7.1: Немає опору повітря

Ми припускаємо, що частка проектується з точки O на початку системи координат,$y$ вісь -вертикальна, а$x$ вісь -спрямована вздовж землі. Частка проектується в$xy$ -площині, з початковою$V_{0}$ швидкістю під кутом$\alpha$ до горизонту. У будь-який наступний час у його русі його швидкість дорівнює$V$ і кут, який робить його рух з горизонталлю$\psi$.

Початкова горизонтальна складова, якщо швидкість є$V_{0} \cos \alpha$, і, при відсутності опору повітря, ця горизонтальна складова залишається постійною протягом усього руху. Я також буду називати цю постійну горизонтальну складову швидкості як$u$. Тобто$u=V_{0} \cos\alpha=$ постійний протягом усього руху.

Початковою вертикальною складовою швидкості є$V_{0} \cos \alpha$, але вертикальна складова руху сповільнюється з постійною швидкістю$g$. У більш пізній час під час руху вертикальна складова швидкості є$V_{0} \cos \psi$, яку я також буду називати$v$.

Далі я пишу в лівій колонці горизонтальну складову рівняння руху та перший та другий інтеграли часу; у правій колонці я роблю те ж саме для вертикальної складової.

Горизонтальний	Вертикальний
$\ddot{x} = 0$	$\ddot{y} = -g$	$7.1.1 a,b$
$\dot{x}=u=V_{0}\cos\alpha$	$\dot{x}=u=V_{0} \cos \alpha$	$7.1.2 a,b$
$\dot{x}=u=V_{0}t\cos\alpha$	$\dot{x}=u=V_{0}t \cos \alpha-\frac{1}{2}gt^{2}$	$7.1.3 a,b$

Рівняння$7.1.3a,b$ - це параметричні рівняння траєкторії. У векторній формі ці два рівняння можна записати як єдине векторне рівняння:

$$r = V_{0}t + \frac{1}{2}gt^{2} \tag{7.1.4}\label{eq:7.1.4}$$

Зверніть увагу на знак + у правій частині Рівняння$\ref{eq:7.1.4}$. Вектор g спрямований вниз.

$xy$-рівняння до траєкторії знайдено шляхом усунення$t$ між рівняннями$7.1.3a$ та$7.1.3b$ отриманням:

$$y = x\tan\alpha - \frac{gx^{2}}{2V_{0}^{2}cos^{2}\alpha} \tag{7.1.5}\label{eq:7.1.5}$$

Тепер перепишіть це у формі

$x^{2} - ( )x = -( )y$

Додайте до кожної сторони (половину коефіцієнта x) ² для того, щоб «завершити квадрат» з лівого боку, і після деякої алгебри буде встановлено, що рівняння траєкторії можна записати як:

$$(x-A)^{2} = -4a(y-B), \tag{7.1.6}\label{eq:7.1.6}$$

де

$$A=\frac{V^2_{0}\sin\alpha \cos\alpha}{g}=\frac{V_{0}\sin2\alpha}{2g} \tag{7.1.7}\label{eq:7.1.7}$$

$$B=\frac{V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}\tag{7.1.8}\label{eq:7.1.8}$$

і

$$a=\frac{V_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}{2g}\tag{7.1.9}\label{eq:7.1.9}$$

Переставивши Рівняння$\ref{eq:7.1.5}$ за формою$\ref{eq:7.1.6}$, ми бачимо, що траєкторія - це парабола, вершина якої знаходиться в (A, B). Діапазон на горизонтальній площині дорівнює 2 А, або$\frac{V_{0}^{2}\sin^{2}2\alpha}{g}$ Найбільший діапазон на горизонтальній площині виходить при$\sin 2\alpha$ = 1, або$\alpha$ = 45 ^о. Найбільший діапазон на горизонтальній площині тому$\frac{V_{0}^{2}}{g}$ Максимальна досягнута висота - B, або$\frac{V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}$ Відстань між вершиною та фокусом - a,$\frac{V_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}{2g}$ або.Фокус знаходиться над землею, якщо це менше максимальної висоти, і нижче земля, якщо вона більше максимальної висоти. Тобто фокус знаходиться над землею, якщо$\cos^{2}\alpha < \cos^{2}\alpha$. Тобто фокус знаходиться над землею, якщо$\alpha$ > 45 ^o і під землею, якщо$\alpha$ < 45 ^o.

Радіус кривизни$\rho$ в будь-якому місці по траєкторії можна знайти за звичайною формулою$\rho = \frac{(1 + y \prime^{2})^{\frac{3}{2}} }{y\prime\prime}$. У верхній частині траєкторії$y\prime = 0$, так що$\ rho=\frac{1}{y\prime}$ Альтернативно (в разі, якщо хтось забув або незнайомий з «звичайною формулою»), відзначимо, що швидкість у верхній частині шляху якраз дорівнює (постійної) горизонтальної складової швидкості$V_{0}\cos\alpha$. Потім ми можемо прирівняти доцентрове прискорення$V_{0}^{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{\rho}$ до$g$ і, отже, отримати:

$$\rho=\frac{V_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}{g}.\tag{7.1.10}\label{eq:7.1.10}$$

Віднімаючи це з нашого виразу для максимальної висоти снаряда, ми знаходимо, що висота центру кривизни над землею дорівнює$\frac{V_{0}^{2}(1-3\cos^{2}\alpha)}{2g}$ Центру кривизни знаходиться над землею if$\alpha$ > 54 ^o

44'.

Діапазон r на площині, нахиленій під кутом$\theta$ до горизонталі, можна знайти шляхом підстановки$x = r \cos \theta$ and $y = r sin \theta$ в$\ref{eq:7.1.5}$ Рівнянні на траєкторію. Це призводить, після деякої алгебри, в

$$r=\frac{V_{0}^{2}}{gcos^{2}\theta}[\sin(2\alpha-\theta) - \sin\theta].\tag{7.1.11}\label{eq:7.1.11}$$

Це найбільше, коли$2\alpha-\theta$ = 90 ^о; i. е. коли кут проекції перетинає кут між похилою площиною і вертикаллю. Максимальний діапазон

$$r=\frac{V_{0}^{2}}{g(1 + \sin\theta)}.\tag{7.1.12}\label{eq:7.1.12}$$

Це рівняння в полярних координатах параболи, і ця парабола при обертанні навколо своєї вертикальної осі описує параболоїд, відомий як параболоїд безпеки. Це огинаюча всіх можливих траєкторій з початковою швидкістю$V_{0}$. Якщо гармата стріляє снарядами з початковою швидкістю$V_{0}$, або газон спринклер викидає воду з початковою швидкістю$V_{0}$, ви в безпеці до тих пір, поки ви знаходитесь поза параболоїдом безпеки. На малюнку VII.1 показані траєкторії для a = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140 і 160 градусів, і, як пунктирна лінія, параболоїд безпеки. Зверніть увагу, як змінюється діапазон з a і що він є найбільшим для a = 45 ^o.

Вправа$\PageIndex{1}$

Пістолет проектує снаряд, при відсутності опору повітря, під початковим кутом$\alpha$ до горизонталі. Швидкість проекції змінюється в залежності від кута проекції і задається

Початкова швидкість =$V_{0}\cos\frac{1}{2}\alpha$

Показати, що для досягнення найбільшого діапазону на горизонтальній площині оболонка повинна проектуватися під кутом до горизонталі, косинус якої c задається рішенням рівняння

$3c^{3} + 2c^{2} -2c - 1 =0$

Знайдіть оптимальний кут з точністю до однієї дугової хвилини.