5.1: Затухаючий гармонічний осцилятор

Розглянемо частинку маси,\(m\) схильну до сили пружини і демпфуючої сили. Частинка може переміщатися по одному виміру,\(x(t)\) позначаючи її зміщення в той час\(t\). Коефіцієнт затухання дорівнює\(2m \gamma\), а постійна пружини -\(k = m\omega_0^2\). Параметри\(m\)\(\gamma\), і всі\(\omega_0\) позитивні дійсні числа.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Рух частинки можна вивести за допомогою другого закону Ньютона:\[m \frac{d^2 x}{dt^2} = F(x,t) = - 2m\gamma \frac{dx}{dt} - m\omega_0^2 x(t).\] ділення на загальний коефіцієнт і приведення всього в одну сторону, дає\[\frac{d^2 x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x(t) = 0.\] Це називається затухаючим гармонічним рівнянням осцилятора.\(m\)

Примітка

Іноді ми записуємо затухле рівняння гармонічного осцилятора так:\[\left[\frac{d^2}{dt^2} + 2\gamma \frac{d}{dt} + \omega_0^2 \right]\, x(t) = 0.\] Величина в квадратних дужках - це лінійний диференціальний оператор, що діє на\(x(t)\). Три члени в операторі відповідають трьом «інгредієнтам» демпфірованої моделі гармонічного осцилятора: (i) другий похідний термін, що випливає з другого закону Ньютона, (ii) перший похідний термін, що представляє ефекти демпфування, і (iii) постійний термін, що представляє коливання, індуковані сила пружини.

Написання рівняння таким чином допомагає підкреслити, що воно є лінійним: тобто будь-яке накладання розв'язків також є рішенням (див. Розділ 5.2).

поведінка рішення

Затухає гармонічне рівняння осцилятора є звичайним диференціальним рівнянням другого порядку (ODE). Його загальне рішення повинно містити два вільних параметра, які зазвичай (але не обов'язково) задаються початковим зміщенням\(x(0)\) і початковою швидкістю\(\dot{x}(0)\).

Для\(\gamma = 0\) (нульового демпфування) система зводиться до простого гармонічного генератора. З попередніх курсів фізики ми знаємо, що загальне рішення простого гармонічного осцилятора має вигляд,\[x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi), \label{simple-gensol}\] де\(A\) і\(\phi\) є вільними параметрами. Це описує синусоїдальний рух з постійною амплітудою\(A\)\(\phi\), фазою та частотою\(\omega_0\).

До речі, деякі автори називають\(\omega_0\) «кутову частоту», залишаючи термін «частота» для кількості\(f_0 = \omega_0/2\pi\). Але ми завжди будемо мати справу\(\omega_0\) з чим\(f_0\). Таким чином, ми можемо\(\omega_0\) називати «частоту» для стислості, без ризику неоднозначності.

Кількість безпосередньо\(\omega_0\) пов'язана з постійною пружини\(k = m\omega_0^2\); насправді, саме тому ми параметризували постійну пружини таким чином. Вона називається власною частотою — тобто власною частотою коливань системи при гасінні відсутня.

Еквалайзер. \(\eqref{simple-gensol}\)може бути повторно виражений в терміні початкового зміщення\(x(0) = x_0\) і початкової швидкості\(\dot{x}(0) = v_0\). Це просто показати, що\[A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2}, \quad \phi = -\tan^{-1}\left(\frac{v_0}{\omega_0 x_0}\right).\]

Тепер розглянемо\(\gamma > 0\). Демпфуюча сила тепер протистоїть руху, виконуючи роботу проти частинки і змушуючи її втрачати енергію з часом. Отже, частка більше не може коливатися назавжди навколо положення рівноваги. Якщо сила демпфування відносно слабка, енергія, втрачена за цикл, є відносно невеликою, тому рух частинки повинен складатися з коливання, амплітуда якого повільно зменшується з часом. Бо\(t \rightarrow \infty\), обидва\(x\) і\(\dot{x}\) йдуть в нуль.