5.2: Комплексне рішення

Змінна\(x(t)\) - це зміщення частинки, тому вона повинна бути реальною. Однак хорошим способом вирішення затухаючого гармонійного рівняння осцилятора є узагальнення\(x(t)\) до складних значень. Іншими словами, ми перетворюємо рівняння гармонічного осцилятора в складне ОДА:\[\frac{d^2 z}{dt^2} + 2\gamma \frac{dz}{dt} + \omega_0^2 z(t) = 0, \quad z(t) \in \mathbb{C}.\] Правило підрахунку параметрів для дійсних ОД (див. Главу 2) узагальнює до комплексних ОД, але параметри тепер є комплексними числами. Оскільки складне затухає гармонійне рівняння осцилятора є ODE другого порядку, його загальне рішення повинно мати два складні вільні параметри.

Давайте тепер розберемося, як отримати загальний розв'язок комплексного затухаючого гармонічного рівняння осцилятора. Тоді ми побачимо, як використовувати його для вирішення реальної проблеми.

Комплекс ансац

Щоб отримати загальне рішення, спочатку зауважте, що затухає гармонійне рівняння осцилятора є лінійним. Якщо у нас є два рішення\(z_1(t)\) і\(z_2(t)\), то будь-яка суперпозиція\[\psi_1 \, z_1(t) + \psi_2 \,z_2(t),\quad \mathrm{where}\;\, \psi_1, \psi_2 \in \mathbb{C}\] - це теж рішення. Це можна перевірити шляхом прямої підміни в ОДУ.

Тому хорошою стратегією отримання загального рішення є пошук двох конкретних рішень і їх накладення. Два коефіцієнти,\(\psi_1\) і\(\psi_2\), потім слугуватимуть двома вільними параметрами загального рішення.

Ми можемо зробити припущення (або ансац) для конкретного рішення:\[z(t) = e^{-i\omega t}.\] Тут\(\omega\) є константа, яка повинна бути визначена (яка може бути складною). Перша та друга похідні:\[\begin{align} \frac{dz}{dt} &= -i\omega\, e^{-i\omega t} \\ \frac{d^2z}{dt^2} &= -\omega^2\, e^{-i\omega t}\end{align}\] Підстановка їх у диференціальне рівняння дає:\[\left[-\omega^2 - 2i\gamma \omega + \omega_0^2 \right] e^{-i\omega t} = 0.\] Це рівняння тримається для всіх,\(t\) якщо і лише тоді, коли комплексний поліном другого порядку на лівій стороні дорівнює нулю:\[-\omega^2 - 2i\gamma \omega + \omega_0^2 = 0.\] Розв'язки для\(\omega\) can бути отримані з квадратичної формули:\[\omega = -i\gamma \pm \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}.\] Отже, ми знайшли конкретні розв'язки, які включають складні частоти:\[z(t) = \exp\big(-i\omega_\pm t\big), \;\;\mathrm{where}\;\; \omega_\pm = -i\gamma \pm \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}.\] Для кожного значення\(\gamma\) і\(\omega_0\), обидва\(\omega_+\) і\(\omega_-\) дають дійсні конкретні рішення.

складні частоти

Що означає мати коливання зі складною частотою? Якщо ми запишемо реальну і уявну частини частоти як\(\omega = \omega_R + i \omega_I\), то\[z(t) = e^{-i\omega t} = e^{\omega_I t} \; e^{-i\omega_R t}.\]

Якщо обидва\(\omega_R\) і\(\omega_I\) ненульові, це описує спіральну траєкторію в комплексній площині, величина якої або збільшується, або зменшується з часом, в залежності від знака\(\omega_I\). Щоб побачити це явно, ми можемо написати\[z(t) = e^{\omega_I t} \; e^{-i\omega_R t} = R(t)\, e^{i\theta(t)}, \;\;\mathrm{where}\;\,\begin{cases}\displaystyle R(t) &= e^{\omega_I t}, \\ \displaystyle \theta(t) &= -\omega_R t.\end{cases}\] Реальна частина\(\omega\) визначає частоту коливань, а уявна частина визначає, чи зростає амплітуда з часом (посилення) або зменшується з часом (демпфування). Позитивна уявна частина має на увазі посилення, а негативна уявна частина має на увазі затухання; нульова уявна частина (тобто реальна частота) має на увазі коливання з постійною амплітудою.

Тепер давайте розглянемо складні частоти, що з'являються в конкретних розв'язках затухаючого гармонічного осцилятора:\[\omega_\pm = -i\gamma \pm \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}.\] На графіку нижче ви можете побачити, як положення\(\omega_\pm\) в комплексній площині залежить від значень\(\gamma\) і\(\omega_0\):

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Зокрема, відзначимо такі особливості:

• Для\(\gamma = 0\) (нульового демпфування) дві частоти обидва реальні, і приймають значення\(\pm \omega_0\). Це відповідає простим гармонічним коливанням на власній частоті генератора.
• Якщо ми збільшуємо\(\gamma\) з нуля з\(\omega_0\) фіксованим, обидва\(\omega_+\) і\(\omega_-\) рухаємося вниз в складній площині, по дузі окружності. Так як уявна частина частот негативна, частка зазнає загасаного коливання. Це називається заниженим рухом.
• В\(\gamma = \omega_0\), частоти зустрічаються уздовж уявної осі. Це випадок критичного демпфування, про який ми поговоримо в розділі 5.3.
• Для\(\gamma > \omega_0\), дві частоти розсуваються вздовж уявної осі. Чисто уявні частоти відповідають траєкторії, яка розпадається без коливань. Це називається надмірно затухаючим рухом, про який ми поговоримо в розділі 5.3.