28.6: ламінарний і турбулентний потік

Вступ

Під час протікання рідини різні шари рідини можуть протікати з різною швидкістю відносно один одного, один шар ковзаючи по іншому шару. Для прикладу розглянемо рідину, що протікає в довгій циліндричній трубі. При повільних швидкостях частинки рідини рухаються по лініях, паралельних стінці. Далеко від входу труби потік стійкий (повністю розвинений). Цей стійкий потік називається ламінарним потоком. Рідина біля стінки труби знаходиться в стані спокою по відношенню до труби. Це називається умовою без ковзання і експериментально утримується для всіх точок, в яких рідина контактує зі стіною. Швидкість рідини збільшується до внутрішньої частини труби, досягаючи максимуму, v max, в центрі. Профіль швидкості поперечного перерізу труби, що демонструє повністю розвинену витрату, показаний на малюнку 28.10. Цей параболічний профіль швидкості має ненульовий градієнт швидкості, який є нормальним для потоку.

Малюнок 28.10 Сталий ламінарний потік в трубі з ненульовим градієнтом швидкості

В'язкість

Завдяки циліндричної геометрії труби циліндричні шари рідини ковзають відносно один одного, в результаті чого між шарами виникають дотичні сили. Тангенціальна сила на площу називається напругою зсуву. В'язкість рідини є мірою опору цьому ковзному руху одного шару рідини по відношенню до іншого шару. Ідеальна рідина не має дотичних сил між шарами. Рідина називається ньютоніаном, якщо сили зсуву на одиницю площі пропорційні градієнту швидкості. Для ньютонівської рідини, що зазнає ламінарного потоку в циліндричній трубі, напруга зсуву$\sigma_{S}$, задається

$$\sigma_{s}=\eta \frac{d v}{d r} \nonumber$$

де$\eta$ - константа пропорційності і називається абсолютною в'язкістю, r - радіальна відстань, що утворює центральну вісь труби, і$d v / d r$ є градієнтом швидкості, нормальним для потоку.

Одиницями СІ по в'язкості є$\text { poise }=10^{-1} \mathrm{Pa} \cdot \mathrm{s}$. Деякі типові значення в'язкості для рідин при заданих температурах наведені в таблиці 1.

Таблиця 1: Коефіцієнти абсолютної в'язкості

\ [\ begin {масив} {||l|l|}
\ hline\ текст {рідина} &\ текст {Коефіцієнт абсолютної в'язкості}\ eta
\\ hline\ текст {масло} & 1-10\ текст {poise}\\ hline
\ текст {вода на} 0^ {\ circ} & 1.79\ times 10^ {-2}\ текст {poise}\\ текст {poise}\\ hline {
Вода в} 100^ {\ коло} & 0,28\ раз 10^ {-2}\ текст {врівноваженість}\
\ лінія\ текст {повітря в} 20^ {\ circ} & 1,81\ раз 10^ {-4}\ текст {poise}\\ hline

\ кінець {масив}\ nonnumber\]

При певній швидкості потоку цей опір раптово збільшується, і частинки рідини більше не слідують прямим лініям, але, здається, рухаються випадковим чином, хоча середній рух все ще вздовж осі труби. Цей тип течії називається турбулентним потоком. Осборн Рейнольдс першим експериментально виміряв ці два типи потоку. Він зміг охарактеризувати перехід між цими двома типами потоку параметром, званим числом Рейнольдса, який залежить від середньої швидкості руху рідини в трубі, діаметра і в'язкості рідини. Точка переходу між потоками відповідає величині числа Рейнольдса, яке пов'язане з раптовим збільшенням тертя між шарами рідини. Багато що після початкових спостережень Рейнольдса було експериментально відзначено, що невелике порушення в ламінарному потоці може швидко рости і виробляти турбулентний потік.

Приклад 28.3 Потік Куетта

Розглянемо потік ньютонівської рідини між двома дуже довгими паралельними пластинами, кожна пластина ширини$w$$s$, довжини і розділених на відстань$d$. Верхня плита рухається з постійною$v_{0}$ відносною швидкістю по відношенню до нижньої пластини, (рис. 28.11).

Малюнок 28.11 Ламінарний потік між двома пластинами, що рухаються з відносною швидкістю$v_{0}$

Вибирайте опорну рамку, в якій нижня пластина, розташована на площині в$x = 0$ стані спокою. Вибирайте об'ємний елемент довжини$l$ і площі поперечного перерізу$A$, при цьому одна сторона стикається з пластиною в стані спокою, а інша сторона розташована на відстані$x$ від нижньої пластини. Градієнт швидкості в напрямку, нормальному для потоку, дорівнює$d v / d x$. Зсувна сила на об'ємному елементі за рахунок рідини над елементом задається

$$F(x)=\eta A \frac{d v}{d x} \nonumber$$

Зсувна сила врівноважується силою$F_{0}$ зсуву нижньої пластини на елементі, таким, що$F(x)=F_{0}$. Звідси

$$F_{0}=\eta A \frac{d v}{d x} \nonumber$$

Швидкість руху рідини у нижньої пластини дорівнює нулю. Інтегральна версія цього диференціального рівняння тоді

$$\frac{1}{\eta A} \int_{x^{\prime}=0}^{x^{\prime}=x} F_{0} d x^{\prime}=\int_{v^{\prime}=0}^{v^{\prime}=v(x)} d v^{\prime} \nonumber$$

Інтеграція прибутковості

$$\frac{F_{0}}{\eta A} x=v(x) \nonumber$$

Швидкість рідини у верхній пластині дорівнює$v_{0}$, тому постійне напруження зсуву задається

$$\frac{F_{0}}{A}=\frac{\eta v_{0}}{d} \nonumber$$

отже, профіль швидкості

$$v(x)=\frac{v_{0}}{d} x \nonumber$$

Цей тип потоку відомий як потік Куетта.

