2.E: Сили (вправи)

2.1 Кінцева швидкість - це максимальна (постійна) швидкість, яку досягає об'єкт, що падає. У цій задачі ми використовуємо Equation (2.2.6) для сили перетягування.

1. Використовуйте розмірний аналіз, щоб пов'язати кінцеву швидкість падаючого об'єкта з різними відповідними параметрами.
2. Оцініть кінцеву швидкість парапланера (рис. 2.3.1c).
3. Використовуйте концепцію термінальної швидкості, щоб передбачити, чи миша (без парашута) може пережити падіння з високої вежі.

2.2 Коли ви готуєте рис, частина сухих зерен завжди прилипає до мірної чашки. Поширений спосіб їх дістати - перевернути мірний стаканчик догори дном і вдарити рукою по дну (тепер зверху), щоб зерна відірвалися [32].

1. Поясніть, чому статичне тертя тут не має значення.
2. Поясніть, чому гравітація мізерно мала.
3. Поясніть, чому працює удар по чашці, і чому його успіх залежить від удару по чашці досить сильно.

2.3 М'яч кидається зі швидкістю v з нульової висоти на рівну землю. Ми хочемо знайти кут,$\theta$ під яким вона повинна бути кинута, щоб площа під траєкторією була максимальною.

1. Ескіз траєкторії польоту кулі.
2. Використовуйте розмірний аналіз, щоб пов'язати площу з початковою швидкістю v і гравітаційним прискоренням g.
3. Запишіть координати x та y кулі як функцію часу.
4. Знайти загальний час, коли м'яч знаходиться в повітрі.
5. Площа під траєкторією задається$A= \int y \mathrm d x$. Зробіть змінну трансформацію, щоб висловити цей інтеграл як інтеграцію з часом.
6. Оцініть інтеграл. Вашою відповіддю повинна бути функція початкової швидкості v і кута$\theta$.
7. З вашої відповіді на (f) знайдіть кут, який максимізує площу, і значення цієї максимальної площі. Переконайтеся, що ваша відповідь відповідає вашій відповіді на (b).

2.4 Якщо до даної пружині прикріплена маса m, її період коливання дорівнює Т. Якщо дві такі пружини з'єднані впритул до кінця, і приєднана однакова маса m, знайдіть новий період$T^\prime$, за старим періодом Т.

2.5 Два блоки, масою м і 2м, з'єднуються безмасовою струною і ковзають вниз по похилій площині під кутом$\theta$. Коефіцієнт кінетичного тертя між більш легким блоком і площиною є$\mu$, і що між більш важким блоком і площиною дорівнює 2$\mu$. Запальничка блоку веде.

1. Знайдіть величину прискорення блоків.
2. Знайдіть напругу в підтягнутій струні.

2.6 Човен 1000 кг їде на 100,${km} \over h$ коли його двигун відключений. Величина$F_d$ сили опору між човном і водою пропорційна швидкості v човна, з коефіцієнтом опору$\zeta=70 {{N \cdot s} \over m}$. Знайдіть час, який займає човен, щоб сповільнити до 45${km} \over h$.

2.7 Дві частинки на лінії взаємно притягуються силою F = -aR, де a - постійна і r відстань поділу. У момент t=0 частка A масою m розташована біля початку, а частка B маси$m \over 4$ розташована на r=5,0 см.

1. Якщо частинки знаходяться в стані спокою при t=0, при якому значенні r вони стикаються?
2. Яка відносна швидкість двох частинок в момент зіткнення?

2.8 У дрег-рейсингу спеціально розроблені автомобілі максимізують тертя з дорогою для досягнення максимального прискорення. Розглянемо drag racer (або 'dragster'), як показано на малюнку 2.E.1, для якого центр маси знаходиться близько до задніх коліс.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Драг-гонщик або драгстер [8], CC BY-SA 3.0.

1. Намалюйте діаграму вільного тіла драгстера у вигляді збоку. Намалюйте колеса у вигляді кіл, і зобразіть форму корпусу драгстера у вигляді трикутника з горизонтальною лінією між колесами, вертикальною лінією, що йде вгору від задньої осі, і діагональною лінією, що з'єднує верх з передніми колесами. NB: уважно продумайте напрямок сили тертя!
2. На якому з коліс сила тертя найбільша?
3. Сила тертя максимізується, якщо колеса просто не ковзають (оскільки, як зазвичай, коефіцієнт кінетичного тертя менший, ніж у статичного тертя). Знайти максимально можливу силу тертя на задніх колесах.
4. Знайдіть максимально можливе прискорення драгстера. (e) Для коефіцієнта (статичного) тертя 1,0 (досить реалістичне значення для гуми та бетону) та колії 500 м знайдіть максимальну швидкість, яку гонщик може досягти в кінці траси при старті з відпочинку.

