29.3: Внутрішня енергія газу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75818

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Внутрішня енергія газу визначається як загальна енергія газу, коли центр маси газу знаходиться в стані спокою. Внутрішня енергія складається з кінетичної енергії, K, руху центру маси молекул; потенційної енергії,\(U_{\text {inter}}\) пов'язаної з міжмолекулярними взаємодіями, і потенційної енергії,\(U_{\text {inter}}\)\(U_{\text {inter}}\) пов'язаної з внутрішньомолекулярними взаємодіями, такими як коливальний рух; \[E_{\text {intermal }}=K+U_{\text {inter }}+U_{\text {intra }} \nonumber \]

Як правило, міжмолекулярна сила, пов'язана з потенційною енергією, є відштовхуючою для малих r і привабливою для великих r, де r - поділ між молекулами. При низьких температурах, коли середня кінетична енергія мала, молекули можуть утворювати пов'язані стани з негативною енергією\(E_{\text {internal }}<0\) і конденсуватися в рідини або тверді речовини. Внутрішні міжмолекулярні сили діють подібно відновлюючим силам про рівноважну відстань між атомами, відстань, на якій потенційна енергія мінімальна. Для енергій, близьких до потенційного мінімуму, атоми вібрують, як пружини. Для більших (але все ще негативних) енергій атоми все ще вібрують, але вже не як пружини і з більшими амплітудами, зазнаючи теплового розширення. При більш високих температурах, за рахунок більших середніх кінетичних енергій, внутрішня енергія стає позитивною,\(E_{\text {internal }}<0\). При цьому молекули мають достатньо енергії, щоб вийти з міжмолекулярних сил і стати газом.

Ступені свободи

Кожна окрема молекула газу може переводити в будь-якому просторовому напрямку. Крім того, окремі атоми можуть обертатися навколо будь-якої осі. Молекули багатоатомного газу можуть зазнавати обертальних рухів, пов'язаних зі структурою молекули. Крім того, між сусідніми частинками газу може бути міжмолекулярний коливальний рух та коливальний рух, що виникає внаслідок внутрішньомолекулярних сил між атомами, що утворюють молекули. Далі може бути більше внесків у внутрішню енергію за рахунок внутрішньої будови окремих атомів. Будь-який тип руху, який вносить квадратичний термін в деякій узагальненій координаті до внутрішньої енергії, називається ступенем свободи. Приклади включають зміщення x частинки, що зазнає одновимірне просте гармонічне положення руху з відповідним внеском\((1 / 2) k x^{2}\) в потенційну енергію, х -складову швидкості\(v_{x}\) поступального руху з відповідним внеском\((1 / 2) m v_{x}^{2}\) в кінетичної енергії та z -складової кутової швидкості\(\omega_{z}\) для обертального руху з відповідним внеском у обертальну кінетичну енергію, де\(I_{z}\) є момент інерції навколо осі z.\((1 / 2) I_{z} \omega_{z}^{2}\) Одиночний атом може мати три поступальні ступені свободи і три обертальні ступені свободи, а також внутрішні ступені свободи, пов'язані з його атомною структурою.

Рівномірний розподіл енергії

Ми зробимо наше перше припущення про те, як внутрішня енергія розподіляється між N молекулами газу, наступним чином:

Кожна незалежна ступінь свободи має рівну кількість енергії, рівну\((1 / 2) k T\),

де постійна k називається постійною Больцмана і дорівнює\[k=1.3806505 \times 10^{-23} \mathrm{J} \cdot \mathrm{K}^{-1} \nonumber \]

Загальна внутрішня енергія ідеального газу -\[E_{\text {internal }}=N(\# of degrees of freedom) \frac{1}{2} k T \nonumber \] це рівне поділ енергії називається рівноділенням енергії. Константа Больцмана є довільною константою і фіксує вибір температурної шкали. Його значення вибирається таким чином, щоб температурна шкала в Рівнянні (29.3.2) тісно узгоджувалася з температурними шкалами, розглянутими в розділі 29.2.

Згідно з нашою класичною теорією газу, всі ці режими (поступальний, обертальний, коливальний) повинні бути однаково зайняті при всіх температурах, але насправді вони не є. Це важливе відхилення від класичної фізики історично було першим прикладом, коли для правильного опису експериментальних спостережень потрібна була більш детальна модель атома.

Не всі з трьох обертальних ступенів свободи сприяють отриманню енергії при всіх температурах. Як приклад, молекула азоту має три поступальні ступені свободи\(N_{2}\), але лише два обертальні ступені свободи при температурах, нижчих за температуру, при якій двоатомна молекула буде дисоціювати (теорія квантової механіки необхідна для розуміння цього явища). Двоатомний азот також має внутрішньомолекулярну коливальну ступінь свободи, яка не сприяє внутрішній енергії при кімнатних температурах. Як обговорюється в розділі 29.6,\(N_{2}\) становить більшу частину земної атмосфери (\ sim 78%).

Приклад 29.1 Двоатомний азотний газ

Що таке внутрішня енергія двоатомного\(N_{2}\) газу?

Рішення

При кімнатній температурі внутрішня енергія обумовлена лише п'ятьма ступенями свободи, пов'язаними з трьома поступальними і двома обертальними ступенями свободи,\[E_{\text {intemal }}=N \frac{5}{2} k T \nonumber \] Як обговорювалося вище, при температурах значно вище кімнатної температури, але досить низьким для утворення азоту двоатомних молекул, існує додаткова вібраційна ступінь свободи. Тому існує шість ступенів свободи і так внутрішня енергія є\[E_{\text {intemal }}=N(\# of degrees of freedom) \frac{1}{2} k T=3 N k T \nonumber \].