12.5: Кінетична теорія
цілі навчання
- Висловлюють залежність між тиском і середньою кінетичною енергією молекул газу у вигляді рівняння
У ньютонівській механіці, якщо тиск - це сила, розділена на область, на яку діє сила, то яке походження тиску в газі? Які сили створюють тиск? Ми можемо отримати краще розуміння тиску (і температури, а також) з кінетичної теорії газів, яка передбачає, що атоми і молекули знаходяться в безперервному випадковому русі.
Мікроскопічне походження тиску
Тиск пояснюється кінетичною теорією як виникає внаслідок сили, що чиниться молекулами або атомами, що впливають на стінки контейнера, як показано на малюнку нижче. Розглянемо газ з N молекул, кожна з масою m, укладених в кубічну ємність об'ємом V=L 3. Коли молекула газу стикається зі стінкою контейнера перпендикулярно осі координат х і відскакує в протилежному напрямку з тією ж швидкістю (пружне зіткнення), то імпульс, втрачений частинкою і отриманий стінкою (Δp), становить:
Поступальний рух гелію: Реальні гази не завжди поводяться відповідно до ідеальної моделі за певних умов, таких як високий тиск. Тут показано, що розмір атомів гелію щодо їх відстані масштабується під тиском 1950 атмосфер.
Δp=pi,x−pf,x=pi,x−(−pi,x)=2pi,x=2mvx
де v x - х-складова початкової швидкості частинки.
Частинка впливає на одну конкретну бічну стінку один раз коженΔt=2Lvx,
(Де L - відстань між протилежними стінками). Сила, обумовлена цією частинкою, становить:
F=ΔpΔt=mv2xL.
Сумарне зусилля на стіну, отже, становить:
F=Nm¯v2xL
де планка позначає середнє значення над N частинками. Оскільки припущення полягає в тому, що частинки рухаються у випадкових напрямках, якщо розділити вектори швидкостей всіх частинок в трьох взаємно перпендикулярних напрямках, то середнє значення швидкості в квадраті по кожному напрямку має бути однаковим. (Це не означає, що кожна частинка завжди рухається в 45 градусів до осей координат.)
Тиск: Тиск виникає внаслідок сили, що чиниться молекулами або атомами, що впливають на стінки контейнера.
Це дає¯v2x=¯v23. Ми можемо переписати силу якF=Nm¯v23L.
Ця сила чиниться на площу L 2. Тому тиск газу становить:
P=FL2=Nm¯v23V=nm¯v23,
де V=L 3 - обсяг коробки. Дріб N = N/V - числова щільність газу. Це перший нетривіальний результат кінетичної теорії, оскільки вона пов'язує тиск (макроскопічна властивість) із середньою (поступальною) кінетичною енергією на молекулу, яка є мікроскопічною властивістю.
Швидкість розподілу молекул
Газ багатьох молекул має передбачуваний розподіл молекулярних швидкостей, відомий як розподіл Максвелла-Больцмана.
цілі навчання
- Охарактеризуйте залежність форми та температури кривої розподілу Максвелла-Больцмана
Рух молекул в газі є випадковим за величиною і напрямком для окремих молекул, але газ з багатьох молекул має передбачуваний розподіл молекулярних швидкостей, відомий як розподіл Максвелла-Больцмана (ілюстровано в). Розподіл має довгий хвіст, оскільки деякі молекули можуть в кілька разів перевищувати середньоквадратичну швидкість. Найбільш ймовірна швидкість v p (на піку кривої) менше середньоквадратичної швидкості v rms. Як показано в, крива зрушена до більш високих швидкостей при більш високих температурах, з більш широким діапазоном швидкостей.
Розподіл Максвелла-Больцмана при більш високих температурах: Розподіл Максвелла-Больцмана зміщується на більш високі швидкості і розширюється при більш високих температурах.
Розподіл Максвелла-Больцмана: Розподіл Максвелла-Больцмана молекулярних швидкостей в ідеальному газі. Швидше за все швидкість v_p менше середньоквадратичної швидкості v_rms. Хоча можливі дуже високі швидкості, лише крихітна частка молекул має швидкості, які на порядок більше, ніж v_rms.
Розподіл Максвелла Больцмана
Розподіл Максвелла-Больцмана - це розподіл ймовірностей. Він застосовується до ідеальних газів, близьких до термодинамічної рівноваги, і дається у вигляді наступного рівняння:
fv(vx,vy,vz)=(m2πkT)3/2exp[−m(v2x+v2y+v2z)2kT],
де fv - функція щільності ймовірності швидкості. (Виведення формули виходить за рамки вступної фізики.) Формула обчислює ймовірність знаходження частинки зі швидкістю в нескінченно малому елементі [dv x, dv y, dv z] про швидкість v = [v x, v y, v z] це:
fv(vx,vy,vz)dvxdvydvz.
