7.3: Опір повітря, пропорційний квадрату швидкості

Позначення:\(\bf V\) це швидкість,\( V\) це швидкість. Горизонтальною і вертикальною складовими швидкості є, відповідно,\( u=\dot{x} = V \cos\psi\) і\( v=\dot{y} = V sin\psi\). \( \psi\)Ось кут, який миттєва швидкість\(\bf V\) робить з горизонталлю. Резистивна сила на одиницю маси дорівнює\( kV^{2}\). Горизонтальна і вертикальна складові резистивної сили на одиницю маси є\( kV^{2}cos\psi\) і\( kV^{2}sin\psi\) відповідно. Швидкість запуску є\( V_{0}\) і кут запуску (тобто початкове значення\( \psi\)) дорівнює\( \alpha\). Відстань, пройдена від точки запуску, виміряна по траєкторії, становить\( s\) і швидкість\(V=\dot{s}\). Рівняння руху є:

Горизонтальний:

\[ \ddot{x} = -kV^{2}\cos\psi \tag{7.3.1}\label{eq:7.3.1} \]

Вертикальний:

\[ \ddot{x} = -g-kV^{2}\sin\psi \tag{7.3.2}\label{eq:7.3.2} \]

Вони не можуть бути інтегровані так зручно, як у попередніх випадках, але ми можемо отримати просте співвідношення між горизонтальною\( u\) складовою швидкості та внутрішньою координатою\( s\). Таким чином, коли ми використовуємо\( \ddot{x}=\dot{u}\),\( V =\dot{s}\) і\( Vcos\psi=u\), Рівняння\(\ref{eq:7.3.1}\) приймає форму

\[ \dot{u} = -ku\dot{s} \tag{7.3.3}\label{eq:7.3.3} \]

Інтеграція, з початковою умовою\( u = V_{0}cos\theta\), врожайність

\[ u=V_{0}\cos\alpha.e^{-ks}. \tag{7.3.4}\label{eq:7.3.4} \]

Ми також можемо отримати точне явне внутрішнє рівняння траєкторії шляхом розгляду нормального рівняння руху.

Внутрішнє рівняння до будь-якої кривої - це відношення між внутрішніми координатами (\( s\),\( \psi\)). Швидкість, з якою\( \psi\) змінюється кут нахилу при русі по кривій\( \frac{d\psi}{ds}\), тобто називається кривизною в точці вздовж кривої. Якщо нахил збільшується з\( s\), кривизна позитивна. Зворотна кривизна в точці\( \frac{ds}{d\psi}\), - радіус кривизни в точці, позначається тут\( \rho\).

Нормальне рівняння руху - це рівняння,\( F = ma\) застосоване у напрямку, нормальному до кривої. Прискорення, відповідне тут - доцентрове прискорення\( \frac{V^{2}}{\rho}\) або\( V^{2}\frac{d\psi}{ds}\).

У напрямку, нормальному для руху, опір повітря не має компонента, а гравітація має компонент\( −g \cos\theta\). (Це мінус, оскільки кривизна явно негативна.) Таким чином, нормальне рівняння руху

\[ V^{2}\frac{d\psi}{ds}=−g \cos\theta. \tag{7.3.5}\label{eq:7.3.5} \]

Але

\[ V=\frac{u}{\cos\psi}=\frac{V_{0}\cos\alpha.e^{-ks}}{\cos\psi} \tag{7.3.6}\label{eq:7.3.6} \]

Тому

\[V_{0}^{2}\cos^{2}\alpha.e^{-2ks}\frac{d\psi}{ds}=-g\cos^{3}\psi. \tag{7.3.7}\label{eq:7.3.7} \]

Відокремте змінні та інтегруйте з відповідними початковими умовами:

\[ \int_{\alpha}^{\psi}\sec^{3}\psi d\psi=-\dfrac{g}{V_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}\int_{0}^{s}e^{2ks}ds \tag{7.3.8}\label{eq:7.3.8} \]

Звідси хороша практика інтеграції, щоб показати, що внутрішнє рівняння

\[ \sec\psi \tan\psi-\sec\alpha \tan\alpha+\ln \left(\frac{\sec\psi +\tan\psi}{\sec\alpha + \sec\alpha} \right) = \dfrac{g}{kV_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}(1-e^{2ks}) \tag{7.3.9}\label{eq:7.3.9} \]

Це рівняння має вигляд

\[ \sec\psi \tan\psi + \ln \left(\sec\psi+\tan\psi \right) = A - Be^{2ks}. \tag{7.3.10}\label{eq:7.3.10} \]

Хоча це було б просто зараз, щоб обчислити\( s\) як функцію\( \psi\) і, отже\( \psi\), побудувати графік\( s\) проти, ми дійсно хочемо показати\( y\) як функцію\( x\),\( x\) і\( y\) як функція часу. Я зобов'язаний Даріо Бруні з Італії за наступний аналіз.

