28.3: Рівняння неперервності маси

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 28.2: Векторне поле швидкості
- 28.4: Принцип Бернуллі

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Набір обтічних ліній для ідеальної рідини, що проходить постійний потік, в якому відсутні джерела або раковини для рідини, показаний на малюнку 28.3.

Малюнок 28.3: Набір обтічних ліній для ідеального потоку рідини Рисунок 28.4: Флюсова трубка, пов'язана з набором обтічних ліній

Ми також показуємо набір тісно відокремлених обтіків, які утворюють проточну трубку на малюнку 28.4 Ми додаємо до проточної трубки дві відкриті поверхні (торцеві ковпачки 1 і 2), які перпендикулярні швидкості рідини, ділянок $A_{1}$ і $A_{2}$ , відповідно. Оскільки всі частинки рідини, які потрапляють у торцеву кришку 1, повинні дотримуватися відповідних обтічних ліній, всі вони повинні залишити торцеву кришку 2. Якщо обтічні лінії, що утворюють трубку, досить близькі один до одного, можна припустити, що швидкість руху рідини в районі кожної торцевої поверхні ковпачка рівномірна.

Малюнок 28.5: Масовий потік через флюсову трубку

Нехай $v_{1}$ позначають швидкість рідини біля торцевої кришки 1 і $v_{2}$ позначають швидкість руху рідини біля торцевої заглушки 2. Нехай $\rho_{1}$ позначимо щільність рідини біля торцевої заглушки 1 і $\rho_{2}$ позначаємо щільність рідини біля торцевої кришки 2. Кількість маси, що надходить і виходить з трубки в проміжок часу, $d t$ можна розрахувати наступним чином (рис. 28.5): припустимо, ми вважаємо невеликий обсяг простору площі поперечного перерізу $A_{2}$ і довжини $d l_{1}=v_{1} d t$ біля торцевої заглушки 1. Маса, яка надходить в трубку в часовому проміжку $d t$ , дорівнює

$d m_{1}=\rho_{1} d V_{1}=\rho_{1} A_{1} d l_{1}=\rho_{1} A_{1} v_{1} d t \nonumber$

Аналогічним чином розглядають невеликий обсяг простору площі поперечного перерізу $A_{2}$ і довжини $d l_{2}=v_{2} d t$ біля торцевої заглушки 2. Маса, яка виходить з трубки в часовому інтервалі dt, то

$d m_{2}=\rho_{2} d V_{2}=\rho_{2} A_{2} d l_{2}=\rho_{2} A_{2} v_{2} d t \nonumber$

Рівна кількість маси, яка надходить в торцеву заглушку 1 в часовому проміжку, $d t$ повинна залишати торцеву заглушку 2 в тому ж часовому проміжку, таким чином $d m_{1}=d m_{2}$ . Тому, використовуючи рівняння (28.3.1) та (28.3.2), ми маємо це $\rho_{1} A_{1} v_{1} d t=\rho_{2} A_{2} v_{2} d t$ . Поділ через dt означає, що

$\rho_{1} A_{1} v_{1}=\rho_{2} A_{2} v_{2} \quad \text { (steady flow ) } \nonumber$

Рівняння (28.3.3) узагальнює будь-яку площу перерізу A тонкої трубки, де щільність дорівнює $\rho$ , а швидкість v,

$\rho A v=\text {constant} \quad \text { (steady flow ) } \nonumber$

Рівняння (28.3.3) називається рівнянням неперервності маси для стійкого потоку. Якщо припустити, що рідина нестислива, то рівняння (28.3.3) стає

$A_{1} v_{1}=A_{2} v_{2}\quad \text { (incompressable fluid, steady flow ) } \nonumber$

Розглянемо стійке протікання нестисливого з обтічними лініями і замкнутою поверхнею, утвореної обтічної трубкою, показаною на малюнку 28.5. Згідно з рівнянням (28.3.5), при збільшенні відстані обтічних ліній швидкість руху рідини повинна зменшуватися. Тому швидкість рідини більша, що надходить в торцеву кришку 1, ніж коли вона виходить з торцевої кришки 2. Коли ми представляємо потік рідини за допомогою обтічних ліній, регіони, в яких обтічні лінії широко розташовані, мають менші швидкості, ніж регіони, в яких обтічні лінії розташовані близько.