11.2: Напруга, пов'язана з полем

Last updated
Save as PDF

Page ID: 73287

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

10.2.1 Один вимір

Напруга - це електрична енергія на одиницю заряду, а електричне поле - сила на одиницю заряду. Для частинки, що рухається в одному вимірі, уздовж\(x\) осі, ми можемо співвідносити напругу і поле, якщо ми почнемо з взаємозв'язку між енергією взаємодії і силою,

\[\begin{equation*} dU = -F_xdx , \end{equation*}\]

і ділити по заряду,

\[\begin{equation*} \frac{dU}{q} = -\frac{F_x}{q}dx , \end{equation*}\]

подача

\[\begin{equation*} dV = -E_x dx , \end{equation*}\]

або

\[\begin{equation*} \frac{dV}{dx} = -E_x . \end{equation*}\]

Тлумачення полягає в тому, що сильне електричне поле виникає в області простору, де напруга швидко змінюється. За аналогією, крутий схил пагорба - це місце на карті, де висота стрімко змінюється.

Приклад 6: Поле, що генерується електричним вугром
\(\triangleright\)Припустимо, електричний вугор довжиною 1 м, і генерує різницю напруг 1000 вольт між його головою і хвостом. Що таке електричне поле у воді навколо нього? \(\triangleright\)Ми обчислюємо лише кількість поля, а не його напрямок, тому ігноруємо позитивні та негативні знаки. За умови, можливо, неточного припущення про постійне поле, паралельне тілу вугра, ми маємо \[\begin{align} \|\mathbf{E}\| &= \frac{dV}{d x} \\ &\approx \frac{\Delta V}{\Delta x} \text{[assumption of constant field]} \\ &= 1000\ \text{V/m} . \end{align}\]

Приклад 6: Поле, що генерується електричним вугром

\(\triangleright\)Припустимо, електричний вугор довжиною 1 м, і генерує різницю напруг 1000 вольт між його головою і хвостом. Що таке електричне поле у воді навколо нього?

\(\triangleright\)Ми обчислюємо лише кількість поля, а не його напрямок, тому ігноруємо позитивні та негативні знаки. За умови, можливо, неточного припущення про постійне поле, паралельне тілу вугра, ми маємо

\[\begin{align*} |\mathbf{E}| &= \frac{dV}{d x} \\ &\approx \frac{\Delta V}{\Delta x} \text{[assumption of constant field]} \\ &= 1000\ \text{V/m} . \end{align*}\]

Приклад 7: Співвідношення одиниць електричного поля і напруги
З нашого початкового визначення електричного поля ми очікуємо, що воно матиме одиниці ньютонів на кулон, N/C Приклад вище, однак, вийшов у вольтах на метр, В/м Чи це суперечливі? Давайте заспокоїмо себе, що це все працює. У такій ситуації найкращою стратегією, як правило, є спрощення більш складних юнітів, щоб вони включали лише одиниці мкс та кулони. Оскільки напруга визначається як електрична енергія на одиницю заряду, воно має одиниці Дж/С: \[\begin{align} \frac{\text{V}}{\text{m}} &= \frac{\text{J/C}}{\text{m}} \\ &= \frac{\text{J}}{\text{C}\cdot\text{m}} . \end{align}\] Щоб з'єднати джоулі з ньютонами, нагадаємо, що робота дорівнює силі раз відстані\(\text{J}=\text{N}\cdot\text{m}\), так, \[\begin{align} \frac{\text{V}}{\text{m}} &= \frac{\text{N}\cdot\text{m}}{\text{C}\cdot\text{m}} \\ &= \frac{\text{N}}{\text{C}} \end{align}\] Як і при інших подібних труднощах з електричними агрегатами, один швидко починає розпізнавати часто зустрічаються комбінації.

Приклад 7: Співвідношення одиниць електричного поля і напруги

З нашого початкового визначення електричного поля ми очікуємо, що воно матиме одиниці ньютонів на кулон, N/C Приклад вище, однак, вийшов у вольтах на метр, В/м Чи це суперечливі? Давайте заспокоїмо себе, що це все працює. У такій ситуації найкращою стратегією, як правило, є спрощення більш складних юнітів, щоб вони включали лише одиниці мкс та кулони. Оскільки напруга визначається як електрична енергія на одиницю заряду, воно має одиниці Дж/С:

\[\begin{align*} \frac{\text{V}}{\text{m}} &= \frac{\text{J/C}}{\text{m}} \\ &= \frac{\text{J}}{\text{C}\cdot\text{m}} . \end{align*}\]

Щоб з'єднати джоулі з ньютонами, нагадаємо, що робота дорівнює силі раз відстані\(\text{J}=\text{N}\cdot\text{m}\), так,

\[\begin{align*} \frac{\text{V}}{\text{m}} &= \frac{\text{N}\cdot\text{m}}{\text{C}\cdot\text{m}} \\ &= \frac{\text{N}}{\text{C}} \end{align*}\]

Як і при інших подібних труднощах з електричними агрегатами, один швидко починає розпізнавати часто зустрічаються комбінації.