Дозволяти (\( x_{1}\)_,\( y_{1}\)) бути точкою на траєкторії. Коли снаряд рухається на невелику відстань\( \Delta s\), нові координати будуть (\( x_{2}\)_,\( x_{2}\)), де

\[ x_{2}=x_{1}+\Delta s \cos\psi_{1} \tag{7.3.11}\label{eq:7.3.11} \]

і

\[ y_{2}=y_{1}+\Delta s \sin\psi_{1}, \tag{7.3.12}\label{eq:7.3.12} \]

за умови, що\( \Delta s\) вважається досить малим, щоб шлях між двома точками був приблизно прямою лінією. Розрахунок починається з\( x_{1}\) =\( y_{1}\) = 0 і\( \psi\) =\( \alpha\). На кожному етапі розрахунку нове значення\( \psi\) можна обчислити з Рівняння\( \ref{eq:7.3.10}\). Це можна зробити легко, наприклад, за допомогою ітерації Ньютона-Рафсона, оскільки похідна лівої частини цього рівняння щодо\( \psi\) справедлива\( 2\sec^{3}\psi\). Таким чином, при досить невеликому\( \Delta s\) інтервалі форма траєкторії може бути побудована точка за точкою.

Хоча це дає нам форму траєкторії, це нічого не говорить нам про час. Для цього ми можемо записати Рівняння руху, Рівняння\( \ref{eq:7.3.1}\) і\( \ref{eq:7.3.2}\) в формах

\[ \ddot{x}=-k\dot{x}\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}} \tag{7.3.13}\label{eq:7.3.13} \]

і

\[ \ddot{y}=-g-k\dot{y}\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}. \tag{7.3.14}\label{eq:7.3.14} \]

Дозволяти (\( x_{1}\)_,\( y_{1}\)) бути точкою на траєкторії. Через короткий час\( \Delta t\) нові координати будуть (\( x_{2}\)_,\( y_{2}\)), де

\[ x_{2}=x_{1}+\dot{x}_{1}\Delta t+\frac{1}{2}\ddot{x}_{1}(\Delta t)^{2} \tag{7.3.15}\label{eq:7.3.15} \]

і

\[ y_{2}=y_{1}+\dot{y}_{1}\Delta t+\frac{1}{2}\ddot{y}_{1}(\Delta t)^{2}, \tag{7.3.16}\label{eq:7.3.16} \]

за умови, що\( \Delta t\) вважається досить малим, щоб прискорення між двома моментами часу було приблизно постійним. Крім того, нові складові швидкості задаються

\[ \dot{x}_{2} = \dot{x}_{1} + \ddot{x}_{1}\Delta t \tag{7.3.17}\label{eq:7.3.17} \]

і

\[ \dot{y}_{2} = \dot{y}_{1} + \ddot{y}_{1}\Delta t. \tag{7.3.18}\label{eq:7.3.18} \]

Розрахунок починається з

\( \dot{x}=V_{0}\cos\alpha, \quad \dot{y}=V_{0}\sin\alpha, \quad \ddot{x}=-kV_{0}^{2}\cos\alpha, \quad \ddot{y}=-g-kV_{0}^{2}\sin\alpha \)

і після кожного приросту\( \Delta t\) обчислюються нові координати та компоненти швидкості та прискорення. Результати розрахунків Sr Bruni наведені на малюнку VII.3 для

\( k\)= 0,0177м ^-1,\( V_{0}\) = 90,5 мс ^-1,\( \alpha\) = 60\( ^{\circ}\),\( g\) = 9,8 мс ^-2

Побудовано покроковим методом з внутрішнього рівняння з\( \Delta s\) = 0,025 м Горизонтальна дальність 79,0 м; максимальна висота 62,4 м Загальна тривалість польоту 7,1 сек. Час, необхідний для досягнення максимальної висоти, становить 2,8 секунди, тому час спуску більше часу підйому.

Альтернативний підхід дав Амвросій Окуне з Уганди. В аналізі Окуне він отримує явні вирази як для\( t\), так \( x\)і з\( y\) точки зору кута\( \psi\). (У рівнянні\( \ref{eq:7.3.10}\) ми вже маємо відношення між\( s\) і\( \psi\).)

