7.2: Опір повітря, пропорційний швидкості

Як і в попередньому розділі, я напишу\( x\) -компонент рівняння руху, і першого і другого часу інтегралів, в лівій колонці, і\( y\) -компонент в правій колонці. \( x\)-складова опору повітря на одиницю маси є\( \gamma\dot{x}\) і\( y\) -компонент є\( \gamma\dot{y}\). \( \gamma\)Ось константа демпфування, визначена в розділі 6.3. У\(x\) - і\(y\) -складових початкової швидкості є, відповідно,\( V_{0} \cos \alpha\) і\( V_{0} \sin \alpha\). Слід легко бачити, що рівняння руху та їх тимчасові інтеграли такі:

Горизонтальний	Вертикальний
\( \ddot{x} = -\gamma\dot{x}\)	\( \ddot{y} = -g-\gamma\dot{y}\)	\( 7.2.1a,b\)
\( \dot{x} = u = V_{0}\cos\alpha.e^{-\gamma t} \)	\( \dot{y}= v= V_0 \sin \alpha e^{-\gamma t} -\hat{v}(1-e^{\gamma t} ) \\ \text{where} \, \hat{v} = g/\gamma\)	\( 7.2.2a,b\)
\( x=x_\infty\left(1 - e^{-\gamma t}\right)\\ \text{where}\space x_{\infty} = \frac{V_0 \cos \alpha}{\gamma} \)	\( y = \dfrac{1}{\gamma}(V_{0}\sin \alpha + \hat{v})(1-e^{-\gamma t})- \hat{v}t \)	\( 7.2.3a,b\)

(Якщо це не «легко видно», для горизонтального руху зверніться до розділу 3 глави 6, особливо Рівняння 6.3.2, 6.3.3 та 6.3.5, а для вертикального руху зверніться до розділу 6, розділ 3b, особливо Рівняння 6.3.24, 6.3.25 та 6.3.27.) Буде видно, що\( t\rightarrow\infty\),\( u\rightarrow0\),\( v\rightarrow -\hat{v}\),\( x\rightarrow x_{\infty}\). \( xy\)-рівняння до траєкторії є\( t\) -елімінант рівнянь\( 6.2.3a\) і\( 6.2.3b\). Після невеликої кількості алгебри це виявляється:

\[ y=\dfrac{x(V_{0}\sin\alpha+\hat{v})}{V_{0}\cos\alpha} + \dfrac{\hat{v}}{\gamma}\ln \left(1-\dfrac{x}{x_{\infty}}\right). \tag{7.2.4}\label{eq:7.2.4} \]

Діапазон на горизонтальній площині знаходить, встановивши\( y\) = 0, щоб отримати або

\[ x = -Aln(1-\frac{x}{x_{\infty}}) \tag{7.2.5}\label{eq:7.2.5} \]

або

\[ x = {x_{\infty}}(1-e^{-\frac{x}{A}}), \tag{7.2.6}\label{eq:7.2.6} \]

де

\[ A=\frac{\hat{v}V_{0}cos\alpha}{\gamma(V_{0}sin\alpha+\hat{v})},x_{\infty}=\frac{V_{0}cos\alpha}{\gamma} \nonumber \]

і

\[ \hat{v}=\frac{g}{\gamma}. \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Припустимо

• \( V_{0}\)= 20 мс ^-1
• \( \alpha\)= 50\( ^{\circ}\)
• \( g\)=9.8 мс ^-2
• \(\gamma\)=1.96с ^-1 (\( \therefore\hat{v}\)=5 мс ⁻¹)

Тоді\( A\) = 1,613 870 65 м

а\( x_{\infty}\) = 6,55905724 м.

Спробуйте знайти діапазон на горизонтальній площині, використовуючи\(\ref{eq:7.2.5}\) або Рівняння\(\ref{eq:7.2.6}\), або, до дев'яти значущих цифр. Яке рівняння найкраще працює? Ньютон-Рафсон може провалитися з дурною першою здогадкою - але зробити досить розумну першу здогадку не повинно бути важко. Не повинен вам розповідати, але цифра VII.2 була розрахована за даними цього прикладу.

Я роблю відповідь 6.437 584 2 м.

Ось більш складна проблема.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Загальновідомо, що при відсутності опору повітря максимальний діапазон на горизонтальній площині здійснюється шляхом вибору початкової висоти запуску, щоб бути\( \alpha\) = 45\( ^{\circ}\). Що робити, якщо є опір повітря, з постійною демпфуванням\( \gamma\)? Яким же тоді повинен бути кут запуску для досягнення найбільшої дальності на горизонтальній площині? Дано рівняння\(\ref{eq:7.2.6}\)\( x=x_{\infty}(1-e^{\frac{-x}{A}})\), для якого значення\( \alpha\) є\( x\) найбільшим?

Рішення

Рівняння\( \ref{eq:7.2.6}\), записане повністю, є

\[ x=\frac{V_{0}cos\alpha}{\gamma}\left[1-exp\left(\frac{-\gamma(V_{0}\sin\alpha+\hat{v})x}{\hat{v}V_{0}\cos\alpha}\right)\right]. \tag{7.2.7}\label{eq:7.2.7} \]

Це можна написати

\[ x=acos\alpha\left[1-exp\left(-\frac{(b \sin\alpha + 1)x}{a \cos\alpha}\right)\right], \tag{7.2.8}\label{eq:7.2.8} \]

де\( a=\frac{V_{0}}{\gamma}\) і\( b=\frac{V_{0}}{\hat{v}}=\frac{\gamma V_{0}}{g}\). Ми повинні знайти, для чого значення\( \alpha\) є\( x\) найбільшим. Це здається досить простою проблемою, але на даний момент я не можу знайти хорошого способу її вирішення. Якщо у когось є підказка, дайте мені знати ([e-mail]). Тим часом найкраще, що я можу запропонувати, для нашого конкретного числового прикладу, обчислити діапазон\( x\), для декількох значень\( \alpha\) і побачити, де він проходить максимум. Для нашого конкретного числового прикладу,\( a\) = 10,204 081 63 м і\( b\) = 4. Ось графік діапазону проти кута запуску, для початкової швидкості 20 мс ⁻¹. Кут запуску близько 23\( ^{\circ}\) 59′ дає дальність близько 8.4635 м Для заданого\( \gamma\) і\( g\), оптимальний кут запуску залежить від швидкості запуску\( V_{0}\). Це інтуїтивно очевидно?