2.3: Рівняння руху

Тепер, коли ми встановили наші аксіоми - закони руху Ньютона і різні силові закони - ми готові почати поєднувати їх, щоб отримати корисні результати, речі, які ми не вкладали в аксіоми в першу чергу, а випливаємо з них. Перше, що ми можемо зробити, це записати рівняння руху: рівняння, яке описує рух частинки внаслідок дії певного типу сили. Наприклад, припустимо, ви берете скелю певної маси m і відпускаєте її на деякій висоті h над землею, що тоді буде? Після того, як ви відпустили скелю, на скелю діє лише одна сила, а саме гравітація Землі, і ми знаходимося в режимі, де застосовується рівняння 2.2.2, тому ми знаємо силу. Ми також знаємо, що ця чиста сила призведе до зміни імпульсу (Рівняння 2.1.4), який, оскільки скеля не втратить жодної маси в процесі падіння, може бути переписана як Рівняння 2.1.5. Прирівнюючи сили, ми приходимо до рівняння руху для породи, яке в даному випадку дуже просто:

\[m \boldsymbol{g}=m \ddot{\boldsymbol{x}} \label{rock}\]

Ми відразу бачимо, що маса породи не має значення (Галілей мав рацію! - хоча, звичайно, він був у нашому наборі аксіом, тому що ми приїхали до них, припускаючи, що він мав рацію...). Менш тривіально, Equation (\ ref {rock}) - диференціальне рівняння другого порядку для руху породи, а це означає, що для того, щоб знайти фактичний рух, нам потрібні дві початкові умови - які в нашому даному прикладі полягають в тому, що скеля починається з висоти h і нульової швидкості.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Падіння під силою тяжіння. (а і б) Куля, випущений з спокою, падає з постійним прискоренням, в результаті чого постійно збільшується швидкість. Зображення в (а) приймаються кожні 0,05 с; відстані кратні 12 мм. У (б) траєкторія руху кулі, що виникає в результаті повторних відскоків, показана з інтервалами 0,04 с [6], CC BY-SA 3.0. (c) Парапланери повинні збалансувати силу тяжіння та силу опору, щоб зупинити прискорення та падіння з безперервною швидкістю (відомою як їх кінцева швидкість) [7], CC BY-SA 3.0.

Рівняння (\ ref {rock}) по суті одновимірне - весь рух відбувається по вертикальній лінії. Тому рішення є простим - ви просто інтегруєте з часом двічі. Загальним рішенням є:

\[\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}(0)+\boldsymbol{v}(0) t+\frac{1}{2} \boldsymbol{g} t^{2}\]

який з нашими граничними умовами стає

\[\boldsymbol{x}(t)=\left(h-\frac{1}{2} g t^{2}\right) \hat{\boldsymbol{z}} \label{soln}\]

де\(g\) - величина\(g\) (яка вказує вниз, звідси і знак мінус). Звичайно, Equation\ ref {soln} руйнується, коли скеля потрапляє на землю\(t=\sqrt{2h \over g}\), що легко зрозуміти, оскільки в цей момент гравітація вже не єдина сила, що діє на неї.

Ми також можемо відразу записати рівняння руху для маси на пружині (немає сили тяжіння в даний час), в якому чиста сила задається законом Гука. Прирівнювання цієї сили до чистої сили в другому законі руху Ньютона дає:

\[-k \boldsymbol{x}(t)=m \ddot{\boldsymbol{x}}(t) \label{spring}\]

Звичайно, ми знаходимо ще одне диференціальне рівняння другого порядку, тому нам знову потрібно початкове положення та швидкість, щоб вказати рішення. Загальним рішенням Equation\ ref {spring} є поєднання синусів і косинусів, з частотою\(\omega=\sqrt{k \over m}\) (як ми вже знаємо з розмірного аналізу в розділі 1.2):

\[\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}(0) \cos (\omega t)+\frac{\boldsymbol{v}(0)}{\omega} \sin (\omega t)\]

Більш докладно вивчимо цей випадок в розділі 8.1. Взагалі сила в другому законі Ньютона може залежати від часу і положення, а також від першої похідної позиції, тобто швидкості. Для особливого випадку, що це залежить тільки від однієї з трьох змінних, ми можемо записати рішення формально, з точки зору інтеграла над силою. Ці формальні рішення наведені в розділі 2.6. Щоб побачити, як вони працюють на практиці, давайте розглянемо трохи більш залучену проблему - камінь, що падає з перетягуванням.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Falling Stone with Drag

Припустимо, у нас є сферичний камінь радіусом a, який ви скидаєте з висоти h при t=0. В який час і з якою швидкістю камінь вдариться об землю?