2.9 Блоки А, В і С розміщені так, як показано на малюнку, і з'єднуються мотузками мізерно малої маси. І A, і B важать по 20,0 Н кожен, а коефіцієнт кінетичного тертя між кожним блоком і поверхнею дорівнює 0,3. Кут нахилу$\theta$ дорівнює$42.0 ^\circ$. Диски в шківах мають незначну масу. Після звільнення блоків блок С опускається з постійною швидкістю.

1. Знайдіть натяг в мотузці, що з'єднує блоки А і В.
2. Яка вага блоку С?
3. Якби мотузка, що з'єднує блоки А і Б, якою була б прискорення С?

2.10 На малюнку нижче показана поширена сучасна конструкція гойдалок. Крім балки з двома сидіннями, ця гойдалка містить також дві однакові пружини, які з'єднують балку з землею. Відстань між шкворнем і кожною з пружин - 30,0 см, відстань між шкворнем і кожним з сидінь - 1,50 м.

1. 4-річний чоловік вагою 20,0 кг сидить на одному з сидінь, внаслідок чого він падає на 20,0 см. Намалюйте схему вільного тіла гойдалки з дитиною, в яку включите всі відповідні сили (до масштабу).
2. Використовуйте вашу діаграму та надані дані для обчислення постійної пружини двох пружин, присутніх у гойдалках.

2.11 Два кульки однакової маси m і радіуса r скидаються в циліндричну ємність радіусом 3r, як показано на малюнку. Знайдіть силу, що чиниться мармурами на точки A, B і C, і силу, яку мармури чинять один на одного.

Малюнок 2.Е.2. Припустимо, у вас є обрешітка з квадратною основою, шириною рівно п'ять апельсинів. Ви укладаєте 25 апельсинів в обрешітку, потім кладете зверху ще 16 в отвори, а потім додаєте другий шар з 25 апельсинів, утримуваних на місці боками обрешітки. Знайдіть сумарне зусилля з боків обрешітки в даній конфігурації. Припустимо, всі апельсини - це сфери діаметром 8,0 см і масою 250 г.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Укладені фрукти. (а) Укладаються мандарини на підставці для фруктів [9]. (b) Поперечний переріз укладених апельсинів в обрешітку.

2.13 Об'єкти з щільністю менше, ніж у води, плавають, і навіть предмети, які мають більш високу щільність, «легші» у воді. Сила, яка відповідає за це, відома як сила плавучості, яка дорівнює, але протилежна гравітаційній силі на витісненій воді:$F_{\text { buoyancy }}=\rho_{w} g V_{w}$, де$\rho_w$ щільність води та$V_w$ зміщений об'єм. У частинами (а) і (b) розглядаємо дерев'яний брусок з щільністю$\rho \lt \rho_w$, який плаває у воді.

1. Яка фракція блоку деревини занурюється під час плавання?
2. Ви штовхаєте вниз блок трохи більше рукою, потім відпускаєте. Потім блок коливається на поверхні води. Поясніть чому, і обчисліть частоту коливань.
3. Ви виймаєте шматок дерева, а тепер плаваєте шматок льоду у відрі з водою. Зверху льоду ви поміщаєте невеликий камінь. Коли все перестало рухатися, ви відзначаєте рівень води. Потім чекаєш, поки лід розтане, і камінь опустився на дно відра. Що сталося з рівнем води? Поясніть свою відповідь (ви можете зробити це або якісно через аргумент, або кількісно через розрахунок).
4. Гумові качки теж плавають, але, незважаючи на те, що у них плоске дно, вони зазвичай не тримаються вертикально у воді. Поясніть, чому.
5. Ви скидаєте кульку 5,0 кг радіусом 10 см і$c_d$ коефіцієнтом опору 0,20 у воду (в'язкість$1.002 mPa \cdot s$). Цей куля має щільність вище, ніж у води, тому він тоне. Через деякий час він досягає постійної швидкості, відомої як його кінцева швидкість. Яке значення цієї кінцевої швидкості?
6. Коли куля в (е) досягла кінцевої швидкості, яке значення його числа Рейнольдса (див. Задача 1.3)?

