4.3: Спостережувані величини повинні бути власними значеннями квантових механічних операторів
- Page ID
- 26641
- Ввести до ролі рівнянь власних значень у отриманні спостережуваних з системи
- Зрозумійте, як обчислюються значення очікувань, якщо хвильові функції не є власним станом оператора для спостережуваного.
Нагадаємо, що ми можемо ідентифікувати оператора загальної енергії, який називається гамільтоновським оператором\(\hat{H}\), як складається з оператора кінетичної енергії плюс оператор потенційної енергії.
\[\hat {H} = - \dfrac {\hbar ^2}{2m} \nabla ^2 + \hat {V} (x, y , z ) \label{3-22} \]
Використовуючи це позначення, ми запишемо рівняння Шредінгера як
\[ \hat {H} | \psi (x , y , z ) \rangle = E | \psi ( x , y , z ) \rangle \label{3-23} \]
Рівняння\(\ref{3-23}\) говорить, що гамільтоновий оператор працює на хвильовій функції, щоб виробляти енергію, яка є числом, (кількість джоулів), разів хвильову функцію. Таке рівняння, де оператор, оперуючи функцією, виробляє константу раз на функцію, називається рівнянням власних значень. Функція називається власною функцією, а отримане числове значення називається власним значенням. Ейген тут німецьке слово, що означає «я» або «власний».
Загальним принципом квантової механіки є те, що існує оператор для кожного фізичного спостережуваного. Фізичний спостережуваний - це все, що можна виміряти. Якщо хвильова функція, що описує систему, є власною функцією оператора, то значення асоційованої спостережуваної витягується з власної функції, оперуючи власною функцією з відповідним оператором. Значення спостережуваного для системи - це власне значення, а система, як кажуть, знаходиться у власному стані. Рівняння\(\ref{3-23}\) стверджує цей принцип математично для випадку енергії як спостережуваної.
Якщо система описується власною функцією\(\Psi\) оператора,\(\hat{A}\) то значенням, виміряним для спостережуваної властивості, що відповідає, завжди\(\hat{A}\) буде власним значенням\(a\), яке можна обчислити за рівнянням власних значень.
\[ \hat {A} | \Psi \rangle = a | \Psi \rangle \label {4.3.1} \]
Розглянемо загальний оператор реального простору\(A(x)\). Коли цей оператор діє на загальну хвильову функцію\(\psi(x)\), результатом зазвичай є хвильова функція з абсолютно іншою формою. Однак існують певні спеціальні хвильові функції, які такі, що при\(A\) впливі на них результат просто кратний вихідної хвильової функції. Ці спеціальні хвильові функції називаються власними станами, а кратні називаються власними значеннями. Таким чином, якщо
\[A | \psi_a(x) \rangle = a | \psi_a(x) \rangle \label{4.3.2} \]
де\(a\) - комплексне число, то\(\psi_a\) називається власнимстаном,\(A\) відповідним власному значенню\(a\).
Припустимо, що\(A\) це оператор, що відповідає деякій фізичній динамічній змінній. Розглянемо частинку, хвильова функція якої є\(\psi_a\). Очікування вартості\(A\) в такому стані просто
\[ \begin{align*} \langle A\rangle &= \int_{-\infty}^\infty \psi_a^{\ast} A \psi_a dx \\[4pt] &= a \int_{-\infty}^\infty \psi_a^{\ast} \psi_a dx \\[4pt] &= a. \end{align*} \nonumber \]
де було використано Рівняння\(\ref{4.3.2}\) і умова нормалізації. Більш того,
\[ \begin{align*} \langle A^2\rangle &= \int_{-\infty}^\infty \psi_a^{\ast} A^2 \psi_a dx \\[4pt] &= a \int_{-\infty}^\infty \psi_a^{\ast} A \psi_a dx \\[4pt] &= a^2 \int_{-\infty}^\infty \psi_a^{\ast} \psi_a dx \\[4pt] &= a^2. \end{align*} \nonumber \]
Отже, дисперсія\(A\) є
\[ \begin{align*} \sigma_A^{ 2} &= \langle A^2\rangle - \langle A\rangle^2 = a^2-a^2 \\[4pt] &= 0. \end{align*} \nonumber \]
Той факт, що дисперсія дорівнює нулю, означає, що кожне вимірювання\(A\) зобов'язане дати однаковий результат: а саме,\(a\). Таким чином, власний стан\(\psi_a\) - це стан, який пов'язаний з унікальним значенням динамічної змінної, відповідної\(A\). Це унікальне значення є просто пов'язаним власним значенням, визначеним рівнянням\(\ref{4.3.2}\).
