28.2: Векторне поле швидкості

Коли ми описуємо потік рідини, як вода, ми можемо думати про рух окремих частинок. Ці частинки взаємодіють між собою за допомогою сил. Тоді ми могли б застосувати наші закони руху до кожної окремої частинки в рідині, але оскільки кількість частинок дуже велика, це було б надзвичайно складною проблемою обчислення. Натомість ми почнемо з математичного опису стану рухомої рідини, вказавши швидкість рідини в кожній точці простору і в кожну мить часу. На даний момент ми виберемо декартові координати і посилаємося на координати точки в просторі впорядкованою трійкою (x, y, z) і змінною t для опису моменту в часі, але в принципі ми можемо вибрати будь-яку відповідну систему координат, відповідну для опису руху. Розподіл швидкостей рідини описується векторною функцією v (x, y, z, t). Це являє собою швидкість рідини в точці (x, y, z) в момент t. Величина v (x, y, z, t) називається полем вектора швидкості. Його можна розглядати в кожен момент часу як сукупність векторів, по одному для кожної точки в просторі, напрямок і величина якої описують напрямок і величину швидкості рідини в цій точці (рис. 28.1). Цей опис поля вектора швидкості рідини відноситься до нерухомих точок в просторі, а не до рухомих частинок в рідині.

Малюнок 28.1: Векторне поле швидкості для потоку рідини в час t

Введемо функції для тиску P (x, y, z, t) і$\rho(x, y, z, t)$ щільності рідини, які описують тиск і щільність рідини в кожній точці простору і в кожен момент часу. Ці функції називаються скалярними полями, оскільки існує лише одне число з відповідними одиницями, пов'язаними з кожною точкою простору в кожну мить часу.

Для того, щоб повністю описати поле вектора швидкості, нам потрібні три функції$v_{x}(x, y, z, t), v_{y}(x, y, z, t), \text { and } v_{z}(x, y, z, t)$ для опису складових поля вектора швидкості.

\ [\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} (x, y, z, t) = v_ {x} (x, y, z, t)\ капелюх {\ mathbf {i}} +v_ {y} (x, y, z, t)\ капелюх {\ mathbf {j}} +v_ {z} (x, y, z, t)\ hat {\ mathbf {k}}\ кінець {рівняння}

Три компонентні функції є скалярними полями. Векторне поле швидкості загалом досить складне для тривимірного часу залежного потоку. Іноді ми можемо зробити деякі спрощуючі припущення, які дозволяють моделювати складний потік, наприклад моделювання потоку як двовимірного потоку або навіть подальші припущення, що одна компонентна функція двовимірного потоку незначна, що дозволяє моделювати потік як одновимірний. Для більшості потоків поле швидкості змінюється в часі. Для деяких особливих випадків ми можемо моделювати потік, припускаючи, що поле швидкості не змінюється в часі, випадок, який ми будемо називати стійким потоком,

$$\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{v}}(x, y, z, t)}{\partial t}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \quad(\text { steady flow }) \nonumber$$

Для стійких потоків поле швидкості не залежить від часу,

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}(x, y, z)=v_{x}(x, y, z) \hat{\mathbf{i}}+v_{y}(x, y, z) \hat{\mathbf{j}}+v_{z}(x, y, z) \hat{\mathbf{k}} \quad(\text { steady flow }) \nonumber$$

Малюнок 28.2: (а) траєкторія частинки 1, (б) траєкторія частинки 2

Простежимо рух частинок в ідеальній рідині, що проходять постійний потік протягом послідовності інтервалів тривалості$\Delta t$ Розглянемо частинку 1, розташовану в точці А з координатами$\left(x_{A}, y_{A}, z_{A}\right)$. При цьому$t_{1}$ частка 1 має швидкість$\overrightarrow{\mathbf{v}}\left(x_{\mathrm{A}}, y_{\mathrm{A}}, z_{\mathrm{A}}\right)=\overrightarrow{\mathbf{v}}(\mathrm{A})$.

Протягом часу частка рухається до точки B$\left[t_{1}, t_{2}\right], \text { where } t_{2}=t_{1}+\Delta t_{1}$, що прибуває туди в одну мить$t_{2}$. У точці B частка тепер має швидкість$\overrightarrow{\mathbf{v}}\left(x_{\mathrm{B}}, y_{\mathrm{B}}, z_{\mathrm{B}}\right)=\overrightarrow{\mathbf{v}}(\mathrm{B})$. Протягом наступного інтервалу$\left[t_{2}, t_{3}\right], \text { where } t_{3}=t_{2}+\Delta t$ частка 1 переміститься в точку С, яка прибуває туди миттєво$t_{3}$, де вона має швидкість$\overrightarrow{\mathbf{v}}\left(x_{\mathrm{c}}, y_{\mathrm{c}}, z_{\mathrm{c}}\right)=\overrightarrow{\mathbf{v}}(\mathrm{C})$. (Малюнок 28.2 (а)). Оскільки потік вважається стійким, на даний момент інша частка$t_{2}$, частка 2, тепер знаходиться в точці А, але вона має таку ж швидкість,$\overrightarrow{\mathbf{v}}\left(x_{\mathrm{A}}, y_{\mathrm{A}}, z_{\mathrm{A}}\right)$ як частинка 1 мала в точці A і, отже, прибуде до точки B в кінці наступного інтервалу, в той момент$t_{3}$ (рис. 28.2 (b)). Таким чином кожна частинка, яка лежить на траєкторії, яку наша перша частинка простежує в часі, буде слідувати тій же траєкторії. Ця траєкторія називається обтічною. Частинки в рідині не матимуть однакових швидкостей у точках уздовж обтіку, оскільки ми не припускали, що поле швидкості є рівномірним.