2.9: Лінійна триатомна молекула
- Page ID
- 76138
Ось цікава проблема. Слід просто обчислити обертальну інерцію вищевказаної молекули щодо осі, перпендикулярної молекулі і проходить через центр мас. На практиці досить легко виміряти обертальну інерцію дуже точно з відстані між лініями в молекулярній смузі в інфрачервоній області спектра.
Якщо ви знаєте три маси (що ви робите, якщо знаєте атоми, що складають молекулу), чи можете ви обчислити два міжатомних відстані\(x\) і\(y\)? Це вимагатиме визначення двох невідомих величин\(y\),\(x \) і, з одного вимірювання обертальної інерції,\(I\). Очевидно, що це неможливо зробити; потрібне повторне вимірювання. Чи можете ви запропонувати, що можна зробити? Ми відповімо на це найближчим часом. Тим часом це вправа, яка показує, що обертальна інерція задається
\[ ax^2 +2hxy +by^2 + c = 0, \label{eq:2.9.1} \]
де
\[ a = m_{1}(m_{2}+m_{3})/M \label{eq:2.9.2} \]
\[ h = m_{1}m_{3}/M \label{eq:2.9.3} \]
\[ b = m_{3}(m_{1}+ m_{2})/M \tag{2.9.4}\label{eq:2.9.4} \]
\[ M = m_{1}+m_{2}+ m_{3} \label{eq:2.9.5} \]
\[ c = - I \label{eq:2.9.6} \]
Припустимо, молекула - лінійна молекула OCS, а три маси - 16, 12 і 32 відповідно, і, з інфрачервоної спектроскопії, визначається, що момент інерції дорівнює 20. (Для цього гіпотетичного ілюстративного прикладу я не ставлюся до себе одиниць). У такому випадку рівняння\( \ref{eq:2.9.1}\) стає
\ [11,7\ бар {3} х ^ 2 + 17,0\ бар {6} xy +14,9\ бар {3} y^2 -20 = 0
\ етикетка {еква:2.9.7} . \]
Нам потрібно інше рівняння для розв'язання x і y Що можна зробити хімічно - це підготувати ізотопічно заміщену молекулу (ізотопомер), таку як 18 OCS, і виміряти її момент інерції з її спектра, роблячи ймовірно дуже виправдане припущення, що міжатомні відстані не піддаються ізотопному заміщенню. Це призводить до другого рівняння:
\[ a' x^2 +2h'xy+b'y^2+c' = 0. \label{eq:2.9.8} \]
Припустимо, що новий момент інерції є\( I' = 21\), і я залишаю його читачеві, щоб відпрацювати числові значення\(a', h'\) і\(b'\) з суворою обережністю зберегти всі десяткові розряди на вашому калькуляторі. Тобто не округляйте числа до самого кінця розрахунку.
Тепер у вас є два рівняння\( \ref{eq:2.9.8}\),\( \ref{eq:2.9.1}\) і, щоб вирішити для\( x\) і\( y\). Це два одночасних квадратичних рівняння, і може бути, що деякі вказівки при їх вирішенні були б корисними. У мене є три пропозиції.
- Розглядайте рівняння\( \ref{eq:2.9.1}\) як квадратне рівняння в\(x\) і вирішуйте його\(x \) за термінами\(y\). Потім підставляємо це в рівняння\( \ref{eq:2.9.8}\). Я сподіваюся, що вам дуже скоро набридне цей метод і захочеться спробувати щось трохи менш виснажливе.
- У вас є два рівняння форми\( S(x, y) = 0, S'(x, y) = 0 \). Існують стандартні способи вирішення цих ітеративно шляхом розширення процесу Ньютона-Рафсона. Це описано, наприклад, у розділі 1.9 моїх приміток «Небесна механіка», і цей загальний метод для двох або більше нелінійних рівнянь повинен знати кожен, хто розраховує зайнятися числовим розрахунком.
Для цього конкретного випадку детальна процедура буде такою. Це ітераційний метод, і спочатку необхідно зробити припущення при розв'язках для\(x\) і\( y \). Припущення не повинні бути особливо хорошими. Зробивши, обчислити наступні шість величин:
\( S = x(ax+2hy)+by^2 + c \)
\( S' = x(a'x+2h'y)+b'y^2 + c' \)
\( S_{x} = 2(ax+hy) \)
\( S_{y} = 2(hx+by) \)
\( S'_{x} = 2(a'x+h'y) \)
\( S'_{y} = 2(h'x+b'y) \)
Тут індекси позначають часткові похідні. Тепер, якщо
\( x \)(правда) =\( x \) (вгадати) +\(\epsilon\)
і
\( y \)(правда) =\( y \) (вгадати) +\(\eta\)
помилки\( \epsilon \) і\( \eta \) можуть бути знайдені з рішення
\( S_{x} \epsilon + S_{y} \eta + S = 0 \)
і
\( S'_{x} \epsilon + S'_{y} \eta + S' = 0 \)
Якщо ми розрахуємо
\( F = \frac{1} {S_{y}S'_{x}-S_{x}S'_{y}} \)
Рішення помилок:
\( \epsilon = F(S'_{y}S-S_{y}S') \)
\( \eta = F(S_{x}S'-S'_{x}S) \)
Це дасть можливість краще здогадатися, і процедуру можна повторювати до тих пір, поки помилки не стануть такими маленькими, як потрібно. Як правило, потрібно лише дуже мало ітерацій. Якщо це не так, вказується помилка програмування.
- Хоча метод 2 може бути використаний для будь-яких нелінійних одночасних рівнянь, в даному конкретному випадку ми маємо два одночасних квадратних рівняння, і невелике знайомство з конічними перерізами забезпечує досить приємний метод.
Таким чином, якщо\( S = 0\) і\( S' = 0\) є рівняннями\( \ref{eq:2.9.1}\) і\( \ref{eq:2.9.8}\) відповідно. Кожне з цих рівнянь являє собою конічний переріз, і вони перетинаються в чотирьох точках. Ми хочемо знайти точку перетину, яка лежить у все-позитивному квадранті - тобто з\( x\) і\( y\) обома позитивними. Так як два конічних перерізу дуже схожі, для того щоб обчислити, де вони перетинаються, потрібно провести розрахунок з великою точністю. Тому не варто округляти цифри до самого кінця розрахунку. Сформуйте рівняння\( c'S−cS'=0 \). Це також квадратне рівняння, що представляє конічний переріз, що проходить через чотири точки. Крім того, він не має постійного терміну, і тому він являє собою дві прямі лінії, які проходять через чотири точки. Рівняння може бути розбито на два лінійні члени\( \alpha \beta - 0 \), де\( \alpha = 0 \) і\( \beta = 0 \) є двома прямими лініями. Виберіть той, що має позитивний нахил і вирішіть його з\(S = 0\) або з\(S' = 0\) (або з обома, як перевірку на арифметичні помилки), щоб знайти\(x\) і\(y\). В даному випадку рішення є\(x = 0.2529, y = 1.000 \).