1.4: Криві площини

Плоскі криві, виражені в$x-y$ координатах

На малюнку I.7 показано, як елементарна довжина$\delta s$ is related to the corresponding increments in $x$ and $y$:

$$\delta s = \sqrt{\delta x^{2} + \delta y^{2}} = \sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}} \delta x = \sqrt{ \left(\dfrac{dx}{dy}\right)^{2} + 1} \, dy \label{eq:1.4.1}$$

Розглянемо дріт масою на одиницю довжини (лінійна щільність)$\lambda$ bent into the shape $y = y(x)$ between $x = a$ and $x=b$. The mass of an element $ds$ is $\lambda \delta s$ , тому загальна маса дорівнює

$$\int \lambda \,ds = \int_a^b \lambda \sqrt{1 + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}} \, dx \label{eq:1.4.2}$$

Перші моменти маси про$y$ - and $x$ -axes are respectively

$$\int_a^b \lambda x \sqrt{ 1+ \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \label{eq:1.4.3A}$$

і

$$\int_a^b \lambda y \sqrt{ 1+ \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \label{eq:1.4.3B}$$

Якщо провід рівномірний і$\lambda$ is therefore not a function of $x$ or $y$, $\lambda$ can come outside the integral signs in Equations $\ref{eq:1.4.2}$ - $\ref{eq:1.4.3B}$, and we hence obtain

$$\overline{x} = \dfrac{\displaystyle \int_a^b x \sqrt{ 1+\left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2} dx } { \displaystyle \int_a^b \sqrt{ 1+ \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2} dx} \label{eq:1.4.4A}$$

і

$$\overline{y} = \dfrac{\displaystyle \int_a^b y \sqrt{ 1+\left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2} dx } { \displaystyle \int_a^b \sqrt{ 1+ \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2} dx} \label{eq:1.4.4B}$$

знаменник у кожному з цих виразів просто є загальною довжиною дроту.

Приклад$\PageIndex{1}$

Розглянемо рівномірну дріт, зігнуту в форму півкола.$x^{2} + y^{2} = a^{2}$, $x >0$.

По-перше, можна відзначити, що можна було б очікувати$\overline{x} > 0.4244a$ (значення для площини напівкруглої ламіни).

Довжина (тобто знаменники в рівняннях$\ref{eq:1.4.4A}$ and $\ref{eq:1.4.4B}$) is just $\pi a$. Since there are, between $x$ and $x + \delta x$, two elemental lengths to account for, one above and one below the $x$ axis, the numerator of Equation $\ref{eq:1.4.4A}$ must be

$$2 \int_0^a x \sqrt{1+ \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}} dx \nonumber$$

В даному випадку

$$y = \sqrt{a^2 - x^2} \nonumber$$

і

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-x}{ \sqrt{a^2 - x^2} } \nonumber$$

Перший момент довжини всього півкола

$$\overline{x} = 2 \int_0^a x \sqrt{ 1 + \dfrac{x^2}{a^2-x^2} } dx = 2a \int_0^a \dfrac{x\,dx}{ \sqrt{ a^2-x^2 }} \nonumber$$

З цього моменту студент залишається на свої власні пристрої, щоб вирішити цей інтеграл і вивести$\overline{x} = \dfrac{2a}{\pi} = 0.6366a$.

Плоскі криві виражені в полярних координатах

На малюнку I.8 показано, як елементарна довжина$\delta s$ is related to the corresponding increments in $r$ and $\theta$ :

$$\delta s = \sqrt{( \delta r)^{2} + (r \delta \theta )^{2}} = \sqrt{\left( \dfrac{dr}{d \theta }\right)^{2} + r^{2}} \, \delta \theta = \sqrt{1+\left(r \dfrac{d \theta }{dr}\right)^{2}} \,\delta r. \label{eq:1.4.5}$$

Маса кривої (між$\theta = a$ і$\theta = b$ ) дорівнює

$$\int_ \alpha ^ \beta \lambda \sqrt{ \left(\dfrac{dr}{d \theta }\right) ^{2} + r^{2}} \, d \theta. \nonumber$$

Перші моменти про$y$ - and $x$ -axes are (recalling that $x = r \cos \theta$ and $y = r \sin \theta$ )

$$\int_ \alpha ^ \beta \lambda r \cos \theta \sqrt{ \left(\dfrac{dr}{d \theta }\right) ^{2} + r^{2}} \, d \theta \nonumber$$

і

$$\int_ \alpha ^ \beta \lambda r \sin \theta \sqrt{ \left(\dfrac{dr}{d \theta }\right) ^{2} + r^{2}} \, d \theta. \nonumber$$

Якщо не$\lambda$ є функцією$r$ or $\theta$ , то отримаємо

$$\overline{x} = \dfrac{1}{L} \int_ \alpha ^ \beta r \cos \theta \sqrt{ \left(\dfrac{dr}{d \theta }\right) ^{2} + r^{2}} \, d \theta \label{eq:1.4.6A}$$

і

$$\overline{y} = \dfrac{1}{L} \int_ \alpha ^ \beta r \sin \theta \sqrt{ \left(\dfrac{dr}{d \theta }\right) ^{2} + r^{2}} d \theta \label{eq:1.4.6B}$$

де e$L$ - довжина проводу.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знову розглянемо рівномірну дріт малюнка І.8, зігнуту в форму півкола. Рівняння в полярних координатах просто$r = a$, and the integration limits are $\theta = \dfrac{- \pi}{2}$ to $\theta = \dfrac{+ \pi}{2}$ і довжина є$\pi a$ .

Таким чином

$$\overline{x} = \dfrac{1}{ \pi a} \int_{- \pi/2} ^{+ \pi/2} acos \theta [ 0 - a^{2}]^ \frac{1}{2} d \theta = \dfrac{2a}{ \pi } . \nonumber$$

Тепер читач повинен знайти положення центру маси дроту, зігнутого в дугу окружності кута$2 \alpha$. The expression obtained should go to $\dfrac{2 a }{\pi}$, як$\alpha$$\dfrac{\pi}{2}$, and to $a$ as $\alpha$ йде до нуля.