5.1: Затухаючий гармонічний осцилятор

Розглянемо частинку маси,$m$ схильну до сили пружини і демпфуючої сили. Частинка може переміщатися по одному виміру,$x(t)$ позначаючи її зміщення в той час$t$. Коефіцієнт затухання дорівнює$2m \gamma$, а постійна пружини -$k = m\omega_0^2$. Параметри$m$$\gamma$, і всі$\omega_0$ позитивні дійсні числа.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Рух частинки можна вивести за допомогою другого закону Ньютона: $$m \frac{d^2 x}{dt^2} = F(x,t) = - 2m\gamma \frac{dx}{dt} - m\omega_0^2 x(t).$$ ділення на загальний коефіцієнт і приведення всього в одну сторону, дає $$\frac{d^2 x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x(t) = 0.$$ Це називається затухаючим гармонічним рівнянням осцилятора.$m$

Примітка

Іноді ми записуємо затухле рівняння гармонічного осцилятора так: $$\left[\frac{d^2}{dt^2} + 2\gamma \frac{d}{dt} + \omega_0^2 \right]\, x(t) = 0.$$ Величина в квадратних дужках - це лінійний диференціальний оператор, що діє на$x(t)$. Три члени в операторі відповідають трьом «інгредієнтам» демпфірованої моделі гармонічного осцилятора: (i) другий похідний термін, що випливає з другого закону Ньютона, (ii) перший похідний термін, що представляє ефекти демпфування, і (iii) постійний термін, що представляє коливання, індуковані сила пружини.

Написання рівняння таким чином допомагає підкреслити, що воно є лінійним: тобто будь-яке накладання розв'язків також є рішенням (див. Розділ 5.2).

поведінка рішення

Затухає гармонічне рівняння осцилятора є звичайним диференціальним рівнянням другого порядку (ODE). Його загальне рішення повинно містити два вільних параметра, які зазвичай (але не обов'язково) задаються початковим зміщенням$x(0)$ і початковою швидкістю$\dot{x}(0)$.

Для$\gamma = 0$ (нульового демпфування) система зводиться до простого гармонічного генератора. З попередніх курсів фізики ми знаємо, що загальне рішення простого гармонічного осцилятора має вигляд, $$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi), \label{simple-gensol}$$ де$A$ і$\phi$ є вільними параметрами. Це описує синусоїдальний рух з постійною амплітудою$A$$\phi$, фазою та частотою$\omega_0$.

До речі, деякі автори називають$\omega_0$ «кутову частоту», залишаючи термін «частота» для кількості$f_0 = \omega_0/2\pi$. Але ми завжди будемо мати справу$\omega_0$ з чим$f_0$. Таким чином, ми можемо$\omega_0$ називати «частоту» для стислості, без ризику неоднозначності.

Кількість безпосередньо$\omega_0$ пов'язана з постійною пружини$k = m\omega_0^2$; насправді, саме тому ми параметризували постійну пружини таким чином. Вона називається власною частотою — тобто власною частотою коливань системи при гасінні відсутня.

Еквалайзер. $\eqref{simple-gensol}$може бути повторно виражений в терміні початкового зміщення$x(0) = x_0$ і початкової швидкості$\dot{x}(0) = v_0$. Це просто показати, що $$A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2}, \quad \phi = -\tan^{-1}\left(\frac{v_0}{\omega_0 x_0}\right).$$

Тепер розглянемо$\gamma > 0$. Демпфуюча сила тепер протистоїть руху, виконуючи роботу проти частинки і змушуючи її втрачати енергію з часом. Отже, частка більше не може коливатися назавжди навколо положення рівноваги. Якщо сила демпфування відносно слабка, енергія, втрачена за цикл, є відносно невеликою, тому рух частинки повинен складатися з коливання, амплітуда якого повільно зменшується з часом. Бо$t \rightarrow \infty$, обидва$x$ і$\dot{x}$ йдуть в нуль.