Очікувані значення
Ми бачили, що\(\vert\psi(x,t)\vert^{ 2}\) це щільність ймовірності вимірювання зміщення частинки, що дає значення\(x\) в часі\(t\). Припустимо, що ми зробили велику кількість незалежних вимірювань зміщення на однаково великій кількості однакових квантових систем. Загалом, вимірювання, зроблені на різних системах, дадуть різні результати. Однак з визначення ймовірності середнє значення всіх цих результатів просто
\[ \langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x \vert\psi\vert^{ 2} dx \label{ 4.3.5} \]
Тут\(\langle x\rangle\) називається очікувана величина\(x\). Аналогічно очікуване значення будь-якої функції\(x\) є
\[ \langle f(x)\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \vert\psi\vert^{ 2} dx.\label{ 4.3.6} \]
Середнє значення спостережуваного вимірювання стану в (нормованої) хвильової функції\(\psi\) з оператором\(\hat{A}\) задається очікуваним значенням\(\langle a \rangle\):
\[ \begin{align} \langle a \rangle &= \langle \psi | a |\psi \rangle \\[4pt] &= \int_{-\infty}^{\infty} \psi^* \hat{A} \psi dx \label{4.3.7} \end{align} \]
Якщо використовується ненормована хвильова функція, тоді Рівняння\(\ref{4.3.7}\) змінюється на
\[ \begin{align} \langle a \rangle &= \dfrac{\langle \psi | a |\psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle} \\[4pt] &=\dfrac{ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \psi^* \hat{A} \psi dx}{ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \psi^* \psi dx} \label{4.3.8} \end{align} \]
Знаменник - це лише вимога нормалізації, про яку йшлося раніше. Загалом, результати різних різних вимірювань\(x\) будуть розкидані навколо очікуваного значення\(\langle x\rangle\). Ступінь розкиду параметризується величиною
\[ \begin{align} \sigma^2_x &= \int_{-\infty}^{\infty} \left(x-\langle x\rangle \right)^2 |\psi|^{ 2} dx \\[4pt] &\equiv \langle x^2\rangle -\langle x\rangle^{2}, \label{4.3.9} \end{align} \]
який відомий як дисперсія\(x\). Квадратний корінь цієї\(\sigma_x\) величини, називається стандартним відхиленням\(x\). Як правило, ми очікуємо, що результати вимірювань\(x\) будуть лежати в межах декількох стандартних відхилень від очікуваного значення (Рисунок Template:index).
Для частинки в коробці в її наземному стані обчисліть очікуване значення
- посада,
- лінійний імпульс,
- кінетична енергія, і
- загальна енергія
Рішення
Спочатку потрібно визначити хвильову функцію. З частинки в коробкових розчинях хвильова функція стану заземлення (\(n=1\)є
\[\psi = \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \left ( \dfrac{\pi x}{L} \right ) \nonumber \]
Ми можемо підтвердити, що хвильова функція нормалізована.
\[\int \psi^* \psi \, d\tau = \int_{0}^{L} \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \left ( \dfrac{\pi x}{L} \right ) \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \left ( \dfrac{\pi x}{L} \right ) \, dx = 1 \nonumber \]
Отже, рівняння\(\ref{4.3.7}\) є відповідним рівнянням для використання.