Ми починаємо з Рівняння\( \ref{eq:7.3.1}\), горизонтального рівняння руху

\[ \ddot{x} = -kV^{2}\cos\psi=-kVV\cos\psi. \tag{7.3.19}\label{eq:7.3.19} \]

Тепер\( \ddot{x}=\dot{u}\)\( V = \sqrt{u^{2}+v^{2}}\), і\( V\cos\psi = u\) так, щоб

\[ \dot{u}=-ku\sqrt{u^{2}+v^{2}}. \tag{7.3.20}\label{eq:7.3.20} \]

Аналогічно\( \ref{eq:7.3.2}\), Рівняння, вертикальне рівняння руху, є

\[ \ddot{y} = -g-kV^{2}\sin\psi = -g-kVV\sin\psi, \tag{7.3.21}\label{eq:7.3.21} \]

і, з\( \ddot{y}=\dot{v}\)\( V = \sqrt{u^{2}+v^{2}}\), і\( V\sin\psi = v\), це стає

\[ \dot{v}=-g-kv\sqrt{u^{2}+v^{2}}. \tag{7.3.22}\label{eq:7.3.22} \]

Зараз

\[ \frac{\dot{v}}{\dot{u}}=\frac{dv}{du}=\frac{v}{u}+\frac{g}{ku\sqrt{u^{2}+v^{2}}}. \tag{7.3.23}\label{eq:7.3.23} \]

Також\( v\) =\( u\tan\psi\) так, що

\[ \frac{dv}{du}=\tan\psi+usec^{2}\frac{d\psi}{du}. \tag{7.3.24}\label{eq:7.3.24} \]

Про порівняння рівнянь\( \ref{eq:7.3.23}\) і\( \ref{eq:7.3.24}\), ми бачимо, що

\[ \frac{g}{ku\sqrt{u^{2}+v^{2}}}=u\sec^{3}\psi d\psi. \tag{7.3.25}\label{eq:7.3.25} \]

При заміні\( v\) =\( u\tan\psi\) це стає

\[ \frac{g}{ku^{3}}=\sec^{3}\psi\frac{d\psi}{du}. \tag{7.3.26}\label{eq:7.3.26} \]

і, отже,

\[ \frac{g}{k}\int_{}{}u^{-3}du=\int_{}{}\sec^{3}\psi d\psi. \tag{7.3.27}\label{eq:7.3.27} \]

Після інтеграції ми отримуємо

\[ \frac{g}{ku^{2}}+\ln(\sec\psi+\tan\psi)+\sec\psi \tan\psi=A=\frac{g}{ku_{0}^{2}}+\ln(\sec\alpha+\tan\alpha)+\sec\alpha \tan\alpha. \tag{7.3.28}\label{eq:7.3.28} \]

З цього отримуємо

\[ u=\sqrt{\frac{g}{k}}\frac{1}{\sqrt{A-\ln(sec\psi+\tan\psi)-sec\psi \tan\psi}}, \tag{7.3.29}\label{eq:7.3.29} \]

і, отже,

\[ v=\sqrt{\frac{g}{k}}\frac{\tan\psi}{\sqrt{A-\ln(sec\psi+tan\psi)-\sec\psi \tan\psi}}. \tag{7.3.30}\label{eq:7.3.30} \]

Таким чином, ми тепер маємо компоненти швидкості явно з точки зору кута y. Для простоти напишемо

\[ \lambda = A-\ln(\sec\psi+\tan\psi)-\sec\psi \tan\psi. \tag{7.3.31}\label{eq:7.3.31} \]

Тоді рівняння для швидкісних складових

\[ u=\sqrt{\frac{g}{k}}\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \tag{7.3.32}\label{eq:7.3.32} \]

і

\[ v=\sqrt{\frac{g}{k}}\frac{\tan\psi}{\sqrt{\lambda}}. \tag{7.3.33}\label{eq:7.3.33} \]

У межі, як,\( u\rightarrow0\)\( \psi\rightarrow-90^{\circ}\)\( y\rightarrow-\infty\), рух наближається до вертикальної асимптоті. Як\( \psi\rightarrow-90^{\circ}\),\( \lambda\rightarrow-sec\psi tan\psi\) а значить\(\lim_{\psi\rightarrow-90^{\circ}}\frac{tan\psi}{\sqrt{\lambda}}=-1\). Таким чином, граничне значення вертикальної складової швидкості дорівнює\( -\sqrt{\frac{g}{k}}\). Це точно узгоджується з тим, що можна було б очікувати від тіла, що падає вертикально з кінцевою швидкістю, з опором, пропорційним квадрату швидкості (див. Рівняння 6.4.5).

