Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

20.5: RC-схеми

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    74655

    • Boundless
    • Boundless
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    цілі навчання

    • Опишіть компоненти та функції RC-ланцюга, особливо відзначивши залежність від часу заряду конденсатора

    RC-ланцюг містить резистор R і конденсатор С. Конденсатор є електричним компонентом, в якому розміщується електричний заряд. У цьому атомі ми вивчимо, як поводиться послідовна RC-схема при підключенні до джерела напруги постійного струму. (У наступних атомах ми будемо вивчати його поведінку змінного струму.)

    Зарядка

    На рис. 1 показана проста RC-схема, яка використовує джерело напруги постійного струму. Конденсатор спочатку розряджений. Як тільки вимикач замкнутий, струм надходить до і від спочатку незарядженого конденсатора. У міру збільшення заряду на обкладинках конденсатора зростає протидія потоку заряду шляхом відштовхування подібних зарядів на кожній пластині.

    зображення

    Зарядка RC ланцюга: (а) RC-ланцюг з спочатку незарядженим конденсатором. Струм тече в напрямку, показаному, як тільки вимикач замкнутий. Взаємне відштовхування подібних зарядів в конденсаторі прогресивно уповільнює потік при заряді конденсатора, зупиняючи струм при повному заряді конденсатора і Q = C⋅ЕРС. (b) Графік напруги на конденсаторі в порівнянні з часом, при замиканні вимикача в час t = 0. (Зауважимо, що в двох частинах-фігурах прописний сценарій E розшифровується як ЕРС, q означає заряд, що зберігається на конденсаторі, а τ - постійна часу RC.)

    Що стосується напруги, то напруга конденсатора задається V c = Q/C, де Q - кількість заряду, що зберігається на кожній пластині, а C - ємність. Ця напруга протистоїть батареї, зростаючи від нуля до максимальної ЕРС при повній зарядці. Таким чином, струм зменшується від свого початкового значення I 0 =ЕМФ/R до нуля, оскільки напруга на конденсаторі досягає того ж значення, що і ЕРС. Коли немає струму, то немає ІК падіння, тому напруга на конденсаторі повинна тоді дорівнювати ЕРС джерела напруги.

    Спочатку напруга на конденсаторі дорівнює нулю і спочатку швидко зростає, так як початковий струм максимальний. На рис. 1 (b) показаний графік напруги конденсатора в залежності від часу (t) запуску при замиканні вимикача при t=0. Напруга наближається до ЕРС асимптотично, оскільки чим ближче вона наближається до ЕРС, тим менше протікає струм. Рівняння напруги проти часу при зарядці конденсатора С через резистор R, таке:

    \[\mathrm { V } ( \mathrm { t } ) = \operatorname { emf } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { \mathrm { t } / \mathrm { RC } } \right)\]

    де V (t) - напруга на конденсаторі, а ЕРС дорівнює ЕРС джерела постійної напруги. (Точну форму можна отримати шляхом вирішення лінійного диференціального рівняння, що описує RC-ланцюг, але це трохи виходить за рамки цього атома.) Зверніть увагу, що одиниця RC є другою. Визначимо постійну часу τ для RC-ланцюга як\(\tau = \mathrm { R } \mathrm { C }\). τ показує, наскільки швидко ланцюг заряджається або розряджається.

    розрядка

    Розрядка конденсатора через резистор протікає аналогічним чином, як ілюструє. Спочатку струм I 0 = V 0 /R, що приводиться в рух початковою напругою V 0 на конденсаторі. При зниженні напруги струм і, отже, швидкість розряду зменшується, маючи на увазі іншу експоненціальну формулу для V. За допомогою числення виявляється напруга V на розрядженому через резистор R конденсаторі C

    \[\mathrm { V } ( \mathrm { t } ) = \mathrm { V } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { t } / \mathrm { RC } }\]

    Імпеданс

    Імпеданс - це міра протистояння, яке схема представляє для проходження струму при подачі напруги.

    цілі навчання

    • Висловіть зв'язок між імпедансом, опором та ємністю послідовного RC-ланцюга у вигляді рівняння

    Замість того, щоб вирішувати диференціальне рівняння, що стосується ланцюгів, що містять резистори та конденсатори, ми можемо уявити, що всі джерела в схемі є складними експоненціальними, що мають однакову частоту. Ця методика корисна при вирішенні проблем, в яких фазові відносини важливі. Фаза комплексного імпедансу - це зсув фаз, за допомогою якого струм випереджає напругу.

