Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.3: Опір повітря, пропорційний квадрату швидкості

Позначення:V це швидкість,V це швидкість. Горизонтальною і вертикальною складовими швидкості є, відповідно,u=˙x=Vcosψ іv=˙y=Vsinψ. ψОсь кут, який миттєва швидкістьV робить з горизонталлю. Резистивна сила на одиницю маси дорівнюєkV2. Горизонтальна і вертикальна складові резистивної сили на одиницю маси єkV2cosψ іkV2sinψ відповідно. Швидкість запуску єV0 і кут запуску (тобто початкове значенняψ) дорівнюєα. Відстань, пройдена від точки запуску, виміряна по траєкторії, становитьs і швидкістьV=˙s. Рівняння руху є:

Горизонтальний:

¨x=kV2cosψ

Вертикальний:

¨x=gkV2sinψ

Вони не можуть бути інтегровані так зручно, як у попередніх випадках, але ми можемо отримати просте співвідношення між горизонтальноюu складовою швидкості та внутрішньою координатоюs. Таким чином, коли ми використовуємо¨x=˙u,V=˙s іVcosψ=u, Рівняння7.3.1 приймає форму

˙u=ku˙s

Інтеграція, з початковою умовоюu=V0cosθ, врожайність

u=V0cosα.eks.

Ми також можемо отримати точне явне внутрішнє рівняння траєкторії шляхом розгляду нормального рівняння руху.

Внутрішнє рівняння до будь-якої кривої - це відношення між внутрішніми координатами (s,ψ). Швидкість, з якоюψ змінюється кут нахилу при русі по кривійdψds, тобто називається кривизною в точці вздовж кривої. Якщо нахил збільшується зs, кривизна позитивна. Зворотна кривизна в точціdsdψ, - радіус кривизни в точці, позначається тутρ.

Нормальне рівняння руху - це рівняння,F=ma застосоване у напрямку, нормальному до кривої. Прискорення, відповідне тут - доцентрове прискоренняV2ρ абоV2dψds.

У напрямку, нормальному для руху, опір повітря не має компонента, а гравітація має компонентgcosθ. (Це мінус, оскільки кривизна явно негативна.) Таким чином, нормальне рівняння руху

V2dψds=gcosθ.

Але

V=ucosψ=V0cosα.ekscosψ

Тому

V20cos2α.e2ksdψds=gcos3ψ.

Відокремте змінні та інтегруйте з відповідними початковими умовами:

ψαsec3ψdψ=gV20cos2αs0e2ksds

Звідси хороша практика інтеграції, щоб показати, що внутрішнє рівняння

secψtanψsecαtanα+ln(secψ+tanψsecα+secα)=gkV20cos2α(1e2ks)

Це рівняння має вигляд

secψtanψ+ln(secψ+tanψ)=ABe2ks.

Хоча це було б просто зараз, щоб обчислитиs як функціюψ і, отжеψ, побудувати графікs проти, ми дійсно хочемо показатиy як функціюx,x іy як функція часу. Я зобов'язаний Даріо Бруні з Італії за наступний аналіз.

Дозволяти (x1,y1) бути точкою на траєкторії. Коли снаряд рухається на невелику відстаньΔs, нові координати будуть (x2,x2), де

x2=x1+Δscosψ1

і

y2=y1+Δssinψ1,

за умови, щоΔs вважається досить малим, щоб шлях між двома точками був приблизно прямою лінією. Розрахунок починається зx1 =y1 = 0 іψ =α. На кожному етапі розрахунку нове значенняψ можна обчислити з Рівняння7.3.10. Це можна зробити легко, наприклад, за допомогою ітерації Ньютона-Рафсона, оскільки похідна лівої частини цього рівняння щодоψ справедлива2sec3ψ. Таким чином, при досить невеликомуΔs інтервалі форма траєкторії може бути побудована точка за точкою.