Також можна показати, що розподіл швидкості Максвелла-Больцмана для векторної швидкості [v x, v y, v z] є добутком розподілів для кожного з трьох напрямків:
fv(vx,vy,vz)=fv(vx)fv(vy)fv(vz)
де розподіл за єдиним напрямком,
fv(vi)=√m2πkTexp[−mv2i2kT].
Це має сенс, оскільки частинки рухаються випадковим чином, а це означає, що кожен компонент швидкості повинен бути незалежним.
Розподіл на швидкість
Зазвичай нас більше цікавлять швидкості молекул, а не їх складові швидкості. Розподіл Максвелла - Больцмана для швидкості випливає відразу з розподілу вектора швидкості, вище. Зверніть увагу, що швидкість дорівнює:
v=√v2x+v2y+v2z
і приріст гучності дорівнює:
dvxdvydvz=v2sinϕdvdθdϕ,
деθ іϕ - «курс» (азимут вектора швидкості) і «кут шляху» (кут піднесення вектора швидкості). Інтеграція нормальної функції щільності ймовірності швидкості, вище, над курсом (від 0 до2π) і кутом шляху (від 0 доπ), з підміною швидкості на суму квадратів векторних компонентів дає наступну функцію щільності ймовірності (відому просто як Розподіл Максвелла):
f(v)=√(m2πkT)34πv2exp(−mv22kT)для швидкості v.
Температура
Температура прямо пропорційна середній поступальної кінетичної енергії молекул в ідеальному газі.
цілі навчання
- Опишіть взаємозв'язок між температурою і енергією молекул в ідеальному газі
Інтуїтивно, більш гаряче повітря передбачає більш швидкий рух молекул повітря. У цьому атомі ми виведемо рівняння, що стосується температури газу (макроскопічної величини) із середньою кінетичною енергією окремих молекул (мікроскопічна величина). Це основне і надзвичайно важливе співвідношення в кінетичній теорії газів.
Мікроскопічний вигляд
Ми припускаємо, що молекула мала в порівнянні з поділом молекул в газі (обмежена в тривимірному контейнері), і що її взаємодія з іншими молекулами можна ігнорувати. Крім того, ми припускаємо пружні зіткнення, коли молекули потрапляють на стінку контейнера, як показано в.
Пружні зіткнення Коли молекули потрапляють у стінку контейнера: Газ у коробці чинить зовнішній тиск на його стінки. Молекула, що стикається з жорсткою стінкою, має напрямок своєї швидкості та імпульсу в напрямку x - зворотне. Цей напрямок перпендикулярно стіні. Складові його швидкісного імпульсу в y- і z-напрямках не змінюються, а значить, немає сили, паралельної стінці.
Ми бачили в атомі на «Походження тиску», що для ідеального газу за нашими припущеннями:
P=Nm¯v23V,
де P - тиск, N - кількість молекул, m - маса молекули, v - швидкість молекул, а V - обсяг газу. З рівняння отримуємо:
PV=13Nm¯v2(Eq.1).
Що ми можемо дізнатися з цієї атомної та молекулярної версії закону ідеального газу? Ми можемо вивести залежність між температурою і середньою поступальною кінетичною енергією молекул в газі. Нагадаємо макроскопічне вираження закону ідеального газу:
PV=NkT(Eq.2),
де N - кількість молекул, T - температура газу, а k - постійна Больцмана.
Прирівнювання правої сторони макроскопічного і мікроскопічного варіантів закону ідеального газу (ур. 1 і 2) дає:
13m¯v2=kT.
Теплова енергія
Зверніть увагу, що середня кінетична енергія (КЕ) молекули в газі становить:
12m¯v2.
Тому виведемо співвідношення між середнім KE і температурою наступним чином:
¯KE=12m¯v2=32kT,(Eq.3).
Середня поступальна кінетична енергія молекули називається тепловою енергією.
RMS Швидкість
Eq. 3 - це молекулярна інтерпретація температури. Було встановлено, що він є дійсним для газів і досить точним у рідинях і твердих тілах. Це ще одне визначення температури, засноване на вираженні молекулярної енергії. Іноді корисно знати середню швидкість молекул в газі з точки зору температури:
¯v2=vrms=√3kTm,
де v rms означає середньоквадратичну (середньоквадратичну) швидкість.