    Комплексний аналіз

    Для RC-ланцюга в джерело змінного струму, що керує ланцюгом, задається як:

    зображення

    Серія RC ланцюга: Серія RC ланцюга.

    \[\mathrm { v } _ { \mathrm { in } } ( \mathrm { t } ) = \mathrm { Ve } ^ { \mathrm { j } \omega t }\]

    де V - амплітуда змінної напруги, j - уявна одиниця (j 2 =-1), а ωω - кутова частота джерела змінного струму. Дві речі, які слід зазначити:

    1. Ми використовуємо алфавіти нижнього регістру для напруг та джерел, щоб представити, що вони чергуються (тобто ми використовуємо v in (t) замість V in (t)).
    2. Уявній одиниці дається символ «j», а не звичайне «i». «i» зарезервовано для змінних струмів.

    Комплексний імпеданс

    Перевага припускають, що джерела приймають таку форму, полягає в тому, що всі напруги і струми в ланцюзі також є складними експоненціальними (мають ту ж частоту, що і джерело). Щоб оцінити причину цього, ми можемо дослідити, як поводиться кожен елемент ланцюга, коли напруга або струм є складною експоненціальною. Для резистора,\(\mathrm { v } = \mathrm { R } \mathrm { i }\). Від нашої напруги, наведеної вище,\(\mathrm { i } = \frac { \mathrm { V } } { \mathrm { R } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { j } \omega t } \). При цьому напруга резистора є комплексним, як і струм з амплітудою\(\mathrm { I } = \frac { \mathrm { V } } { \mathrm { R } }\). Для конденсатора,\(\mathrm { i } = \mathrm { C } \frac { \mathrm { dv } } { \mathrm { dt } }\). Нехай напруга буде складною експоненціальною, яку ми маємо\(\mathrm{i=jωCVe^{jωt}}\). Амплітуда цього комплексу експоненціальна дорівнює\(\mathrm{I=jωCV}\).

    Основним наслідком припущення складних експоненціальних напруг і струмів є те, що співвідношення\(\mathrm{Z = \frac { V } { I }}\) для, а не залежно від часу кожного елемента залежить від частоти джерела. Ця величина відома як імпеданс елемента (складний). Величина комплексного імпедансу - це відношення амплітуди напруги до амплітуди струму. Так само, як опір у випадках постійного струму, імпеданс - це міра протистояння, яке схема представляє для проходження струму при подачі напруги. Імпеданс резистора R, тоді як у конденсатора (С) є\(\mathrm{\frac { 1 } { j \omega C }}\). У випадку схеми в, щоб знайти складний імпеданс RC-ланцюга, ми додаємо імпеданс двох компонентів, так само, як і з двома резисторами послідовно:\(\mathrm { Z } = \mathrm { R } + \frac { 1 } { \mathrm { j } \omega \mathrm { C } }\).

    Пошук реальних струмів і напруг

    Так як\(\mathrm { e } ^ { \mathrm { j } \omega t } = \cos ( \omega \mathrm { t } ) + \mathrm { j } \sin ( \omega \mathrm { t } )\), щоб знайти реальні струми і напруги нам просто потрібно взяти реальну частину i (t) і v (t). Імпеданс (реальне значення) є реальною частиною комплексного імпедансу Z. для серії RC ланцюга, ми отримуємо\(\mathrm { Z } = \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \omega C } \right) ^ { 2 } }\). Бачимо, що амплітуда струму буде\( \frac{\mathrm { V }}{ \mathrm { Z }} = \frac { \mathrm { V } } { \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \omega C } \right) ^ { 2 } } }\).

    Фазовий кут і коефіцієнт потужності

    У послідовному RC-ланцюзі, підключеному до джерела змінної напруги, напруга і струм підтримують різницю фаз.

    цілі навчання

    • Порівняйте струми в резисторі і конденсаторі в послідовній RC-ланцюзі, підключеної до джерела змінної напруги

    Кут фази

    Імпеданс - це змінний струм (змінний струм) аналог опору в ланцюзі постійного струму. Як ми вивчали раніше Atom («Імпеданс»), струм, напруга та імпеданс в RC-ланцюзі пов'язані змінним варіантом закону Ома:\(\mathrm{I=\frac{V}{Z}}\), де I і V - піковий струм і пікова напруга відповідно, а Z - імпеданс ланцюга.

    У послідовному RC-ланцюзі, підключеному до джерела змінної напруги, як показано на, збереження заряду вимагає, щоб струм був однаковим у кожній частині ланцюга в усі часи. Тому можна сказати: струми в резисторі і конденсаторі рівні і по фазі. (Ми будемо представляти миттєвий струм як i (t).)

    зображення

    Серія RC ланцюга: Серія RC ланцюга.

