2.2: Закон про силу

Другий закон руху Ньютона говорить нам, що робить сила: вона спричиняє зміну імпульсу будь-якої частинки, на яку вона діє. Він не говорить нам, звідки береться сила, і це не хвилює - що є дуже корисною особливістю, оскільки це означає, що закон застосовується до всіх сил. Однак нам, звичайно, потрібно знати, що покласти на силу, тому нам потрібно якесь правило, щоб визначити її самостійно. Ось тут і вступають закони сили.

Джерела: Закон Гука

Одним з дуже знайомих прикладів сили є сила пружини: вам потрібно докласти силу на щось, щоб стиснути її, і (відповідно до третього закону Ньютона), якщо ви натиснете на щось, ви відчуєте, що це відштовхується від вас. Найпростіший можливий предмет, який ви можете стиснути, - це ідеальна пружина, для якої сила, необхідна для її стиснення, масштабується лінійно з самим стисненням. Це відношення відоме як закон Гука:

$$\boldsymbol{F}_{s}=-k \boldsymbol{x}$$

де х тепер зміщення (від спокою) і$k$ є постійною пружини, вимірюється в ньютонах на метр. Значення$k$ залежить від пружини, про яку йде мова - жорсткіші пружини, що мають більш високі константи пружини.

Закон Гука дає нам ще один спосіб вимірювання сил. Ми вже визначили одиницю сили, використовуючи другий закон руху Ньютона, і ми можемо використовувати його для калібрування пружини, тобто визначити її постійну пружини, визначаючи зміщення через відому силу. Після того, як ми маємо$k$, ми можемо просто виміряти сили, вимірюючи переміщення - це саме те, що робить весняна шкала.

Роберт Гук

Роберт Гук (1635-1703) був британським всебічним природничим вченим і архітектором. Він відкрив закон сили, названий на його честь в 1660 році, який він опублікував спочатку як анаграму: 'ceiiinossttuv', щоб він міг претендувати на відкриття, фактично не розкриваючи його (досить поширена практика в той час); він лише надав рішення в 1678: 'ut tensio, sic vis' («як розширення, так сила»). Гук зробив багато внесків у розвиток мікроскопів, використовуючи їх для виявлення структури рослин, придумуючи слово клітина для їх основних одиниць. Гук був куратором експериментів Королівського товариства Англії більше 40 років, поєднуючи цю посаду з професором геометрії та роботою геодезиста міста Лондона після великої пожежі 1666 року. На останній посаді він отримав міцну репутацію за працьовитість і велику чесність. У той же час він часто розходився зі своїми сучасниками Ісааком Ньютоном та Крістіаном Гюйгенсом; не малоймовірно, що вони самостійно розвивали подібні поняття щодо, серед іншого, про зворотно-квадратний закон гравітації.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Малюнок клітинної структури пробки Гуком, з його книги 1665 р. Мікрографія [3]. Ніяких портретів Гука не виживає.

Гравітація: Закон гравітації Ньютона

Другим і, напевно, ще більш звичним прикладом є сила, обумовлена гравітацією, в локальному масштабі, тобто навколо вас, в наближенні, що Земля плоска. Все, що має масу, приваблює все інше, що має масу, а оскільки Земля дуже масивна, вона притягує всі об'єкти в просторі навколо вас, включаючи себе. Оскільки сила тяжіння слабка, ви не відчуєте тягу вашої книги, але оскільки Земля настільки масивна, ви відчуваєте її тягу. Тому, якщо відпустити щось, воно буде прискорено до Землі за рахунок її притягує гравітаційної сили. Як продемонстрував Галілей (а деякі хлопці в скафандрах на скелі ми називаємо Місяцем ²), прискорення будь-якого об'єкта за рахунок сили тяжіння однакове, і таким чином сила, що чиниться Землею на будь-який об'єкт, дорівнює масі цього об'єкта раз це прискорення, яке ми називаємо$g$:

$$\boldsymbol{F}_{g}=m \boldsymbol{g} \label{fg}$$

Оскільки маса Землі не зовсім рівномірно розподілена, величина дещо$g$ змінюється від місця до місця, але до хорошого наближення дорівнює$9.81 {m \over s^2}$. Це завжди вказує вниз.