Внутрішня енергія ідеального газу
Внутрішня енергія - це загальна енергія, що міститься в термодинамічній системі, і має дві основні складові: кінетичну енергію та потенційну енергію.
цілі навчання
- Визначити кількість ступенів свободи і обчислити внутрішню енергію для ідеальної молекули газу
У термодинаміці внутрішня енергія - це сумарна енергія, що міститься термодинамічною системою. Внутрішня енергія має дві основні складові: кінетичну енергію та потенційну енергію. Кінетична енергія обумовлена рухом частинок системи (наприклад, переклади, обертання, вібрації). В ідеальних газах міжчастинкова взаємодія відсутня. Тому ми нехтуємо потенційною енергією і зосередимося лише на вкладі кінетичної енергії у внутрішню енергію.
одноатомні гази
Одноатомний газ - це той, в якому атоми не пов'язані один з одним. Благородні гази (He, Ne та ін.) - типові приклади. Гелієвий балон показаний на наступному малюнку. При цьому кінетична енергія складається тільки з поступальної енергії окремих атомів. Одноатомні частинки не вібрують, і їх обертальною енергією можна знехтувати, оскільки атомний момент інерції настільки малий. Крім того, вони не збуджуються в електронному вигляді до вищих енергій, за винятком дуже високих температур. Тому практичні зміни внутрішньої енергії в ідеальному газі можуть бути описані виключно змінами його поступальної кінетичної енергії.
Гелій Blimp: Гелій, як і інші благородні гази, є одноатомним газом, який часто можна описати законом ідеального газу. Це газ вибору для заповнення дирижаблів, таких як дирижаблі Goodyear.
Середня кінетична енергія (КЕ) частинки в ідеальному газі дається як:
¯KE=12m¯v2=32kT,
де k - константа Больцмана. (Див. Атом на «Температурі» в кінетичній теорії.) З атомами N в газі його загальна внутрішня енергія U задається як:
U=32NkT
де N - кількість атомів в газі. Зверніть увагу, що в одноатомних газах існує три ступені свободи: переклад в напрямках x, y і z.
Оскільки атомний рух є випадковим (а отже, ізотропним), кожен ступінь свободи вносить12kT на один атом внутрішню енергію.
Двоатомні гази
Двоатомна молекула (H 2, O 2, N 2 і т.д.) має 5 ступенів свободи (3 для перекладу в напрямках x, y і z і 2 для обертання). Тому внутрішня енергія для двоатомних газів становитьU=52NkT.
Ключові моменти
- Ми можемо отримати краще розуміння тиску (і температури, а також) з кінетичної теорії газів, яка передбачає, що атоми і молекули знаходяться в безперервному випадковому русі.
- Тиск, макроскопічна властивість, може бути пов'язаний із середньою (поступальною) кінетичною енергією на молекулу, яка є мікроскопічною властивістюP=nm¯v23.
- Оскільки припущення полягає в тому, що частинки рухаються у випадкових напрямках, середнє значення швидкості в квадраті уздовж кожного напрямку повинно бути однаковим. Це дає:¯v2x=¯v2y=¯v2z=¯v2/3.
- Розподіл Максвелла-Больцмана має довгий хвіст, а найбільш ймовірна швидкість v p менше середньоквадратичної швидкості v rms. Крива розподілу зміщується на більш високі швидкості при більш високих температурах, з більш широким діапазоном швидкостей.
- Розподіл Максвелла-Больцмана наведено наступним чином:fv(vx,vy,vz)=(m2πkT)3/2exp[−m(v2x+v2y+v2z)2kT]. Це продукт трьох незалежних 1D розподілів Максвелла-Больцмана.
- Молекулярний розподіл швидкості задається якf(v)=√(m2πkT)34πv2exp(−mv22kT). Це просто називається розподілом Максвелла.
- Середня поступальна кінетична енергія молекули еквівалентна32kT і називається тепловою енергією.
- У кінематичній теорії газів макроскопічні величини (такі як прес і температура) пояснюються розглядом мікроскопічного (випадкового) руху молекул.
- Середньоквадратична швидкість молекул у газі задається як√3kTm.
- В ідеальних газах міжчастинкова взаємодія відсутня. Тому тільки кінетична енергія вносить свій внесок у внутрішню енергію.
- Кожен ступінь свободи вносить12kT на один атом внутрішню енергію.
- Для одноатомних ідеальних газів з атомами N її сумарна внутрішня енергія U задається якU=32NkT. Для двоатомних газів,U=52NkT.