    З іншого боку, тому що сумарна напруга повинна дорівнювати сумі напруг на резисторі і конденсаторі, так ми маємо:

    \[\left.\begin{aligned} \mathrm { v } ( \mathrm { t } ) & = \mathrm { v } _ { \mathrm { R } } ( \mathrm { t } ) + \mathrm { v } _ { \mathrm { C } } ( \mathrm { t } ) \\ & = \mathrm { i } ( \mathrm { t } ) \mathrm { R } + \mathrm { i } ( \mathrm { t } ) \frac { 1 } { \mathrm { j } \omega C } \\ & = \mathrm { i } ( \mathrm { t } ) \left( \mathrm { R } + \frac { 1 } { \mathrm { j } \omega C } \right) \end{aligned} \right.\]

    де ωω - кутова частота джерела змінної напруги і j - уявна одиниця; j 2 =-1. Оскільки комплексне число\(\mathrm { Z } = \mathrm { R } + \frac { 1 } { \mathrm { j } \omega C } = \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \omega \mathrm{C} } \right) ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { j } \phi }\) має фазовий кут\(ϕ\), який задовольняє\(\cos \phi = \frac { \mathrm { R } } { \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \omega \mathrm{ C} } \right) ^ { 2 } } }\),

    ми помічаємо, що напруга\(\mathrm{v(t)}\) і струм\(\mathrm{i(t)}\) має різницю фаз\(ϕ\).

    Для\(\mathrm{R=0, ϕ=90^∘}\). Як стало відомо з попередньої серії атомів - напруга на конденсаторі V C слідує за струмом на одну четверту циклу (або 90º).

    Коефіцієнт потужності

    Оскільки напруга і струм поза фазою, потужність, що розсіюється ланцюгом, не дорівнює: (пікова напруга) разів (піковий струм). Те, що напруга джерела і струм знаходяться поза фазою, впливає на потужність, що подається в ланцюг. Можна показати, що середня потужність дорівнює I rms V rms cos, де I rms і V rms є середньоквадратичними (середньоквадратичними) середніми значеннями струму і напруги відповідно. З цієї причини cosназивається коефіцієнтом потужності, який може коливатися від 0 до 1.

    Ключові моменти

    • У RC-ланцюзі, підключеному до джерела постійної напруги, струм зменшується від початкового значення I 0 = EMF/R до нуля, оскільки напруга на конденсаторі досягає того ж значення, що і ЕРС.
    • У RC-ланцюзі, підключеному до джерела напруги постійного струму, напруга на конденсаторі спочатку дорівнює нулю і швидко зростає спочатку, оскільки початковий струм є максимальним:\( \mathrm { V } ( \mathrm { t } ) = \operatorname { emf } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { \mathrm{t} / \mathrm { RC } } \right)\).
    • Константа часу τ для RC-ланцюга визначається як RC. Це блок знаходиться в секундах і показує, як швидко ланцюг заряджається або розряджається.
    • Перевага припущення, що джерела мають складну експоненціальну форму, полягає в тому, що всі напруги і струми в ланцюзі також є складними експоненціальними, що мають ту ж частоту, що і джерело.
    • Основним наслідком припущення складних експоненціальних напруг і струмів є те, що співвідношення (Z = V/I) для кожного елемента не залежить від часу, але залежить від частоти джерела.
    • Для серії RC ланцюга імпеданс задається як\( \mathrm { Z } = \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \omega \mathrm{C} } \right) ^ { 2 } }\).
    • У послідовному RC-ланцюзі, підключеному до джерела змінної напруги, струми в резисторі і конденсаторі рівні і по фазі.
    • У послідовній RC-ланцюзі, підключеної до джерела змінної напруги, сумарна напруга повинна дорівнювати сумі напруг на резисторі і конденсаторі.
    • У послідовному RC-ланцюзі, підключеному до джерела змінної напруги, напруга і струм мають різницю фаз\(ϕ\), де\(\cos \phi = \frac { \mathrm { R } } { \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \omega \mathrm{C} } \right) ^ { 2 } } }\). cosназивається коефіцієнтом потужності.

    Ключові умови

    • DC: постійний струм; односпрямований потік електричного заряду.
    • конденсатор: Електронний компонент, здатний зберігати електричний заряд, особливо один, що складається з двох провідників, розділених діелектриком.
    • диференціальне рівняння: рівняння, що включає похідні функції.
    • імпеданс: Міра протистояння потоку змінного струму в ланцюзі; агрегація його опору, індуктивного та ємнісного реактивного опору. Представлений символом Z.
    • резистор: Електричний компонент, який передає струм прямо пропорційно напрузі на ньому.
    • змінний струм: (AC) —електричний струм, при якому напрямок течії електронів періодично змінюється, маючи в середньому нуль, з позитивними і негативними значеннями (з частотою 50 Гц в Європі, 60 Гц в США, 400 Гц для освітлення аеропортів і деякі інші); особливо такий струм, вироблений обертовим генератором або генератором змінного струму.
    • rms: Середній квадрат кореня: статистична міра величини різної величини.

    ЛІЦЕНЗІЇ ТА АВТОРСТВА

    CC ЛІЦЕНЗОВАНИЙ КОНТЕНТ, РАНІШЕ ДІЛИВСЯ

    CC ЛІЦЕНЗОВАНИЙ ВМІСТ, СПЕЦИФІЧНА АТРИБУЦІЯ