6.3: Метод кутового спектра

Наша мета полягає в тому, щоб вивести поле в\((x, y, z)\) деякій\(z=0\) точці з урахуванням поля в площині\(z=0\), як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Витоки поля передбачається знаходитися в напівпросторі\(z<0\). Один із способів побачити, як світло поширюється з однієї площини в іншу, - це використання методу кутового спектра. Розкладаємо поле в плоских хвиль з двовимірним перетворенням Фур'є. Оскільки ми знаємо, як поширюється кожна плоска хвиля, ми можемо поширювати кожну складову Фур'є окремо, а потім скласти їх разом, взявши обернене перетворення Фур'є. Математично це описується так: ми знаємо поле\(U(x, y, 0)\). Ми напишемо\(U_{0}(x, y)=U(x, y, 0)\) для зручності і застосуємо двовимірне перетворення Фур'є до\(U_{0}\):\[\mathcal{F}\left(U_{0}\right)(\xi, \eta)=\iint U_{0}(x, y) e^{-2 \pi i(\xi x+\eta y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \nonumber \] Обернене перетворення Фур'є має на увазі:\[\begin{aligned} U_{0}(x, y) &=\iint \mathcal{F}\left(U_{0}\right)(\xi, \eta) e^{2 \pi i(\xi x+\eta y)} \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta \\ &=\mathcal{F}^{-1}\left\{\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\right\}(x, y) . \end{aligned} \nonumber \]

Малюнок\(\PageIndex{1}\): З огляду на поле\(U(x, y, 0)\), ми хочемо знайти\(U\) в точці\((x, y, z)\) с\(z>0\). Передбачається, що поле поширюється в позитивному\(z\) -напрямку, а значить, всі джерела знаходяться в регіоні\(z<0\).

Найбільш важливі властивості перетворення Фур'є перераховані в додатку Е. Визначаючи\(k_{x}=2 \pi \xi, k_{y}=2 \pi \(\PageIndex{2}\)\) можна записати як\[U_{0}(x, y)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \iint \mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right) e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y\right)} \mathrm{d} k_{x} \mathrm{~d} k_{y} . \nonumber \] змінні в площині Фур'є:\((\xi, \eta)\) і\(\left(k_{x}, k_{y}\right)\) називаються просторовими частотами.

Рівняння (\(\PageIndex{4}\)) говорить, що ми можемо записати\(U_{0}(x, y)=U(x, y, z=0)\) як інтеграл (суму) плоских хвиль з хвильовим вектором\(\mathbf{k}=\left(k_{x}, k_{y}, k_{z}\right)^{T}\), кожна зі своєю вагою (тобто складною амплітудою)\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\). Ми знаємо, як кожна плоска хвиля зі складною амплітудою\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\) та хвильовим вектором\(\mathbf{k}=\left(k_{x}, k_{y}, k_{z}\right)^{T}\) поширюється на відстань\(z>0\)\[\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right) e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y\right)} \rightarrow \mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right) e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y+k_{z} z\right)}, \nonumber \] Тому поле\(U(x, y, z)\) в площині\(z\) (для деяких\(z>0\)) є задається\[U(x, y, z)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \iint \mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right) e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y+k_{z} z\right)} \mathrm{d} k_{x} \mathrm{~d} k_{y}, \nonumber \] де\[k_{z}=\sqrt{\left(\frac{2 \pi}{\lambda}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}, \nonumber \] з\(\lambda\) довжиною хвилі світла, виміряної в матеріалі (отже\(\lambda=\lambda_{0} / n\), з довжиною хвилі\(\lambda_{0}\) у вакуумі). Знак перед квадратним коренем в (\ pageIndex {7}\)) в принципі може бути обраний негативним: тоді можна було б також отримати розв'язок рівняння Гельмгольца. Вибір знака\(k_{z}\) визначається напрямком, в якому поширюється світло, що в свою чергу залежить від розташування джерел і від обраної за часом умовності залежності. Тут ми повинні вибрати\(+\) знак перед квадратним коренем, оскільки джерела знаходяться в,\(z<0\) а часова залежність часово-гармонійних полів (як завжди в цій книзі) задається\(e^{-i \omega t}\) з\(\omega>0\).

Eq. (\(\PageIndex{6}\)) можна записати альтернативно так,\[U(x, y, z)=\mathcal{F}^{-1}\left\{\mathcal{F}\left(U_{0}\right)(\xi, \eta) e^{i k_{z} z}\right\}(x, y), \nonumber \] де\(k_{z}\) зараз слід інтерпретувати як функцію\((\xi, \eta)\):\[k_{z}=2 \pi \sqrt{\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{2}-\xi^{2}-\eta^{2}} . \nonumber \]

Зауважте, що це можна інтерпретувати як діагоналізацію оператора поширення, як пояснено в Додатку\(\mathrm{F}\).

Ми можемо спостерігати щось цікаве: якщо\(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}>\left(\frac{2 \pi}{\lambda}\right)^{2}\), то\(k_{z}\) стає уявним, і\(\exp \left(i k_{z} z\right)\) розпадається в геометричній прогресії для збільшення\(z\):\[\exp \left\{i\left[k_{x} x+k_{y} y+z \sqrt{\left(\frac{2 \pi n}{\lambda}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}\right]\right\}=e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y\right)} e^{-z \sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}-\left(\frac{2 \pi n}{\lambda}\right)^{2}}} . \nonumber \]

Ці експоненціально загасаючі хвилі є затухаючими в\(z\) позитивному напрямку. Ми зустріли хвилі, що випливають, вже в контексті повного внутрішнього відображення, розглянутого в розділі 1.9.5. Фізичні наслідки затухаючих хвиль при розкладанні кутового спектра будуть пояснені в розділі 6.4.

Хвилі, для яких\(k_{z}\) реально, мають постійну амплітуду: змінюється лише фаза за рахунок поширення. Тому ці хвилі називаються розповсюджуючими хвилями.

Зауваження. У однорідному просторі скалярне рівняння Гельмгольца для кожної складової електричного поля еквівалентно рівнянню Максвелла, і, отже, ми можемо поширювати кожен компонент\(E_{x}, E_{y}\)\(E_{z}\) окремо за допомогою методу кутового спектра. Якщо дані в площині\(z=0\) цих компонентів поля є фізично узгодженими, отримане таким чином електричне поле автоматично задовольнить умову, що електричне поле вільне від розбіжності, тобто\[\nabla \cdot \mathbf{E}=0 \nonumber \] скрізь в\(z>0\). Це еквівалентно твердженню, що електричні вектори плоских хвиль в кутовому спектрі перпендикулярні своїм хвильовим векторам. Крім того, можна поширювати тільки\(E_{x^{-}}\) і\(E_{y}\) -компоненти, а потім визначити\(E_{z}\) з умови, що (\(\PageIndex{11}\)) повинні бути задоволені.