Приклад 28.4 Ламінарний потік в циліндричній трубі.

Розглянемо довгу циліндричну трубу радіусом,$r_{0}$ в якій рідина піддається ламінарному потоку з кожною частинкою рідини рухається по лінії, паралельної осі труби. Вибирають циліндричний об'ємний елемент довжини$dl$ і радіуса$r$, відцентрований уздовж осі труби, як показано на малюнку 28.12. Існує падіння тиску$d p<0$ по довжині об'ємного елемента, що призводить до зусиль на кожну торцеву кришку. Позначте силу на лівій торцевій заглушці$F_{L}=p / A$ і силу на правій торцевій заглушці$F_{R}=(p+d p) / A$ на праву торцеву заглушку, де$A=\pi r^{2}$ - площа поперечного перерізу торцевої заглушки.

Малюнок 28.12: Об'ємний елемент для стійкого ламінарного потоку в трубі

Сили на об'ємний елемент дорівнюють нулю і обумовлені різницею тисків і напругою зсуву; отже

$$F_{L}-F_{R}+\sigma_{s} 2 \pi r d l=0 \nonumber$$

Використовуючи нашу ньютонівську модель для рідини (Рівняння (28.4.30) та виражаючи силу через тиск, Рівняння (28.4.37) стає

$$\frac{d p}{2 \eta d l} r=\frac{d v}{d r} \nonumber$$

Рівняння (28.4.38) може бути інтегровано методом поділу змінних з граничними умовами$v(r=0)=v_{\max } \text { and } v\left(r=r_{0}\right)=0$. (Нагадаємо, що для ламінарного потоку ньютонівської рідини швидкість рідини завжди дорівнює нулю на поверхні твердого тіла.)

$$\frac{d p}{2 \eta d l} \int_{r^{\prime}=r}^{r^{\prime}=r_{0}} r^{\prime} d r^{\prime}=\int_{v^{\prime}=v(r)}^{v^{\prime}\left(r=r_{0}\right)=0} d v^{\prime} \nonumber$$

Тоді інтеграція дає

$$v(r)=-\frac{d p}{4 \eta d l}\left(r_{0}^{2}-r^{2}\right) \nonumber$$

Нагадаємо, що тиск падає$d p<0$. Максимальна швидкість в центрі

$$v_{\max }=v(r=0)=-\frac{d p}{4 \eta d l} r_{0}^{2} \nonumber$$

Для визначення швидкості потоку по трубі вибирають кільце радіусу$\boldsymbol{r}$ і товщини$\boldsymbol{r}$, орієнтоване нормально на потік. Потік через кільце тоді

$$v(r) 2 \pi r d r=-\frac{d p \pi}{2 \eta d l}\left(r_{0}^{2}-r^{2}\right) r d r \nonumber$$

Інтеграція по площі поперечного перерізу труби виходить

\ [\ почати {масив} {л}
Q=\ int_ {r=0} ^ {r=r_ {0}} v (r) 2\ пі r\\
Q=-\ frac {d p\ pi} {2\ ета д л}\ int_ {r=0} ^ {r=r_ {0}}\ лівий (r_ {0} ^ {2} -r {2}\ праворуч) r d r=-\ ліворуч. \ розрив {д р\ пі} {2\ ета д л}\ лівий (r_ {0} ^ {2} r^ {2}/2-r^ {4}/4\ праворуч)\ право|_ {r=0} ^ {r=r_ {0}} =\ frac {\ pi r_ {0} ^ {4}} {8\ eta d l} |d p|
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Середня швидкість тоді

$$v_{\text {ave}}=\frac{Q}{\pi r_{0}^{2}}=-\frac{d p}{8 \eta d l} r_{0}^{2} \nonumber$$

Зверніть увагу, що різниця тиску та об'ємна витрата пов'язані

$$|d p|=\frac{8 \eta d l}{\pi r_{0}^{4}} Q \nonumber$$

яка дорівнює половині максимальної швидкості в центрі труби. Ми можемо переписати рівняння (28.4.45) з точки зору середньої швидкості як

$$|d p|=\frac{8 \eta d l}{\pi r_{0}^{4}} Q=\frac{64 \eta d l}{v_{a v e} 2 d^{2}} v_{a v e}^{2} \nonumber$$

$d=2 r_{0}$де - діаметр труби. Для труби довжини$l$ і різниці тиску втрати$\Delta p$ напору в трубі визначаються як співвідношення

$$h_{f}=\frac{|\Delta p|}{\rho g}=\frac{64}{\left(\rho v_{\text {ave}} d / \eta\right)} \frac{v_{\text {me}}^{2}}{2 g} \frac{l}{d} \nonumber$$

де ми розширили рівняння (28.4.46) на всю довжину труби. Втрата напору також пишеться в терміні коефіцієнта втрат$k$ відповідно до

$$h_{f}=k \frac{v_{\text {ave}}^{2}}{2 g} \nonumber$$

Для довгої прямої циліндричної труби коефіцієнт втрат можна записати через множник,$f$ кратний еквівалентну довжину труби

$$k=f \frac{l}{d} \nonumber$$

Коефіцієнт$f$ можна визначити шляхом порівняння рівнянь (28.4.47) - (28.4.49), що дають

$$f=\frac{64}{\left(\rho v_{\text {ave }} d / \eta\right)}=\frac{64}{\operatorname{Re}} \nonumber$$

$Re$де число Рейнольдса і задається

$$\operatorname{Re}=\rho v_{\text {ave }} d / \eta \nonumber$$