Хоча це дає нам форму траєкторії, це нічого не говорить нам про час. Для цього ми можемо записати Рівняння руху, Рівняння7.3.1 і7.3.2 в формах

¨x=k˙x˙x2+˙y2

і

¨y=gk˙y˙x2+˙y2.

Дозволяти (x1,y1) бути точкою на траєкторії. Через короткий часΔt нові координати будуть (x2,y2), де

x2=x1+˙x1Δt+12¨x1(Δt)2

і

y2=y1+˙y1Δt+12¨y1(Δt)2,

за умови, щоΔt вважається досить малим, щоб прискорення між двома моментами часу було приблизно постійним. Крім того, нові складові швидкості задаються

˙x2=˙x1+¨x1Δt

і

˙y2=˙y1+¨y1Δt.

Розрахунок починається з

˙x=V0cosα,˙y=V0sinα,¨x=kV20cosα,¨y=gkV20sinα

і після кожного приростуΔt обчислюються нові координати та компоненти швидкості та прискорення. Результати розрахунків Sr Bruni наведені на малюнку VII.3 для

k= 0,0177м -1,V0 = 90,5 мс -1,α = 60,g = 9,8 мс -2

альт

Побудовано покроковим методом з внутрішнього рівняння зΔs = 0,025 м Горизонтальна дальність 79,0 м; максимальна висота 62,4 м Загальна тривалість польоту 7,1 сек. Час, необхідний для досягнення максимальної висоти, становить 2,8 секунди, тому час спуску більше часу підйому.

Альтернативний підхід дав Амвросій Окуне з Уганди. В аналізі Окуне він отримує явні вирази як дляt, так xі зy точки зору кутаψ. (У рівнянні7.3.10 ми вже маємо відношення міжs іψ.)

Ми починаємо з Рівняння7.3.1, горизонтального рівняння руху

¨x=kV2cosψ=kVVcosψ.

Тепер¨x=˙uV=u2+v2, іVcosψ=u так, щоб

˙u=kuu2+v2.

Аналогічно7.3.2, Рівняння, вертикальне рівняння руху, є

¨y=gkV2sinψ=gkVVsinψ,

і, з¨y=˙vV=u2+v2, іVsinψ=v, це стає

˙v=gkvu2+v2.

Зараз

˙v˙u=dvdu=vu+gkuu2+v2.

Такожv =utanψ так, що

dvdu=tanψ+usec2dψdu.

Про порівняння рівнянь7.3.23 і7.3.24, ми бачимо, що

gkuu2+v2=usec3ψdψ.

При замініv =utanψ це стає

gku3=sec3ψdψdu.

і, отже,

gku3du=sec3ψdψ.

Після інтеграції ми отримуємо

gku2+ln(secψ+tanψ)+secψtanψ=A=gku20+ln(secα+tanα)+secαtanα.

З цього отримуємо

u=gk1Aln(secψ+tanψ)secψtanψ,

і, отже,

v=gktanψAln(secψ+tanψ)secψtanψ.

Таким чином, ми тепер маємо компоненти швидкості явно з точки зору кута y. Для простоти напишемо

λ=Aln(secψ+tanψ)secψtanψ.

Тоді рівняння для швидкісних складових

u=gk1λ

і

v=gktanψλ.

У межі, як,u0ψ90y, рух наближається до вертикальної асимптоті. Якψ90,λsecψtanψ а значитьlim. Таким чином, граничне значення вертикальної складової швидкості дорівнює -\sqrt{\frac{g}{k}}. Це точно узгоджується з тим, що можна було б очікувати від тіла, що падає вертикально з кінцевою швидкістю, з опором, пропорційним квадрату швидкості (див. Рівняння 6.4.5).

