\(e\) ≤ 1.

² Можливо, вам цікаво, чому ми все одно визначаємо кінетичну енергію з коефіцієнтом 1/2 попереду? На даний момент немає хорошої відповіді. Скажімо так, це полегшить визначення «потенційної енергії» пізніше, особливо щодо її відношення до сили.