1.9: Півсфери

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76021

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Рівномірна тверда півсфера

Буде служити малюнок I.4. Аргумент точно такий же, як і для конуса. Обсяг елементарного зрізу є,\( \pi y^{2} \delta x = \pi (a^{2} - x^{2} ) \delta x \) а обсяг півсфери є\( \frac{2 \pi a^{3}}{3} \) , тому маса зрізу дорівнює

\(M \times \pi (a^{2}-x^{2}) \delta x \div (2 \pi a / 3) = \frac{3M(a^{2}-x^{2}) \delta x }{2a^{3}} \)

де\( M \) is the mass of the hemisphere. The first moment of mass of the elemental slice is \( x \) times this, so the position of the centre of mass is

\( \overline{x} = \frac{3}{2a^3} \int_0^a x(a^{2}-x^{2})dx = \frac{3a}{8} \)

Порожниста напівсферична оболонка.

Для початку ми можемо зазначити, що ми очікуємо, що центр маси буде далі від основи, ніж для рівномірної твердої півкулі.

Знову послужить малюнок I.4. Площа елементарного кільця становить\( 2 \pi a \delta x\) (NOT \( 2 \pi y \delta x \)!) and the area of the hemisphere is \( 2 \pi a^{2} \) . Тому маса елементарного кільця становить

\(M \times 2 \pi a \delta x \div (2 \pi a^{2}) = M \delta x / a\)

Перший момент маси кільцевого кільця дорівнює х разів це, тому положення центру мас

\( \overline{x} = \int_0^a \frac{xdx}{a} = \frac{a}{2} \)