Хоча Equation\ ref {fg} для локальної гравітації є зручним, область його застосування обмежується повсякденними об'єктами на повсякденних висотах - скажімо, до пари тисяч кілограмів і пари кілометрів над поверхнею Землі, що є крихітним порівняно з масою та радіусом Землі. Для більших відстаней і тіл з більшою масою- скажімо системи Земля-Місяць, або Земля-Сонце - нам потрібно щось інше, а саме закон тяжіння Ньютона між двома тілами з масами$m_1$$m_2$ і відстань r один від одного:

$$\boldsymbol{F}_{\mathrm{G}}=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{\boldsymbol{r}} \label{lawg}$$

де$\hat r$ - одиничний вектор, що вказує уздовж лінії, що з'єднує дві маси, а константа пропорційності$G={6.67 \cdot 10^{-11} {N \cdot m^2 \over kg^2}}$ відома як гравітаційна константа (або постійна Ньютона). Знак мінус говорить про те, що сила приваблива. Equation\ ref {lawg} дозволяє фактично обчислити гравітаційне тягове навантаження, яке ваша книга чинить на вас, і зрозуміти, чому ви цього не відчуваєте. Він також дозволяє обчислити значення g - просто заповнити масу і радіус Землі. Якщо ви хочете дізнатися значення g на будь-якому іншому небесному тілі, ви можете вкласти в його подробиці, і порівняти з Землею. Ви побачите, що «важите» в 3 рази менше на Марсі і в 6 разів менше на Місяці. Більшу частину часу ми можемо сміливо припустити, що Земля плоска і використовувати Equation\ ref {fg}, але, зокрема, для небесної механіки і при розгляді супутників нам потрібно буде використовувати Equation\ ref {lawg}.

Галілео галілей

Галілео Галілей (1564-1642) був італійським фізиком і астрономом, який широко розглядається як одна з основоположних діячів сучасної науки. На відміну від класичних філософів, Галілей виступав за використання експериментів і спостережень для перевірки (або спростування) наукових теорій, практики, яка є наріжним каменем наукового методу. Він став першопрохідцем використання телескопа (нещодавно винайденого в той час) для астрономічних спостережень, що призвело до його відкриття гір на Місяці та чотирьох найбільших супутників Юпітера (тепер відомий як галілеєві супутники на його честь). З теоретичної сторони Галілей стверджував, що аргумент Аристотеля про те, що важкі предмети падають швидше легких, невірний, і що прискорення через гравітацію рівне для всіх об'єктів (Equation\ ref {fg}). Галілей також рішуче виступав за геліоцентричний світогляд, введений Коперником в 1543 році, на відміну від широко поширеного геоцентричного погляду. На жаль, інквізиція вважала інакше, що призвело до його засудження за єресь із вироком довічного домашнього арешту в 1633 році, посада, яка була відмовлена церквою лише в 1995 році.

Ілюстрація$\PageIndex{2}$: Портрет Галілея Галілея Юстуса Сустерманса (1636 р.) [4].

Електростатика: закон Кулона

Як дві маси взаємодіють завдяки гравітаційній силі, два заряджені об'єкти взаємодіють за допомогою сили Кулона. Оскільки заряд має два можливих ознаки, сила Кулона може бути як привабливою (між протилежними зарядами), так і відразливою (між однаковими зарядами). Його математична форма сильно нагадує закон гравітації Ньютона:

$$\boldsymbol{F}_{\mathrm{C}}=k_{e} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \hat{\boldsymbol{r}} \label{coulomb}$$

де$q_{1}$ і$q_{2}$ є підписаними величинами зарядів,$r$ знову відстань між ними, і$k_{e}=8.99 \cdot 10^9 {{N \cdot m^2} \over C^2}$ є постійною Кулона. Для повсякденних масштабів довжини і сили сила Кулона набагато більше сили тяжіння.

Шарль Огюстен де Кулон

Шарль Огюстен де Кулон (1736-1806) був французьким фізиком і військовим інженером. Більшу частину свого трудового життя Кулон служив у французькій армії, за що керував багатьма будівельними проектами. В рамках цієї роботи Кулон проводив дослідження спочатку в механіці (що призводить до його закону кінетичного тертя, Equation\ ref {тертя}), а пізніше в електриці та магнетизмі, для чого він виявив, що сила між зарядами (і тими, що між магнітними полюсами) падає квадратично з їх відстанню (Рівняння\ ref {кулон}). Близько кінця свого життя Кулон брав участь в налаштуванні системи одиниць СІ.

Ілюстрація$\PageIndex{3}$: Портрет Шарля де Кулона [5].