2.14 Однорідна палиця масою М і довжиною L=1,00 м має вагу маси m, що звисає з одного кінця. Паличка і вага висять в рівновазі за силовою шкалою в точці x = 20,0 см від кінця палиці. Виміряна сила дорівнює 3,00 Н. Знайдіть як масу М палиці, так і m ваги.

2.15 Рівномірний стрижень довжиною 4,25 м і масою 47,0 кг кріпиться до стіни шарніром на одному кінці. Стрижень утримується в горизонтальному положенні дротом, прикріпленим до іншого його кінця. Дріт робить кут$30.0^\circ$ з горизонтальним і кріпиться болтами до стіни безпосередньо над шарніром. Якщо дріт може витримати максимальну напругу 1250 Н до розриву, як далеко від стіни може сидіти людина 75,0 кг, не розриваючи провід?

2.16 Дерев'яний брусок рівномірної щільності, але різної товщини висить підвішений на двох струн мізерно малої маси. Пасма роблять кутами$\theta_1$ і$\theta_2$ з горизонтальними, як показано на малюнку. Брусок має загальну масу m і довжину L. Знайдіть відстань x між центром маси бруска і його (найтовстішим) кінцем.

2.17 Велосипедне колесо радіусом R і масою М впирається в крок висоти$3R \over 4$, як показано на малюнку. Знайдіть мінімальну горизонтальну силу F, яку потрібно докласти до осі, щоб колесо почало підніматися над сходинкою.

2.18 Блок маси М притискається до вертикальної стінки, з зусиллям F прикладається під$\theta$ кутом по відношенню до горизонталі ($-{\pi \over 2} \lt \theta \lt {\pi \over 2}$), як показано на малюнку. Коефіцієнт тертя блоку і стінки дорівнює$\mu$. Починаємо з корпусу$\theta = 0$, тобто зусилля перпендикулярно стіні.

1. Намалюйте діаграму вільного тіла, яка показує всі сили.
2. Якщо блок повинен залишатися нерухомим, чиста сила на нього повинна дорівнювати нулю. Запишіть рівняння для силового балансу (тобто сума всіх сил дорівнює нулю, або сили в одну сторону дорівнюють силам у зворотному напрямку) для напрямків x і y.
3. З двох рівнянь, які ви знайшли в (b), вирішіть для сили F, необхідної для утримання книги на місці.
4. Тепер повторіть кроки, які ви зробили в (а) - (c) для сили під заданим кутом$\theta$, і знайдіть необхідну силу F.
5. Для якого кута$\theta$ ця мінімальна сила F найменша? Яке відповідне мінімальне значення F?
6. Що таке граничне значення$\theta$, нижче якого не представляється можливим утримати блок вгору (незалежно від величини сили)?

2.19 Сферичний камінь масою m=0,250 кг і радіусом R=5,0 см запускається вертикально від рівня землі з початковою швидкістю$v_0 =15.0 {m \over s}$. Коли він рухається вгору, він відчуває тягу з повітря, як наближено опір Стокса$F=6 \pi \eta R v$, де$\eta$ в'язкість повітря$1.002 mPa \cdot s$.

1. Які сили діють на камінь, поки він рухається вгору?
2. Використовуючи другий закон руху Ньютона, запишіть рівняння руху для каменю (це диференціальне рівняння). Будьте обережні з прикметами. Підказка: Другий закон руху Ньютона стосується сили та прискорення, а сила опору - з точки зору швидкості. Яке відношення між ними? Спростити рівняння шляхом введення характеристичного часу$\tau={m \over 6 \pi \eta R}$.
3. Знайдіть конкретний розв'язок вашого$v_p(t)$ неоднорідного диференціального рівняння з (19b).
4. Знайдіть рішення$v_h(t)$ однорідної версії вашого диференціального рівняння.
5. Використовуйте результати (19c) та (19d) та початкову умову, щоб знайти загальне рішення v (t) вашого диференціального рівняння.
6. З (19е) знайдіть час, в який камінь досягне своєї максимальної висоти.
7. З v (t) знайти h (t) для каменю (висота як функція часу). (h) Використовуючи свої відповіді на (19f) та (19g), знайдіть максимальну висоту, яку досягає камінь.