Зараз ми прагнемо знайти вираз, що \psi стосується t, що ми робимо, зазначивши, що

\frac{d\psi}{dt}=\frac{\frac{du}{dt}}{\frac{du}{d\psi}}=\frac{\frac{du}{dt}}{\frac{du}{d\lambda}\frac{d\lambda}{d\psi}}. \tag{7.3.34}\label{eq:7.3.34}

Похідну\frac{du}{dt} можна знайти з горизонтального Рівняння руху \ddot{x}=-kV^{2}cos\psi, яке можна записати (тому що u=V і \ddot{x}=\dot{u}) як \dot{u}=-ku^{2}sec\psi. Потім, використовуючи Рівняння \ref{eq:7.3.32}, отримуємо

\frac{du}{dt}=-\frac{g}{\lambda}\sec\psi \tag{7.3.35}\label{eq:7.3.35}

Похідну\frac{du}{d\lambda} можна знайти з Рівняння \ref{eq:7.3.32} і є

\frac{du}{d\lambda}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}\frac{1}{\lambda^{\frac{3}{2}}}. \tag{7.3.36}\label{eq:7.3.36}

Похідну \frac{d\lambda}{d\psi} можна знайти з Рівняння \ref{eq:7.3.31} і є

\frac{d\lambda}{d\psi} = -2\sec^{3}\psi. \tag{7.3.37}\label{eq:7.3.37}

Таким чином, відношення, яке ми шукаємо, є

\frac{d\psi}{dt} = -\sqrt{gk}\sqrt{\lambda}\cos^{2}\psi. \tag{7.3.38}\label{eq:7.3.38}

Якщо початковий рух снаряда за часом нуль робить кут \alpha з горизонталлю, то інтеграція Рівняння \ref{eq:7.3.38} дає наступний вираз на наступний час, t коли рух робить кут \psi з горизонталлю.

t=\frac{1}{\sqrt{gk}}\int_{\psi}^{\alpha}\frac{d\psi}{\sqrt{\lambda}\cos^{2}\psi}. \tag{7.3.39}\label{eq:7.3.39}

Також u = \frac{dx}{dt} = \frac{dx}{d\psi} \frac{d\psi}{dt}. З u і\frac{d\psi}{dt} задано відповідно рівняннями \ref{eq:7.3.32} і \ref{eq:7.3.38}, отримаємо

\frac{dx}{d\psi}=-\frac{1}{k\lambda \cos^{2}\psi}, \tag{7.3.40}\label{eq:7.3.40}

з якого ми можемо обчислити x як функцію \psi:

x = \frac{1}{k}\int_{\psi}^{\alpha}\frac{d\psi}{\lambda \cos^{2}\psi}. \tag{7.3.41}\label{eq:7.3.41}

Далі, v = \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{d\psi}\frac{d\psi}{dt}. З v і \frac{d\psi}{dt} задано відповідно рівняннями \ref{eq:7.3.33} і \ref{eq:7.3.38}, отримаємо

\frac{dy}{d\psi}=-\frac{\tan\psi}{k\lambda \cos^{2}\psi}, \tag{7.3.42}\label{eq:7.3.42}

з якого ми можемо обчислити y як функцію \psi:

y =\frac{1}{k}\int_{\psi}^{\alpha}\frac{\tan\psi d\psi}{\lambda \cos^{2}\psi}. \tag{7.3.43}\label{eq:7.3.43}

Рівняння \ref{eq:7.3.39}, \ref{eq:7.3.41} і \ref{eq:7.3.43} дозволяють нам обчислити t, x і в y якості функції \psi, а значить, і обчислити будь-який з них з точки зору будь-якого з інших. У кожному випадку потрібне числове інтегрування, наприклад, за правилом Сімпсона або за гаусовою квадратурою, або іншим алгоритмом інтеграції, і, як завжди, для отримання належної точності необхідно вибірку достатніх точок. Чисельне інтегрування цих рівнянь, використовуючи дані наведеного вище прикладу Даріо Бруно, дало таку ж x: y траєкторію, розраховану для малюнка VII.3 Бруно, і x: t і y: t відносини, показані на малюнку VII.4.

альт

Я дуже зобов'язаний Даріо Бруні та Амвросій Окуне за їх цікавий та повчальний внесок у цей розділ — надихаючий приклад міжнародного наукового співробітництва між Італією, Угандою та Канадою!