Тертя і перетягування

Чому знадобився геній Галілея і Ньютона, щоб розкрити перший закон руху Ньютона? Тому що повсякденний досвід, здається, суперечить йому: якщо ви не докладаєте сили, ви не будете продовжувати рухатися, а поступово сповільнюватися. Ви, звичайно, знаєте, чому це так: на рухомому кузові діє опір і тертя, тому набагато легше (хоча і не обов'язково зручніше) для автомобіля продовжувати рухатися по льоду, ніж на звичайній асфальтованій дорозі (менше тертя на льоду), і чому ходити по воді набагато важче, ніж ходити по повітрю (більше тягнути у воді). Середовище, в якому ви рухаєтеся, може надавати на вас силу перетягування, а поверхня, по якій ви рухаєтеся, чинить сили тертя. Це, звичайно, сили, відповідальні за уповільнення вас, коли ви перестаєте надавати силу самостійно, тому перший закон не застосовується, оскільки діють сили.

Для низьких швидкостей сила перетягування зазвичай масштабується лінійно зі швидкістю рухомого об'єкта. Зусилля перетягування об'єктів, що рухаються через (текуче) середовище, крім того, залежать від властивостей середовища (його в'язкості$\eta$) і площі поперечного перерізу рухомого об'єкта. Для сфери радіуса R, що рухається зі швидкістю v, сила опору задається законом Стокса:

$$\boldsymbol{F}_{\mathrm{d}}=-6 \pi \eta R \boldsymbol{v} \label{stokes}$$

Більш загальним варіантом для об'єкта довільної форми є$F_{d}=\zeta v$, де$\zeta$ константа пропорційності. Закон Стокса розбивається при великих швидкостях, для яких сила опору масштабується квадратично зі швидкістю:

$$F_{\mathrm{d}}=\frac{1}{2} \rho c_{\mathrm{d}} A v^{2} \label{drag}$$

де$\rho$ - щільність рідини, А площа поперечного перерізу предмета,$v$ його швидкість, а також$c_{\mathrm{d}}$ його безрозмірний коефіцієнт опору, який залежить від форми об'єкта і властивостей поверхні. Типові значення коефіцієнта опору - 1,0 для велосипедиста, 1,2 для біжить людини, 0,48 для Volkswagen Beetle і 0,19 для сучасного аеродинамічного автомобіля. Напрямок сили перетягування все ще протилежний напрямку руху.

Сили тертя виникають за рахунок двох поверхонь, ковзають один повз одного. Не дивно, що напрямок сили тертя протилежний напрямку руху, а його величина залежить від властивостей поверхонь. Причому величина сили тертя залежить і від того, наскільки сильно дві поверхні штовхаються одна об одну - тобто від сил, які вони чинять один на одного, перпендикулярно поверхні. Ці сили звичайно рівні (за третім законом Ньютона) і називаються нормальними силами, тому що вони нормальні (тобто перпендикулярні) до поверхні. Якщо ви стоїте на коробці, гравітація чинить силу на вас, тягне вас вниз, яку ви «передаєте» до сили, яку ви надаєте на верхній частині коробки, і викликає рівну, але протилежну нормальну силу, що чиниться верхньою частиною коробки на ваші ноги. Якщо коробка нахилена, то нормальна сила все одно перпендикулярна поверхні (вона залишається нормальною), але вже не дорівнює за величиною силою, що чиниться на вас силою тяжіння. Замість цього вона буде дорівнює складової сили тяжіння по напрямку, перпендикулярному поверхні (див. Рис. Позначимо нормальні сили як$F_n$. Тепер за законом тертя Кулона (не плутати з кулонівською силою між двома зарядженими частинками) величина сили тертя між двома поверхнями задовольняє

$$F_{f} \leq \mu F_{n} \label{friction}$$

$\mu$Ось коефіцієнт тертя, який, звичайно, залежить від двох поверхонь, але і від питання, рухаються дві поверхні відносно один одного чи ні. Якщо вони не рухаються, тобто конфігурація статична, відповідний коефіцієнт називається коефіцієнтом статичного тертя і позначається$\mu_s$ знаком.Фактична величина сили тертя буде такою, що вона врівноважує інші сили (докладніше про це в розділі 2.4). Рівняння\ ref {тертя} говорить нам, що це можливо тільки в тому випадку, якщо необхідна величина сили тертя менше$\mu_s F_n$. Коли речі починають рухатися, статичний коефіцієнт тертя замінюється коефіцієнтом кінетичного тертя$\mu_k$, який зазвичай менше$\mu_s$; також у цьому випадку нерівність у рівнянні\ ref {тертя} замінюється знаком рівності, і ми маємо

$$F_{f}=\mu_{k} F_{n}.$$

² Якщо бути точним, астронавт Девід Скотт з місії «Аполлон-15» у 1971 році, який впустив і молоток, і перо і побачив, як вони падають з однаковою швидкістю, як показано у цьому фільмі NASA.