Зараз ми прагнемо знайти вираз, що\( \psi\) стосується\( t\), що ми робимо, зазначивши, що

\[ \frac{d\psi}{dt}=\frac{\frac{du}{dt}}{\frac{du}{d\psi}}=\frac{\frac{du}{dt}}{\frac{du}{d\lambda}\frac{d\lambda}{d\psi}}. \tag{7.3.34}\label{eq:7.3.34} \]

Похідну\(\frac{du}{dt}\) можна знайти з горизонтального Рівняння руху\( \ddot{x}=-kV^{2}cos\psi\), яке можна записати (тому що\( u=V\) і\( \ddot{x}=\dot{u}\)) як\( \dot{u}=-ku^{2}sec\psi\). Потім, використовуючи Рівняння\( \ref{eq:7.3.32}\), отримуємо

\[ \frac{du}{dt}=-\frac{g}{\lambda}\sec\psi \tag{7.3.35}\label{eq:7.3.35} \]

Похідну\(\frac{du}{d\lambda}\) можна знайти з Рівняння\( \ref{eq:7.3.32}\) і є

\[ \frac{du}{d\lambda}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}\frac{1}{\lambda^{\frac{3}{2}}}. \tag{7.3.36}\label{eq:7.3.36} \]

Похідну\( \frac{d\lambda}{d\psi}\) можна знайти з Рівняння\( \ref{eq:7.3.31}\) і є

\[ \frac{d\lambda}{d\psi} = -2\sec^{3}\psi. \tag{7.3.37}\label{eq:7.3.37} \]

Таким чином, відношення, яке ми шукаємо, є

\[ \frac{d\psi}{dt} = -\sqrt{gk}\sqrt{\lambda}\cos^{2}\psi. \tag{7.3.38}\label{eq:7.3.38} \]

Якщо початковий рух снаряда за часом нуль робить кут\( \alpha\) з горизонталлю, то інтеграція Рівняння\( \ref{eq:7.3.38}\) дає наступний вираз на наступний час,\( t\) коли рух робить кут\( \psi\) з горизонталлю.

\[ t=\frac{1}{\sqrt{gk}}\int_{\psi}^{\alpha}\frac{d\psi}{\sqrt{\lambda}\cos^{2}\psi}. \tag{7.3.39}\label{eq:7.3.39} \]

Також\( u\) =\( \frac{dx}{dt}\) =\( \frac{dx}{d\psi}\)\( \frac{d\psi}{dt}\). З\( u\) і\(\frac{d\psi}{dt}\) задано відповідно рівняннями\( \ref{eq:7.3.32}\) і\( \ref{eq:7.3.38}\), отримаємо

\[ \frac{dx}{d\psi}=-\frac{1}{k\lambda \cos^{2}\psi}, \tag{7.3.40}\label{eq:7.3.40} \]

з якого ми можемо обчислити\( x\) як функцію\( \psi\):

\[ x = \frac{1}{k}\int_{\psi}^{\alpha}\frac{d\psi}{\lambda \cos^{2}\psi}. \tag{7.3.41}\label{eq:7.3.41} \]

Далі,\( v\) =\( \frac{dy}{dt}\) =\( \frac{dy}{d\psi}\frac{d\psi}{dt}\). З\( v\) і\( \frac{d\psi}{dt}\) задано відповідно рівняннями\( \ref{eq:7.3.33}\) і\( \ref{eq:7.3.38}\), отримаємо

\[ \frac{dy}{d\psi}=-\frac{\tan\psi}{k\lambda \cos^{2}\psi}, \tag{7.3.42}\label{eq:7.3.42} \]

з якого ми можемо обчислити\( y\) як функцію\( \psi\):

\[ y =\frac{1}{k}\int_{\psi}^{\alpha}\frac{\tan\psi d\psi}{\lambda \cos^{2}\psi}. \tag{7.3.43}\label{eq:7.3.43} \]

Рівняння\( \ref{eq:7.3.39}\),\( \ref{eq:7.3.41}\) і\( \ref{eq:7.3.43}\) дозволяють нам обчислити\( t\),\( x\) і в\( y\) якості функції\( \psi\), а значить, і обчислити будь-який з них з точки зору будь-якого з інших. У кожному випадку потрібне числове інтегрування, наприклад, за правилом Сімпсона або за гаусовою квадратурою, або іншим алгоритмом інтеграції, і, як завжди, для отримання належної точності необхідно вибірку достатніх точок. Чисельне інтегрування цих рівнянь, використовуючи дані наведеного вище прикладу Даріо Бруно, дало таку ж\( x\):\( y\) траєкторію, розраховану для малюнка VII.3 Бруно, і\( x\):\( t\) і\( y\):\( t\) відносини, показані на малюнку VII.4.

Я дуже зобов'язаний Даріо Бруні та Амвросій Окуне за їх цікавий та повчальний внесок у цей розділ — надихаючий приклад міжнародного наукового співробітництва між Італією, Угандою та Канадою!