Ключові умови
- кінетична теорія газів: Кінетична теорія газів описує газ як велику кількість дрібних частинок (атомів або молекул), всі з яких знаходяться в постійному, випадковому русі.
- Ньютонівська механіка: Рання класична механіка, висунута Ісааком Ньютоном, особливо на основі його законів руху та теорії гравітації.
- rms: Середній квадрат кореня: статистична міра величини різної величини.
- ідеальний газ: гіпотетичний газ, молекули якого не виявляють взаємодії і зазнають пружного зіткнення один з одним і зі стінками контейнера.
- Константа Больцмана: Фізична константа, що зв'язує енергію на рівні частинок з температурою, що спостерігається на рівні об'ємної маси. Це газова константа R, поділена на число Авогадро, NA.
- момент інерції: міра опору тіла зміні його кутової швидкості обертання
- благородний газ: Будь-який з елементів групи 18 періодичної таблиці, будучи одноатомним і (за дуже обмеженим винятком) інертним.
ЛІЦЕНЗІЇ ТА АВТОРСТВА
CC ЛІЦЕНЗОВАНИЙ КОНТЕНТ, РАНІШЕ ДІЛИВСЯ
- Курація та доопрацювання. Надано: Boundless.com. Ліцензія: CC BY-SA: Із Зазначенням Авторства
CC ЛІЦЕНЗОВАНИЙ ВМІСТ, СПЕЦИФІЧНА АТРИБУЦІЯ
- Кінетична теорія. Надано: Вікіпедія. Розташований за адресою: uk.wikipedia.org/wiki/кінетика_теорія% 23presure_і_kinetic_energy. Ліцензія: CC BY-SA: Із Зазначенням Авторства
- кінетична теорія газів. Надано: Вікіпедія. Розташований за адресою: en.wikipedia.org/wiki/Кінетика% 20 Теорія %20 з% 20 газів. Ліцензія: CC BY-SA: Із Зазначенням Авторства
- Ньютонівська механіка. Надано: Вікісловник. Розташовано за адресою: uk.wiktionary.org/wiki/Ньютоніан_механіка. Ліцензія: CC BY-SA: Із Зазначенням Авторства
- Кінетична теорія. Надано: Вікіпедія. Розташовано за адресою: uk.wikipedia.org/wiki/Кінетика_теорія. Ліцензія: Суспільне надбання: Немає відомих авторських прав
- Кінетична теорія. Надано: Вікіпедія. Розташовано за адресою: uk.wikipedia.org/wiki/Кінетика_теорія. Ліцензія: Суспільне надбання: Немає відомих авторських прав
- Розподіл Максвелла 2013 Больцмана. Надано: Вікіпедія. Розташований за адресою: uk.wikipedia.org/wiki/Максвелл% е 2% 80% 93Больцманн_дистрибутив. Ліцензія: CC BY-SA: Із Зазначенням Авторства
- OpenStax College, Кінетична теорія: атомне та молекулярне пояснення тиску та температури. 17 вересня 2013 року. Надається: OpenSTAX CNX. Знаходиться за адресою: http://cnx.org/content/m42217/latest/. Ліцензія: CC BY: Зазначення авторства
- rms. Надано: Вікіпедія. Розташовано за адресою: uk.wikipedia.org/wiki/RMS. Ліцензія: CC BY-SA: Із Зазначенням Авторства
- Кінетична теорія. Надано: Вікіпедія. Розташовано за адресою: uk.wikipedia.org/wiki/Кінетика_теорія. Ліцензія: Суспільне надбання: Немає відомих авторських прав
- Кінетична теорія. Надано: Вікіпедія. Розташовано за адресою: uk.wikipedia.org/wiki/Кінетика_теорія. Ліцензія: Суспільне надбання: Немає відомих авторських прав
- OpenStax College, Кінетична теорія: атомне та молекулярне пояснення тиску та температури. 4 лютого 2013 року. Надається: OpenSTAX CNX. Знаходиться за адресою: http://cnx.org/content/m42217/latest/. Ліцензія: CC BY: Зазначення авторства
- OpenStax College, Кінетична теорія: атомне та молекулярне пояснення тиску та температури. 4 лютого 2013 року. Надається: OpenSTAX CNX. Знаходиться за адресою: http://cnx.org/content/m42217/latest/. Ліцензія: CC BY: Зазначення авторства
- Коледж OpenStax, Коледж фізики. 17 вересня 2013 року. Надається: OpenSTAX CNX. Знаходиться за адресою: http://cnx.org/content/m42217/latest/?collection=col11406/1.7. Ліцензія: CC BY: Зазначення авторства