Очікувана величина позиції становить:
\[ \begin{align*} \left \langle x \right \rangle &= \int \psi^* x \psi \, d\tau = \int_{0}^{L} \sqrt{\dfrac{2}{L}} x \sin \left ( \dfrac{\pi x}{L} \right ) \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \left ( \dfrac{\pi x}{L} \right ) \, dx \\[4pt] &=\dfrac{2}{L} \int_{0}^{L} x \sin^2 \left ( \dfrac{\pi x}{L} \right ) \, dx \\[4pt] &= \dfrac{L}{2} \end{align*} \nonumber \]
Очікуване значення імпульсу становить:
\[ \begin{align*} \left \langle p \right \rangle &= \int \psi^* \hat{p} \psi \, d\tau =\int_{0}^{L} \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \left ( \dfrac{\pi x}{L} \right ) \left ( -i\hbar \dfrac{d}{dx} \right ) \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \left ( \dfrac{\pi x}{L} \right ) \, dx \\[4pt] &= \dfrac{2i\hbar\pi}{L^2} \int_{0}^{L} \sin \left ( \dfrac{\pi x}{L} \right ) \cos \left ( \dfrac{\pi x}{L} \right ) \, dx \\[4pt] &= 0 \end{align*} \nonumber \]
Очікуване значення кінетичної енергії становить:
\[ \begin{align*} \left \langle T \right \rangle &= \int \psi^* \hat{K} \psi \, d\tau = \dfrac{2}{L} \int_{0}^{L} \sin \left ( \dfrac{\pi x}{L} \right ) \left ( -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \right ) \sin \left ( \dfrac{\pi x}{L} \right ) \, dx \\[4pt] &= \dfrac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} \dfrac{2}{L} \int_{0}^{L} \sin^2 \left ( \dfrac{\pi x}{L} \right ) \, dx \\[4pt] &= \dfrac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} \end{align*} \nonumber \]
Положення «в середньому» знаходиться посередині коробки (\(L/2\)). Він має однакову ймовірність руху вліво або вправо, тому середній імпульс і швидкість повинні дорівнювати нулю. Середня кінетична енергія повинна дорівнювати сумарній енергії основного стану частинки в коробці, так як іншої енергетичної складової (тобто\(V=0\)) немає.
Розширення хвильової функції
Також можна продемонструвати, що власні стани оператора, що віднесені до спостережуваної форми, є повною множиною (тобто, що будь-яка загальна хвильова функція може бути записана як лінійна комбінація цих власних станів). Однак доказ є досить складним, і ми не будемо намагатися його тут.
Підсумовуючи, заданий оператор\(\hat{A}\), будь-яка загальна хвильова функція\(\psi(x)\), може бути записана
\[\psi = \sum_{i}c_i \phi_i\label{4.3.9A} \]
де\(c_i\) складні ваги, і належним чином\(\phi(x)\) нормовані (і взаємно ортогональні) власні стани\(\hat{A}\): тобто,
\[A \phi_i = a_i \phi_i \label{4.3.10} \]
де\(a_i\) - власне значення, відповідне власному стану\(\phi_i\), і
\[\int_{-\infty}^\infty \phi_i^\ast \phi_j dx = \delta_{ij}. \label{4.3.11} \]
Тут\(\delta_{ij}\) називається дельта-функцією Кронекера, і приймає значення одиниці, коли два його індекси рівні, і нуль інакше. Це випливає з Рівняння\(\ref{4.3.8}\) і\(\ref{4.3.11}\) що
\[ c_i = \int_{-\infty}^\infty \phi_i^\ast \psi dx. \label{4.3.12} \]
Таким чином, коефіцієнти розширення в\(\ref{4.3.12}\) Рівнянні легко визначаються, враховуючи\(\psi\) хвильову функцію та власні стани\(\phi_i\). Більше того, якщо\(\psi\) це правильно нормалізована хвильова функція, то рівняння\(\ref{4.3.8}\) і\(\ref{4.3.11}\) вихід
\[ \sum_i \vert c_i\vert^2 =1. \label{4.3.13} \]
Кажуть, що колапс хвильової функції відбувається, коли хвильова функція - спочатку в суперпозиції декількох власних станів - здається, що зводиться до одного свого стану (шляхом «спостереження»). Частка (або система взагалі) може бути знайдена в заданому стані\(\psi(x,t)\). Припустимо, тепер проводиться вимір на хвильфукції, щоб охарактеризувати конкретну властивість системи.
Математично оператор\(\hat{A}\) пов'язаний з цим процесом вимірювання, який, як ви вважаєте, має повний ортонормальний набір власних значень: це, як правило\(\{ \phi_i \}\), нескінченний набір функціоналів, які залежать від квантового числа\(n\). Хвильова функція\(\Psi\) може бути розширена, і набір базових функцій може бути обраний для визначення\(\{c_n\}\) хвильової функції - це коефіцієнти розширення. Тому, якщо система збурена, то ваша хвильова функція матиме інший набір коефіцієнтів\(\{c'_n\}\).
Якщо у вас хвильова функція знаходиться у власному стані оператора, то кожне вимірювання за допомогою цього оператора дасть однаковий результат.
Дописувачі та атрибуція
- Template:ContribFitzpatrick
- Wikiversity