3.7: Кутовий момент

Позначення:

• $\textbf{L}_{C}$= кутовий імпульс системи по відношенню до центру мас С.
• $\textbf{L}$= кутовий імпульс системи відносно деякого іншого походження О.
• $\overline{\textbf{r}}$= вектор положення C відносно O.
• $\textbf{P}$= лінійний імпульс системи по відношенню до О.
• (Лінійний імпульс по відношенню до С дорівнює, звичайно, нулю.)

Теорема:

$$\textbf{L} = \textbf{L}_{C} + \overline{\textbf{r}} \times \textbf{P} \tag{3.7.1}\label{eq:3.7.1}$$

Таким чином:

$$\begin{align*} \textbf{L} &= \sum \textbf{r}_{i}\times \textbf{p}_{i} = \sum m_{i}(\textbf{r}_{i}\times \textbf{v}_{i}) = \sum m_{i}(\overline{\textbf{r}} + \textbf{r}_{i}^{\prime})\times(\overline{\textbf{v}} + \textbf{v}_{i}^{\prime}) \\[5pt] &=(\overline{\textbf{r}}\times \overline{\textbf{v}})\sum m_{i} + \overline{\textbf{r}}\times \sum m_{i}\textbf{v}_{i}^{\prime} + (\sum m_{i}\textbf{r}_{i}^{\prime}) \times \overline{\textbf{v}} + \sum \textbf{r}_{i}^{\prime} \times \textbf{p}_{i}^{\prime} \\[5pt] &=M(\overline{\textbf{r}}\times \overline{\textbf{v}}) +\overline{\textbf{r}}\times 0 + 0 \times \overline{\textbf{v}} + \textbf{L}_{C} \end{align*} \nonumber$$

тому

$$\qquad \textbf{L} =\textbf{L}_{C} + \overline{\textbf{r}} \times \textbf{P} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{1}$

Обруч радіусу прокатки по землі (рис. III.6):

Кутовий імпульс по відношенню до C дорівнює L _C =$I_{C \omega}$ де$I_{C}$ обертальна інерція про С. Таким чином, кутовий імпульс близько O

$$I = I_{C}\omega+M\overline{v}a=I_{C}\omega+Ma^{2}\omega=(I_{C}+Ma^{2})=I\omega \nonumber$$

де

$$I = I_{C}+Ma^{2} \nonumber$$

- обертальна інерція про О.