- ідеальний газ. Надано: Вікісловник. Розташований за адресою: uk.wiktionary.org/wiki/ideal_gas. Ліцензія: CC BY-SA: Із Зазначенням Авторства
- Коледж OpenStax, Коледж фізики. 17 вересня 2013 року. Надається: OpenSTAX CNX. Знаходиться за адресою: http://cnx.org/content/m42217/latest/?collection=col11406/1.7. Ліцензія: CC BY: Зазначення авторства
- кінетична теорія газів. Надано: Вікіпедія. Розташований за адресою: en.wikipedia.org/wiki/Кінетика% 20 Теорія %20 з% 20 газів. Ліцензія: CC BY-SA: Із Зазначенням Авторства
- rms. Надано: Вікіпедія. Розташовано за адресою: uk.wikipedia.org/wiki/RMS. Ліцензія: CC BY-SA: Із Зазначенням Авторства
- Кінетична теорія. Надано: Вікіпедія. Розташовано за адресою: uk.wikipedia.org/wiki/Кінетика_теорія. Ліцензія: Суспільне надбання: Немає відомих авторських прав
- Кінетична теорія. Надано: Вікіпедія. Розташовано за адресою: uk.wikipedia.org/wiki/Кінетика_теорія. Ліцензія: Суспільне надбання: Немає відомих авторських прав
- OpenStax College, Кінетична теорія: атомне та молекулярне пояснення тиску та температури. 4 лютого 2013 року. Надається: OpenSTAX CNX. Знаходиться за адресою: http://cnx.org/content/m42217/latest/. Ліцензія: CC BY: Зазначення авторства
- OpenStax College, Кінетична теорія: атомне та молекулярне пояснення тиску та температури. 4 лютого 2013 року. Надається: OpenSTAX CNX. Знаходиться за адресою: http://cnx.org/content/m42217/latest/. Ліцензія: CC BY: Зазначення авторства
- OpenStax College, Кінетична теорія: атомне та молекулярне пояснення тиску та температури. 4 лютого 2013 року. Надається: OpenSTAX CNX. Знаходиться за адресою: http://cnx.org/content/m42217/latest/. Ліцензія: CC BY: Зазначення авторства
- благородний газ. Надано: Вікісловник. Розташований за адресою: uk.wiktionary.org/wiki/noble_gas. Ліцензія: CC BY-SA: Із Зазначенням Авторства
- Внутрішня енергія. Надано: Вікіпедія. Розташований за адресою: uk.wikipedia.org/wiki/Внутрішня енергія%23Internal_energy_of_the_ideal_gas. Ліцензія: CC BY-SA: Із Зазначенням Авторства
- момент інерції. Надано: Вікісловник. Розташований за адресою: uk.wiktionary.org/wiki/moment_of_inertia. Ліцензія: CC BY-SA: Із Зазначенням Авторства
- Константа Больцмана. Надано: Вікісловник. Розташоване за адресою: uk.wiktionary.org/wiki/Константа Больцманна. Ліцензія: CC BY-SA: Із Зазначенням Авторства
- Кінетична теорія. Надано: Вікіпедія. Розташовано за адресою: uk.wikipedia.org/wiki/Кінетика_теорія. Ліцензія: Суспільне надбання: Немає відомих авторських прав
- Кінетична теорія. Надано: Вікіпедія. Розташовано за адресою: uk.wikipedia.org/wiki/Кінетика_теорія. Ліцензія: Суспільне надбання: Немає відомих авторських прав
- OpenStax College, Кінетична теорія: атомне та молекулярне пояснення тиску та температури. 4 лютого 2013 року. Надається: OpenSTAX CNX. Знаходиться за адресою: http://cnx.org/content/m42217/latest/. Ліцензія: CC BY: Зазначення авторства
- OpenStax College, Кінетична теорія: атомне та молекулярне пояснення тиску та температури. 4 лютого 2013 року. Надається: OpenSTAX CNX. Знаходиться за адресою: http://cnx.org/content/m42217/latest/. Ліцензія: CC BY: Зазначення авторства
- OpenStax College, Кінетична теорія: атомне та молекулярне пояснення тиску та температури. 4 лютого 2013 року. Надається: OpenSTAX CNX. Знаходиться за адресою: http://cnx.org/content/m42217/latest/. Ліцензія: CC BY: Зазначення авторства
- Гелій. Надано: Вікіпедія. Знаходиться за адресою: http://en.Wikipedia.org/wiki/Helium. Ліцензія: CC BY: Зазначення авторства