Приклад 8: Напруга, пов'язана з точковим зарядом
\(\triangleright\)Яке напруга пов'язане з точковим зарядом? \(\triangleright\)Як було виведено раніше в самоперевірці A на сторінці 563, поле \[\begin{equation} \|\mathbf{E}\| = \frac{ kQ}{ r^2} \end{equation}\] Різниця в напрузі між двома точками на одній радіусній лінії дорівнює \[\begin{align} \Delta V &= -\int d V \\ &= -\int E_{x} d x \end{align}\] У загальному обговоренні вище\(x\) було всього лише загальне ім'я для відстані, пройденого вздовж лінії від однієї точки до іншої, так що в даному випадку\(x\) дійсно означає\(r\). \[\begin{align} \Delta V &= -\int_{ r_1}^{ r_2} E_{r} d r \\ &= -\int_{ r_1}^{ r_2} \frac{ kQ}{ r^2} d r \\ &= \left.\frac{ kQ}{ r}\right]_{ r_1}^{ r_2} \ &= \frac{ kQ}{ r_2}-\frac{ kQ}{ r_1} . \end{align}\] Стандартна угода полягає в використанні в\(r_1=\infty\) якості точки відліку, щоб напруга на будь-якій відстані\(r\) від заряду було \[\begin{equation} V = \frac{ kQ}{ r} . \end{equation}\] Тлумачення полягає в тому, що якщо наблизити позитивний тестовий заряд до позитивного заряду, його електрична енергія збільшується; якщо вона була випущена, вона відпружиниться, вивільняючи це як кінетичну енергію.

Приклад 8: Напруга, пов'язана з точковим зарядом

\(\triangleright\)Яке напруга пов'язане з точковим зарядом?

\(\triangleright\)Як було виведено раніше в самоперевірці A на сторінці 563, поле

\[\begin{equation*} |\mathbf{E}| = \frac{ kQ}{ r^2} \end{equation*}\]

Різниця в напрузі між двома точками на одній радіусній лінії дорівнює

\[\begin{align*} \Delta V &= -\int d V \\ &= -\int E_{x} d x \end{align*}\]

У загальному обговоренні вище\(x\) було всього лише загальне ім'я для відстані, пройденого вздовж лінії від однієї точки до іншої, так що в даному випадку\(x\) дійсно означає\(r\).

\[\begin{align*} \Delta V &= -\int_{ r_1}^{ r_2} E_{r} d r \\ &= -\int_{ r_1}^{ r_2} \frac{ kQ}{ r^2} d r \\ &= \left.\frac{ kQ}{ r}\right]_{ r_1}^{ r_2} \ &= \frac{ kQ}{ r_2}-\frac{ kQ}{ r_1} . \end{align*}\]

Стандартна угода полягає в використанні в\(r_1=\infty\) якості точки відліку, щоб напруга на будь-якій відстані\(r\) від заряду було

\[\begin{equation*} V = \frac{ kQ}{ r} . \end{equation*}\]

Тлумачення полягає в тому, що якщо наблизити позитивний тестовий заряд до позитивного заряду, його електрична енергія збільшується; якщо вона була випущена, вона відпружиниться, вивільняючи це як кінетичну енергію.

самостійна перевірка:

Показати, що ви можете відновити вираз для поля точкового заряду, оцінюючи похідну\(E_{x}=-d V/d x\).

(відповідь у зворотному боці PDF-версії книги)

10.2.2 Дві або три виміри

a / A topographical map of Shelburne Falls, Mass. (USGS).

The topographical map in figure a suggests a good way to visualize the relationship between field and voltage in two dimensions. Each contour on the map is a line of constant height; some of these are labeled with their elevations in units of feet. Height is related to gravitational energy, so in a gravitational analogy, we can think of height as representing voltage. Where the contour lines are far apart, as in the town, the slope is gentle. Lines close together indicate a steep slope.

If we walk along a straight line, say straight east from the town, then height (voltage) is a function of the east-west coordinate \(x\). Using the usual mathematical definition of the slope, and writing \(V\) for the height in order to remind us of the electrical analogy, the slope along such a line is \(dV/dx\) (the rise over the run).

What if everything isn't confined to a straight line? Water flows downhill. Notice how the streams on the map cut perpendicularly through the lines of constant height.

It is possible to map voltages in the same way, as shown in figure b. The electric field is strongest where the constant-voltage curves are closest together, and the electric field vectors always point perpendicular to the constant-voltage curves.

b / The constant-voltage curves surrounding a point charge. Near the charge, the curves are so closely spaced that they blend together on this drawing due to the finite width with which they were drawn. Some electric fields are shown as arrows.

The one-dimensional relationship \(E=-dV/dx\) generalizes to three dimensions as follows:

\[\begin{align*} E_x &= -\frac{dV}{dx} \\ E_y &= -\frac{dV}{dy} \\ E_z &= -\frac{dV}{dz} \end{align*}\]

This can be notated as a gradient (page 215),

\[\begin{equation*} \mathbf{E} = \nabla V , \end{equation*}\]

and if we know the field and want to find the voltage, we can use a line integral,

\[\begin{equation*} \Delta V = \int_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r} , \end{equation*}\]

where the quantity inside the integral is a vector dot product.

self-check:

Imagine that figure a represents voltage rather than height. (a) Consider the stream the starts near the center of the map. Determine the positive and negative signs of \(dV/dx\) and \(dV/dy\), and relate these to the direction of the force that is pushing the current forward against the resistance of friction. (b) If you wanted to find a lot of electric charge on this map, where would you look?

(answer in the back of the PDF version of the book)

Figure c shows some examples of ways to visualize field and voltage patterns.

c / Two-dimensional field and voltage patterns. Top: A uniformly charged rod. Bottom: A dipole. In each case, the diagram on the left shows the field vectors and constant-voltage curves, while the one on the right shows the voltage (up-down coordinate) as a function of x and y. Interpreting the field diagrams: Each arrow represents the field at the point where its tail has been positioned. For clarity, some of the arrows in regions of very strong field strength are not shown --- they would be too long to show. Interpreting the constant-voltage curves: In regions of very strong fields, the curves are not shown because they would merge together to make solid black regions. Interpreting the perspective plots: Keep in mind that even though we're visualizing things in three dimensions, these are really two-dimensional voltage patterns being represented. The third (up-down) dimension represents voltage, not position.

Contributors

Template:ContribCrowell