11.2: Операторна алгебра

Почнемо з визначення оператора ідентичності, зазвичай позначається\(\hat E\) або\(\hat I\). Оператор identity залишає елемент, на якому він працює, без змін:\(\hat E f(x)=f(x)\). Це аналогічно множенню на число 1.

Ми можемо додати оператори наступним чином:

\[(\hat A + \hat B)f=\hat A f + \hat B f. \nonumber\]

Наприклад,

\[(\hat x + \dfrac{d}{dx})f = \hat x f + \dfrac{df}{dx}=x f + \dfrac{df}{dx} \nonumber\]

(Пам'ятайте, що\(\hat x\) означає «помножити на\(x\)»).

Твір між двома операторами визначається як послідовна операція операторів, причому перший працює праворуч. Наприклад,\((\hat x \dfrac{d}{dx})f=\hat x (\dfrac{df}{dx})=x \dfrac{df}{dx}\). Застосовуємо спочатку оператор справа (в даному випадку «візьмемо похідну функції щодо\(x\)»), а потім оператор зліва («множити на те,\(x\) що ви отримали на першому кроці»). Ми можемо використовувати це визначення для обчислення квадрата оператора. Наприклад, якщо ми визначимо оператор\(\hat A\) as\(\hat A = \dfrac{d}{dx}\), оператор\(\hat A^2\) є\(\hat A \hat A = \dfrac{d}{dx} \dfrac{d}{dx} =\dfrac{d^2}{dx^2}\).

Операторне множення не є, загалом, комутативним:\(\hat A \hat B \neq \hat B \hat A\). Іншими словами, в цілому має значення порядок операцій. Раніше ми це бачили\((\hat x \dfrac{d}{dx})f=x \dfrac{df}{dx}\). Повернемо порядок операції:\((\dfrac{d}{dx} \hat x )f\). Тепер спочатку множимо функцію на,\(x\) а потім беремо похідну від результату:\((\dfrac{d}{dx} \hat x )f=\dfrac{d}{dx}(xf) =x \dfrac{df}{dx}+f\). На останньому кроці ми обчислили похідну продукту, використовуючи звичні нам правила диференціації.

Ми просто довели\(\hat x \dfrac{d}{dx} \neq \dfrac{d}{dx}\hat x\), що, або іншими словами, порядок, в якому ми застосовуємо ці два оператори, має значення (тобто ми спочатку беремо похідну, а потім множимо на\(x\), або спочатку множимо на,\(x\) а потім беремо похідну). Незалежно від того, має значення порядок чи ні, має дуже важливі наслідки у квантовій механіці, тому корисно визначити так званий комутатор, який визначається як

\[\label{commutator} [\hat A,\hat B] = \hat A \hat B - \hat B \hat A.\]

Наприклад, комутатор операторів\(\hat x\) і\(\dfrac{d}{dx}\), позначається\([\hat x,\dfrac{d}{dx}]\), є за визначенням\(\hat x \dfrac{d}{dx} - \dfrac{d}{dx}\hat x\). Коли\([\hat A,\hat B]=0\), оператори\(\hat A\) і кажуть\(\hat B\), що їздять на роботу. Тому якщо оператори\(\hat A\) і\(\hat B\) добираються, то\(\hat A \hat B = \hat B \hat A\). Коли оператори\(\hat A\) і\(\hat B\) не їздять на роботу\(\hat A \hat B \neq \hat B \hat A\), а комутатор\([\hat A,\hat B]\neq 0\).

Перш ніж рухатися далі, важливо визнати, що добуток двох операторів також є оператором. Наприклад, давайте розглянемо продукт\(\dfrac{d}{dx} \hat x\). Це оператор, який при застосуванні до функції\(f\) дає нову функцію\(x \dfrac{df}{dx}+f\). Наприклад, якщо\(f= \sin (kx)\),\(\dfrac{d}{dx} \hat x f = kx \cos(kx) + \sin(kx)\). Крім того, зверніть увагу, що оператор\(\dfrac{d}{dx} \hat x\) може бути виражений як\(\hat E + \hat x \dfrac{d}{dx}\), де\(\hat E\) знаходиться ідентифікаційний оператор. Коли оператор\(\hat E + \hat x \dfrac{d}{dx}\) працює над функцією\(f\), результатом є сама функція (помножена на одиницю) плюс\(x\) раз похідна функції, що саме те, що ми отримуємо при виконанні\(\dfrac{d}{dx} \hat x f\).

