Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.4: Косі зіткнення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    76391

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    На малюнку V.2 я показую дві кулі безпосередньо перед зіткненням, і відразу після зіткнення. Горизонтальна лінія — це лінія, що з'єднує центри — коротше кажучи, «лінія центрів». Ми припускаємо, що нам відома швидкість (швидкість і напрямок) кожної кулі перед зіткненням, і коефіцієнт реституції. Напрямок руху описується кутом, який вектор швидкості робить з лінією центрів. Ми хочемо знайти швидкості (швидкість і напрямок) кожної кулі після зіткнення. Тобто ми хочемо знайти чотири величини, і тому нам потрібно чотири рівняння. Ці рівняння такі.

    альт

    Зовнішніх сил на системі по лінії центрів немає. Тому складова імпульсу системи вздовж лінії центрів зберігається:

    \[ m_{1}v_{1}\cos\beta_{1} +m_{2}v_{2}\cos \beta_{2} = m_{1}u_{1}\cos \alpha_{1} + m_{2}u_{2}\cos \alpha_{2}. \tag{5.4.1}\label{eq:5.4.1} \]

    Якщо припустити, що кульки плавні - тобто немає сил, перпендикулярних лінії центрів і кульки не встановлені в обертання, то зберігається складова імпульсу кожної кулі окремо перпендикулярно лінії центрів:

    \[ v_{1}\sin\beta_{1} = u_{1} \sin \alpha_{1} \tag{5.4.2}\label{eq:5.4.2} \]

    і

    \[ v_{2}\sin\beta_{2} = u_{2} \sin \alpha_{2}. \tag{5.4.3}\label{eq:5.4.3} \]

    Останнє з чотирьох рівнянь - рівняння реституції

    \[ e = \frac{\text{elative speed of recession along the line of centres after collision}}{\text{relative speed of approach along the line of centres before collision}}. \nonumber \]

    Тобто,

    \[ v_{2}\cos\beta_{2}- v_{1}\cos\beta_{1} =e (u_{1}\cos \alpha_{1}-u_{2}\cos \alpha_{2}). \tag{5.4.4}\label{eq:5.4.4} \]

    Приклад\(\PageIndex{1A}\)

    Припустимо\( m_{1}\) =3 кг,\( m_{2}\) = 2кг,\( u_{1}\) = 40мс −1\( u_{2}\) = 15мс −1

    \( \alpha_{1}\)= 10 °,\( \alpha_{2}\) = 70 °,\( e\) = 0,8

    Знайти\( v_{1}\),\( v_{2}\),\( \beta_{1}\),\( \beta_{2}\).

    Рішення

    \( v_{1}\)= 16,28 м с−1\( v_{2}\) = 44,43 м с−1

    \( \beta_{1}\)= 25°15'\( \beta_{2}\) = 18°30'

    Приклад\(\PageIndex{1B}\)

    Припустимо,\( m_{1}\)\( m_{2}\) = 3 кг, = 3 кг,\( u_{1}\) = 12мс −1\( u_{2}\) = 15мс −1

    \( \alpha_{1}\)= 20 °,\( \alpha_{2}\) = 50 °,\( \beta_{2}\) = 47 °

    Знайти\( v_{1}\), \( v_{2}\),\( \beta_{1}\),\( e\).

    Рішення

    \( v_{1}\)= 10,50 м с −1\( v_{2}\) = 15,71 м с −1

    \( \beta_{1}\)= 23 ° 00'\( e\) = 0,6418

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Якщо\( u_{2} =0\), а якщо\( e=1\) і якщо\( m_{1} = m_{2}\), показати, що\( \beta_{1}\) = 90 ° і\( \beta_{2}\) = 0 °.