28.4: Принцип Бернуллі

Давайте знову розглянемо випадок ідеальної рідини, яка зазнає стійкий потік, і застосуємо енергетичні методи, щоб знайти рівняння стану, яке пов'язує тиск, щільність і швидкість потоку в різних точках рідини. Розглянемо випадок стійкого горизонтального потоку, як видно на вигляді зверху, показаному на малюнку 28.6. Ми представляємо цей потік обтічними лініями та проточною трубкою, пов'язаною з обтічними лініями. Розглянемо рух частинки рідини по одному обтіку, що проходить через точки А і В на малюнку 28.6. Площа поперечного перерізу проточної труби в точці А менше площі поперечного перерізу проточної труби в точці B.

Малюнок 28.6 Вид зверху стійкого горизонтального потоку: в регіонах, де відстань між струмовими лініями збільшується, швидкість руху рідини повинна зменшуватися

Згідно з рівнянням (28.3.5), частинка, розташована в точці А, має більшу швидкість, ніж частинка рідини, розташована в точці В. Тому частинка, що рухається уздовж обтічної лінії від точки А до точки Б, повинна сповільнюватися. Оскільки обтічність горизонтальна, відповідальна сила пов'язана з перепадами тиску в рідині. Таким чином, для цього стійкого горизонтального потоку в регіонах з меншою швидкістю повинен бути більший тиск, ніж у регіонах з більшою швидкістю. Тепер припустимо, що стійкий потік ідеальної рідини не є горизонтальним, а y -представляє вертикальну directi. Обтічні лінії і проточні трубки для цього стійкого потоку показані на малюнку 28.7.

Малюнок 28.7: Негоризонтальний стійкий потік

Для того щоб визначити рівняння, що стосується різниці тиску, швидкості і висоти труби, скористаємося теоремою «робота-енергія». Приймаємо за систему масу, що міститься в проточної трубці, показаної на малюнку 28.7. Зовнішні сили, що діють на нашу систему, обумовлені тиском, що діє на двох кінцях проточної трубки, і гравітаційною силою. Розглянемо обтічну лінію, що проходить через точки 1 і 2 на протилежних кінцях проточної труби. Припустимо, що проточна трубка досить вузька така, щоб швидкість рідини була рівномірною на площах поперечного перерізу трубки в точках 1 і 2. У точці 1 позначають швидкість частинки рідини по$v_{1}$, площа поперечного перерізу по$A_{1}$, тиск рідини на$P_{1}$, і висоту центру площі поперечного перерізу по$y_{1}$. У точці 2 позначити швидкість частинки рідини по$v_{2}$, площа поперечного перерізу по$A_{2}$, тиск рідини на$P_{2}$, і висоту центру площі поперечного перерізу по$y_{2}$.

Розглянемо проточну трубку в час t, як показано на малюнку 28.7. У лівому кінці потоку через часовий проміжок$d t$ частка в точці 1 проходить відстань$d l_{1}=v_{1} d t$. Тому невеликий обсяг рідини$d V_{1}=A_{1} d l_{1}=A_{1} v_{1} d t$ витісняється з правого кінця проточної трубки. Аналогічним чином, в частинці в точці 2, проходить відстань$d l_{2}=v_{2} d t$. Тому невеликий обсяг рідини$d V_{2}=A_{2} d l_{2}=A_{2} v_{2} d t$ також зміщується вправо в проточній трубці протягом часового інтервалу$d t$. Оскільки ми припускаємо, що рідина є нестисливою, за рівнянням (28.3.5) ці об'ємні елементи рівні,$d V \equiv d V_{1}=d V_{2}$.

Існує сила величини$F_{1}=P_{1} A_{1}$ в напрямку потоку, що виникає від тиску рідини на лівому кінці трубки, що діє на масовий елемент, що надходить в трубку. Потім виконана робота зі зміщенням маси елемента

$$d W_{1}=F_{1} d l_{1}=P_{1} A_{1} d l_{1}=P_{1} d V \nonumber$$

Існує також сила величини$F_{2}=P_{2} A_{2}$ в напрямку, протилежному потоку, що виникає 2 2 2 від тиску рідини на правому кінці трубки. Робота, виконана проти зміщення маси елемента, що виходить з трубки, потім

$$d W_{1}=-F_{2} d l_{2}=-P_{2} A_{2} d l_{2}=-P_{2} d V \nonumber$$

Тому зовнішня робота, виконана силою, пов'язаною з тиском рідини, є сумою виконаної роботи на кожному кінці трубки.

$$d W^{e x t}=d W_{1}+d W_{2}=\left(P_{1}-P_{2}\right) d V \nonumber$$

У часовому проміжку dt робота, виконана силою гравітації, дорівнює

$$d W^{g}=-d m g\left(y_{2}-y_{1}\right)=-\rho d V g\left(y_{2}-y_{1}\right) \nonumber$$

Оскільки ми вибрали лише масу в проточній трубці в якості нашої системи, і ми припустили, що рідина ідеальна (відсутність втрат на тертя через в'язкість), зміна потенційної енергії системи є

$$d U=-W^{g}=\rho d V g\left(y_{2}-y_{1}\right) \nonumber$$

За часом t кінетична енергія системи - це сума кінетичної енергії малого масового елемента об'єму, що$d V=A_{1} d l_{1}$ рухається зі швидкістю v1, і решти маси в проточній трубці. За часом$t+d t$ кінетична енергія системи - це сума кінетичної енергії малого масового елемента об'єму, що$d V=A_{2} d l_{2}$ рухається зі швидкістю,$v_{2}$ а решти маси в проточній трубці. Зміна кінетичної енергії системи відбувається за рахунок масових елементів на двох кінцях і тому

$$d K=\frac{1}{2} d m_{2} v_{2}^{2}-\frac{1}{2} d m_{1} v_{1}^{2}=\frac{1}{2} \rho d V\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right) \nonumber$$

Теорема робота-енергія$d W^{e x t}=d U+d K$ для системи тоді

$$\left(P_{1}-P_{2}\right) d V=\frac{1}{2} \rho d V\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right)+\rho g\left(y_{2}-y_{1}\right) d V \nonumber$$

Тепер ми ділимо рівняння (28.4.7) через обсяг$d V$ і переставляємо терміни, отримуючи

$$P_{1}+\rho g y_{1}+\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2}=P_{2}+\rho g y_{2}+\frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} \nonumber$$

Оскільки пункти 1 і 2 були довільно обрані, ми можемо скинути індекси і написати Equation (28.4.8) як

$$P+\rho g y+\frac{1}{2} \rho v^{2}=\mathrm{constant} \text{ (ideal fluid, steady flow)} \nonumber$$

Рівняння (28.4.9) відоме як рівняння Бернуллі.