Аналогічно комутатор між двома операторами також є оператором:

Зауважимо, що в прикладі з правого боку фігури ми продемонстрували, що оператор\([\hat x,\dfrac{d}{dx}]\) дорівнює оператору\(-\hat E\) («множити на -1»). Іншими словами, коли комутатор\([\hat x,\dfrac{d}{dx}]\) (оператор) працює на функції\(f\), результат є\(-f\). Тому що\([\hat x,\dfrac{d}{dx}] \neq 0\), оператори\(\hat x\) і\(\dfrac{d}{dx}\) не доїжджають на роботу. Це безпосередньо пов'язано з принципом невизначеності, який (в найпростішому вигляді) стверджує, що чим точніше визначається положення якоїсь частки, тим менш точно можна дізнатися її імпульс. Ми побачимо зв'язок між цим твердженням і комутатором через мить, і ви будете обговорювати це дуже докладно на ваших майбутніх курсах фізичної хімії.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Знайти комутатор

\[[\hat x^2, \dfrac{d^2}{dx^2}] \nonumber\]

Рішення

Пам'ятайте, що комутатор є оператором, тому ваша відповідь повинна бути і оператором (тобто вона не повинна містити функцію). Щоб «побачити», що робить комутатор (щоб ми могли написати еквівалентний оператор), застосуємо довільну функцію:

\[[\hat x^2, \dfrac{d^2}{dx^2}]f=\hat x^2 \dfrac{d^2}{dx^2}f-\dfrac{d^2}{dx^2}\hat x^2 f \nonumber\]

Пам'ятайте, що коли у нас є такі вирази, як\(\dfrac{d^2}{dx^2}\hat x^2 f\) нам потрібно йти справа наліво, тобто спочатку множимо на\(x^2\) і тільки потім беремо другу похідну.

\[\dfrac{d^2}{dx^2}\hat x^2 f =\dfrac{d^2(x^2f)}{dx^2}=\dfrac{d(2xf+x^2 \dfrac{df}{dx})}{dx}=2x\dfrac{df}{dx}+2f+x^2\dfrac{d^2f}{dx^2}+2x\dfrac{df}{dx}=4x\dfrac{df}{dx}+2f+x^2\dfrac{d^2f}{dx^2} \nonumber\]

\[[\hat x^2, \dfrac{d^2}{dx^2}]f=\displaystyle{\color{Blue}\hat x^2 \dfrac{d^2}{dx^2}f}-\displaystyle{\color{Green}\dfrac{d^2}{dx^2}\hat x^2 f}=\displaystyle{\color{Blue}x^2\dfrac{d^2f}{dx^2}}-\displaystyle{\color{Green}\left(4x\dfrac{df}{dx}+2f+x^2\dfrac{d^2f}{dx^2}\right)}=-4x\dfrac{df}{dx}-2f \nonumber\]

\[[\hat x^2, \dfrac{d^2}{dx^2}]= \displaystyle{\color{Maroon}-4\hat x \dfrac{d}{dx}-2\hat E} \nonumber\]

Знову ж таки, ваш результат повинен бути оператором, а тому не повинен містити функцію\(f\). \([\hat x^2, \dfrac{d^2}{dx^2}] \neq 0\)Тому що два оператори не їздять на роботу.

Поширені помилки:

• написати комутатор як\([\hat x^2, \dfrac{d^2}{dx^2}] =-4x\dfrac{df}{dx}-2f\)
• використовувати фактичну функцію (наприклад\(\sin x\)) замість довільної функції\(f\)