Рішення

Ми вже вирішили цю проблему в простому випадку без перетягування вище, але тепер давайте включимо перетягування. Потім на камінь діють дві сили: гравітація (спрямована вниз) з величиною та перетягування (спрямована у напрямку\(m_g\), протилежному руху, в даному випадку вгору) з величиною\(6 \pi \eta a v=b v\), як це дано законом Стокса (Рівняння 2.2.5). Наше рівняння руху тепер задається (з x як висота частинки, а напрямок вниз як позитивний):

\[m \ddot{x}=-b \dot{x}+m g\]

Ми бачимо, що наша сила залежить не від часу або положення, а лише від швидкості - так у нас випадок 3 Додатка 2.6. Ми могли б викликати або E quation (2.33) або (2.34), щоб записати формальне рішення, але є простіший спосіб, який дозволить нам без труднощів оцінити відповідні інтеграли. Оскільки наше рівняння руху лінійне, ми знаємо, що сума двох розв'язків знову є розв'язком. Один з членів праворуч Рівняння (2.19) є постійним, що означає, що наше рівняння неоднорідне (ми можемо переписати його,\(m \ddot{x}+b \dot{x}=m g\) щоб побачити це), тому корисна річ - розділити наше рішення на однорідну та певну частину. Переписуючи наше рівняння\(v=\dot{x}\) через замість x, ми отримуємо\(m \dot{v}+b v=m g\), з якого відразу можемо отримати конкретне рішення:\(v_{\mathrm{p}}= {m g \over b}\), як тимчасова похідна цієї константи\(v_{\mathrm{p}}\) зникає. Віднімаючи\(v_{\mathrm{p}}\), нам залишається однорідне рівняння:\(m \dot{v}_{\mathrm{h}}+b v_{\mathrm{h}}\), яке ми тепер вирішуємо поділом змінних. Спочатку ми пишемо\(\dot{v}_{\mathrm{h}}={\mathrm{d} v_{\mathrm{h}} \over \mathrm{d} t}\), потім переставляємо так, щоб усі фактори, що містять\(v_{\mathrm{h}}\), були з одного боку, а всі фактори, що містять t, - з іншого, що дає\(-({m \over b})({1 \over v_h})dv_h=dt\). Тепер ми можемо інтегруватися, щоб отримати:

\[-\frac{m}{b} \int_{\nu_{0}}^{\nu} \frac{1}{v^{\prime}} \mathrm{d} v^{\prime}=-\frac{m}{b} \log \left(\frac{v}{v_{0}}\right)=t-t_{0}\]

який є прикладом рівняння (2.33). Після перестановки та налаштування\(t_0=0\):

\[v_{\mathrm{h}}(t)=v_{0} \exp \left(-\frac{b}{m} t\right)\]

Зверніть увагу, що це однорідне рішення підходить нашій інтуїції: якщо на частку немає зайвої сили, сила перетягування сповільнить її експоненціально. Також зверніть увагу, що ми не ставили\(v_0=0\), так як однорідний розчин не дорівнює загальному розчину. Натомість\(v_0\) це константа інтеграції, яку нам потрібно буде встановити, як тільки ми запишемо повне рішення, а саме:

\[v(t)=v_{\mathrm{h}}(t)+v_{\mathrm{p}}(t)=v_{0} \exp \left(-\frac{b}{m} t\right)+\frac{m g}{b}\]

Тепер установка\(v(0)=0\) дає\(v_0=-{mg \over b}\), так

\[v(t)=\frac{m g}{b}\left[1-\exp \left(-\frac{b}{m} t\right)\right]\]

Щоб отримати x (t), ми просто інтегруємо v (t) з часом, щоб отримати:

\[x(t)=\frac{m g}{b}\left[t+\frac{m}{b} \exp \left(-\frac{b}{m} t\right)\right]\]

Ми можемо знайти, коли камінь потрапляє на землю, встановивши x (t) = h і вирішивши для t; ми можемо знайти, як швидко він йде в цей момент, замінивши це значення t назад в v (t).