2.10: Маятники

У розділі 2.2 ми розглянули фізичний сенс обертальної інерції як відношення прикладеного крутного моменту до отриманого кутового прискорення. У лінійному русі ми знайомі з рівнянням$F = ma$. Відповідне рівняння при роботі з крутними моментами та кутовим прискоренням є$\tau = I\ddot{\theta}$. Ми також знайомі з рівнянням руху для маси, що вібрує в кінці пружини сили постійної k:$m\ddot{x} = -kx$. Це простий гармонійний рух періоду$2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$. Механіка торсіонного маятника аналогічна.

$c$Константа кручення дроту - це крутний момент, необхідний для скручування його через одиницю кута. Якщо маса підвішена на торсіонному дроті, а дріт скручений через кут$\theta$, відновлювальний крутний момент буде$c\theta$, а Рівняння руху є$I\ddot{\theta} = -c\theta$, що є простим гармонічним рухом періоду$2\pi\sqrt{\frac{I}{c}}$. Константа кручення дроту круглого перетину, до речі, пропорційна його модулю зсуву, четвертої потужності його радіуса, і обернено його довжині. Виведення цього забирає трохи клопоту, але це можна перевірити за допомогою розмірного аналізу. При цьому товсту дріт скрутити дуже набагато складніше, ніж тонку. Дріт вузького прямокутного перетину, такий як смуга або стрічка, має відносно невелику постійну кручення.

Тепер давайте подивимося не на торсіонний маятник, а на маятник, що гойдається навколо осі під дією сили тяжіння.

Ми припускаємо, що маятник маси$m$ розгойдується про точку О, яка знаходиться на відстані$h$ від центру мас С. Обертальна інерція близько O є$I$. Лінія OC робить кут$\theta$ з вертикаллю, так що відстань по горизонталі між O і C дорівнює$h \sin\theta$. Крутний момент близько O є$mgh \sin\theta$, так що рівняння руху

$$I \ddot{\theta} = -mgh\sin\theta. \tag{2.10.1}\label{eq:2.10.1}$$

Для невеликих кутів ($\sin \theta \approx \theta$) це

$$I \ddot{\theta} = -mgh\theta. \tag{2.10.2}\label{eq:2.10.2}$$

Це простий гармонійний рух періоду

$$P = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}. \tag{2.10.3}\label{eq:2.10.3}$$

Ми розглянемо два приклади - рівномірний стрижень, і дугу кола.

Приклад$\PageIndex{1}$

Спочатку рівномірний стрижень.

Центр маси - С. Обертальна інерція близько С є$\frac{1}{3}ml^{2}$, тому обертальна інерція близько O є$I = \frac{1}{3}ml^{2} +mh^{2}$. Якщо підставити це в рівняння$\ref{eq:2.10.3}$, то знайдемо для періоду малих коливань

$$P = 2\pi\sqrt{\frac{l^{2}+3h^{2}}{3gh}}. \tag{2.10.4}\label{eq:2.10.4}$$

Це можна написати

$$P = 2\pi\sqrt{\frac{l}{3g}}\cdot\sqrt{\frac{l+3(\frac{h}{l})^{2}}{\frac{h}{l}}}. \tag{2.10.5}\label{eq:2.10.5}$$

або, якщо ми пишемо$\mathsf{P} = \frac{P}{2\pi\sqrt{\frac{l}{3g}}}$ і$\mathsf{h} = \frac{h}{l}$:

$$P = \sqrt{\frac{1+3 \mathsf{h}^{2}}{\mathsf{h}}}. \tag{2.10.6}\label{eq:2.10.6}$$

На малюнку показаний графік$\mathsf{P}$ проти$\mathsf{h}$.

Рівняння$\ref{eq:2.10.6}$ можна записати

$$\mathsf{P}^{2} = \frac{1}{ \mathsf{h}} + 3 \mathsf{h}. \tag{2.10.7}\label{eq:2.10.7}$$

і, шляхом диференціації$\mathsf{P}^{2}$ щодо$\mathsf{h}$, ми виявляємо, що період найменше, коли$\mathsf{h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Цей найменший період дається$\mathsf{P}^{2} = \sqrt{12}$, або$\mathsf{P} = 1.861$.

Рівняння також$\ref{eq:2.10.7}$ можна записати

$$\ 3 \mathsf{h}^{2} - \mathsf{P}^{2} \mathsf{h} + 1 = 0 \tag{2.10.8}\label{eq:2.10.8}$$

Це квадратне рівняння показує, що є два положення опори$O$, які породжують той же період малих коливань. Період є найменшим, коли два$\ref{eq:2.10.8}$ розв'язки рівняння рівні, і за теорією квадратичних рівнянь, то найменший період задається,$\mathsf{P}^{2} = \sqrt{12}$ як ми також вивели диференціювання рівняння$\ref{eq:2.10.7}$, і це відбувається, коли$\mathsf{h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Для періодів довше, ніж це, є два рішення для$\mathsf{h}$. $\mathsf{h}_{1}$Дозволяти бути меншим з них, і нехай$\mathsf{h}_{2}$ бути більше. За теорією квадратичних рівнянь ми маємо

$$\ \mathsf{h}_{1} + \mathsf{h}_{2} = \frac{1}{3}\mathsf{P}^{2}\tag{2.10.9}\label{eq:2.10.9}$$

і

$$\ \mathsf{h}_{1}\mathsf{h}_{2} = \frac{1}{3}\tag{2.10.10}\label{eq:2.10.10}$$

$\mathsf{H} = \mathsf{h}_{2} - \mathsf{h}_{1}$Дозволяти відстань між двома точками$O$, які дають однаковий період коливань.

Тоді

$$\ \mathsf{H}^{2} = (\mathsf{h}_{2} - \mathsf{h}_{1})^{2} = (\mathsf{h}_{2} + \mathsf{h}_{1})^{2} - 4\mathsf{h}_{1}\mathsf{h}_{2} = \frac{\mathsf{P}^{4}-12}{9}\tag{2.10.11}\label{eq:2.10.11}$$

Якщо виміряти$\mathsf{H}$ за заданий період$\mathsf{P}$ і згадати визначення,$\mathsf{P}$ ми бачимо, що це забезпечує метод визначення$g$. Хоча це звичайна лабораторна вправа для студентів, графік показує, що мінімум дуже дрібний і, отже, і, отже$\mathsf{H}$,$g$ дуже важко виміряти з будь-якою точністю.

Приклад$\PageIndex{2}$

Для іншого прикладу розглянемо дріт, зігнутий в дугу кола радіуса, що$a$ коливається у вертикальній площині близько його середини. На малюнку$C$ - центр маси.

Обертальна інерція навколо центру кола є$ma^{2}$. За двома додатками теореми паралельних осей ми бачимо, що обертальна інерція навколо точки коливання$I = ma^{2} - m(a-h)^{2} + mh^{2} = 2mah$ є.Таким чином, з Рівняння$\ref{eq:2.10.3}$ ми знаходимо

$$P = 2\pi\sqrt{\frac{2a}{g}}, \tag{2.10.12}\label{eq:2.10.12}$$

і період не залежить від довжини дуги.