5.4: Косі зіткнення

На малюнку V.2 я показую дві кулі безпосередньо перед зіткненням, і відразу після зіткнення. Горизонтальна лінія — це лінія, що з'єднує центри — коротше кажучи, «лінія центрів». Ми припускаємо, що нам відома швидкість (швидкість і напрямок) кожної кулі перед зіткненням, і коефіцієнт реституції. Напрямок руху описується кутом, який вектор швидкості робить з лінією центрів. Ми хочемо знайти швидкості (швидкість і напрямок) кожної кулі після зіткнення. Тобто ми хочемо знайти чотири величини, і тому нам потрібно чотири рівняння. Ці рівняння такі.

Зовнішніх сил на системі по лінії центрів немає. Тому складова імпульсу системи вздовж лінії центрів зберігається:

$$m_{1}v_{1}\cos\beta_{1} +m_{2}v_{2}\cos \beta_{2} = m_{1}u_{1}\cos \alpha_{1} + m_{2}u_{2}\cos \alpha_{2}. \tag{5.4.1}\label{eq:5.4.1}$$

Якщо припустити, що кульки плавні - тобто немає сил, перпендикулярних лінії центрів і кульки не встановлені в обертання, то зберігається складова імпульсу кожної кулі окремо перпендикулярно лінії центрів:

$$v_{1}\sin\beta_{1} = u_{1} \sin \alpha_{1} \tag{5.4.2}\label{eq:5.4.2}$$

і

$$v_{2}\sin\beta_{2} = u_{2} \sin \alpha_{2}. \tag{5.4.3}\label{eq:5.4.3}$$

Останнє з чотирьох рівнянь - рівняння реституції

$$e = \frac{\text{elative speed of recession along the line of centres after collision}}{\text{relative speed of approach along the line of centres before collision}}. \nonumber$$

Тобто,

$$v_{2}\cos\beta_{2}- v_{1}\cos\beta_{1} =e (u_{1}\cos \alpha_{1}-u_{2}\cos \alpha_{2}). \tag{5.4.4}\label{eq:5.4.4}$$

Приклад$\PageIndex{1A}$

Припустимо$m_{1}$ =3 кг,$m_{2}$ = 2кг,$u_{1}$ = 40мс ⁻¹$u_{2}$ = 15мс ⁻¹

$\alpha_{1}$= 10 °,$\alpha_{2}$ = 70 °,$e$ = 0,8

Знайти$v_{1}$,$v_{2}$,$\beta_{1}$,$\beta_{2}$.

Рішення

$v_{1}$= 16,28 м с−1$v_{2}$ = 44,43 м с−1

$\beta_{1}$= 25°15'$\beta_{2}$ = 18°30'

Приклад$\PageIndex{1B}$

Припустимо,$m_{1}$$m_{2}$ = 3 кг, = 3 кг,$u_{1}$ = 12мс ⁻¹$u_{2}$ = 15мс ⁻¹

$\alpha_{1}$= 20 °,$\alpha_{2}$ = 50 °,$\beta_{2}$ = 47 °

Знайти$v_{1}$, $v_{2}$,$\beta_{1}$,$e$.

Рішення

$v_{1}$= 10,50 м с ⁻¹$v_{2}$ = 15,71 м с ⁻¹

$\beta_{1}$= 23 ° 00'$e$ = 0,6418

Вправа$\PageIndex{1}$

Якщо$u_{2} =0$, а якщо$e=1$ і якщо$m_{1} = m_{2}$, показати, що$\beta_{1}$ = 90 ° і$\beta_{2}$ = 0 °.