25.5: Орбіти двох тіл

Орбіта єдиного тіла може бути кругової, еліптичної, параболічної або гіперболічної, в залежності від значень двох констант руху, моменту моменту моменту і енергії. Після того, як ми отримаємо явне рішення (у цій дискусії$r(\theta)$) для єдиного тіла, ми можемо знайти фактичні орбіти двох тіл.

Вибираємо систему координат так, як ми це робили для зменшення задачі двох тіл (рис. 25.7).

Малюнок 25.7 Система координат центру мас

Центр маси системи задається

$$\overrightarrow{\mathbf{R}}_{\mathrm{cm}}=\frac{m_{1} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}+m_{2} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}}{m_{1}+m_{2}} \nonumber$$

$\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}^{\prime}$Дозволяти вектор від центру маси до тіла 1 і$\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}^{\prime}$ бути вектором від центру маси до тіла 2. Потім, за геометрією на малюнку 25.6,

$$\overrightarrow{\mathbf{r}}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}^{\prime}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}^{\prime} \nonumber$$

і, отже,

$$\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}^{\prime}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{R}}_{\mathrm{cm}}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\frac{m_{1} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}+m_{2} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{2}\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right)}{m_{1}+m_{2}}=\frac{\mu}{m_{1}} \overrightarrow{\mathbf{r}} \nonumber$$

Подібний розрахунок показує, що

$$\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}^{\prime}=-\frac{\mu}{m_{2}} \overrightarrow{\mathbf{r}} \nonumber$$

Таким чином, кожне тіло зазнає руху навколо центру маси таким же чином, як єдине тіло рухається навколо центральної точки, заданої рівнянням (25.3.12). Різниця лише в тому, що відстань від будь-якого тіла до центру маси скорочується в рази$\mu / m_{i}$. Коли орбіта єдиного тіла є еліпсом, то орбіти двох тіл також є еліпсами, як показано на малюнку 25.8. Коли одна маса набагато менше іншої, наприклад m, то зменшена маса приблизно менша$m_{1}<<m_{2}$ маса,

$$\mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \cong \frac{m_{1} m_{2}}{m_{2}}=m_{1} \nonumber$$

Малюнок 25.8 Еліптичний рух тіл, що взаємодіють гравітаційно

Центр маси розташовується приблизно в положенні більшої маси, тіла 2 маси$m_{2}$. При цьому тіло 1 рухається відповідно до

$$\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}^{\prime}=\frac{\mu}{m_{1}} \overrightarrow{\mathbf{r}} \cong \overrightarrow{\mathbf{r}} \nonumber$$

а корпус 2 приблизно нерухомий,

$$\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}^{\prime}=-\frac{\mu}{m_{2}} \overrightarrow{\mathbf{r}}-\frac{m_{1}}{m_{2}} \overrightarrow{\mathbf{r}} \cong \overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber$$