5.5: Вправи

Вправа\(\PageIndex{1}\)

У розділі 5.2 ми зіткнулися зі складними частотами\[\omega_\pm = -i\gamma \pm \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}.\] для фіксованих\(\omega_0\) і\(\omega_0 > \gamma\) (недодемпфуючих), довести, що\(\omega_\pm\) лежать вздовж дуги окружності в комплексній площині.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вивести загальне рішення для критично затухаючого гармонічного осцилятора, екв. (5.3.16), виконавши наступні кроки:

1. Розглянемо складний ОДА, в недогашеному режимі\(\omega_0 > \gamma\). Ми побачили в розділі 5.3, що загальне рішення має вигляд\[z(t) = \psi_+ \, \exp\left[\left(-\gamma - i \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\right)t\right] \; +\; \psi_- \, \exp\left[\left(-\gamma +i\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\right)t\right]\] для деяких складних параметрів\(\psi_+\) і\(\psi_-\). Визначте позитивний параметр\(\varepsilon = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\). Перепишіть з\(z(t)\) точки зору\(\gamma\) і\(\varepsilon\) (тобто усунення\(\omega_0\)).

2. Вираз для\(z(t)\) нині параметризується незалежними параметрами\(\psi_+\),\(\psi_-\),\(\varepsilon\), і\(\gamma\). Ми вільні перевизначати параметри, взявши\[\begin{align} \alpha &= \psi_+ + \psi_- \\ \beta &= -i\varepsilon(\psi_+ - \psi_-). \end{align}\] Використовуючи ці рівняння, висловлюємо\(z(t)\) за допомогою нового набору незалежних комплексних параметрів, одним з яких є\(\varepsilon\). Явно визначте інші незалежні параметри та вкажіть, чи є вони реальними чи складними.

3. Розгорніть\(z(t)\) експоненціальні числа за параметром\(\varepsilon\). Потім показують, що в межі\(\varepsilon \rightarrow 0\),\(z(t)\) зводиться до критично затухаючого загального розчину (5.3.16).

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Повторіть наведене вище виведення для критично затухаючого розчину, але починаючи з надмірно затухаючого режиму\(\gamma > \omega_0\).

Вправа\(\PageIndex{4}\)

\(z(t)\)Дозволяти складна функція реального вхідного сигналу\(t\), яка підпорядковується диференціальному рівнянню\[\frac{dz}{dt} = -i\,(\omega_1 - i \gamma)\; z(t),\] де\(\omega_1\) і\(\gamma\) є дійсними. Знайдіть загальне рішення для\(z(t)\), і, отже, показати, що\(z(t)\) задовольняє демпфірованому рівнянню осцилятора\[\left[\frac{d^2}{dt^2} + 2\gamma \frac{d}{dt} + \omega_0^2 \right] z(t) = 0\] для деяких\(\omega_0^2\). Нарешті, покажіть, що цей гармонічний генератор завжди недостатньо затухає.

Відповідь

Загальне рішення є\[z(t) = A \exp\left[-i(\omega_1 - i \gamma) t\right].\] Це можна перевірити шляхом прямого підстановки, що це рішення диференціального рівняння. Він містить один вільний параметр, а диференціальне рівняння першого порядку, тому воно повинно бути загальним рішенням. Далі,\[\begin{align} \frac{d^2z}{dt^2} + 2 \gamma \frac{dz}{dt} &= (-i)^2(\omega_1 - i\gamma)^2 z(t) - 2i \gamma (\omega_1 - i \gamma) z(t) \\ &= \left[- \omega_1^2 + \gamma^2 + 2i\gamma\omega_1 - 2i \gamma \omega_1 - 2\gamma^2)\right] z(t) \\ &= -\left(\omega_1^2 + \gamma^2\right)z(t).\end{align}\] Отже,\(z(t)\) підпорядковується затухаючому рівнянню гармонічного осцилятора з\(\omega_0^2 = \omega_1^2 + \gamma^2.\) цим виразом для природної частоти гарантує, що\(\omega_0^2 > \gamma^2\) (припускаючи параметри\(\gamma\) і обидва\(\omega_1\) реальні); отже, гармонічний осцилятор завжди недозгасає.