Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

12.1: Детальніше про диференціальні рівняння

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    76084

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У розділі 11.4 ми стверджували, що найбільш загальне рішення диференціального рівняння

    \[ ay''+by'+cy=0 \label{11.4.1}\tag{11.4.1} \]

    має форму

    \[ y=Af(x)+Bg(x). \label{11.4.2}\tag{11.4.2} \]

    У цьому розділі ми розглянемо рівняння виду

    \[ ay''+by'+cy=h(x). \label{12.1.1} \]

    Якщо ви озирнетеся на аргументи, які привели до висновку, що рівняння 11.4.2 є найбільш загальним рішенням Рівняння 11.4.1, ви зможете зробити висновок, що 11.4.2 все ще є розв'язком Рівняння 11.4.1, але це не єдине рішення. Існує ще одна функція, яка є рішенням, так що найбільш загальне рішення рівняння\( \ref{12.1.1}\) is of the form

    \[ y=Af(x)+Bg(x)+H(x). \label{12.1.2} \]

    Рішення\( H(x)\) is called the particular integral, while the part \( Af(x)+Bg(x)\) is the complementary function. I shall be dealing in this chapter mainly with the particular integral, though we shall not entirely forget the complementary function.

    Це книга про класичну механіку, а не про диференціальні рівняння, тому я не збираюся в те, як отримати конкретний інтеграл\( H(x)\) for a given \( h(x)\). There are several ways of doing it; for those who know what they are and are in practice with them, Laplace transforms are among the more attractive methods. Some readers will already know how to do it. They will doubtless want to go back to Equation 11.6.3 in the previous chapter and try their hand at finding the particular integral for that. Those who do not may be happy and content to take my word for the particular integral in the sections that follow, or perhaps at least to differentiate it to verify that it is indeed a solution.