25.1: Вступ - проблема Кеплера

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75348

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

... і якщо ви хочете точний момент в часі, то задуманий подумки 8 березня цього року тисяча шістсот вісімнадцять, але підпорядкований до обчислення невдалим способом, а тому відкинутий як помилковий, і нарешті повернувшись 15 травня і прийнявши нову лінію нападу, штурмував темряву мого розуму. Настільки сильною була підтримка від поєднання моєї праці сімнадцяти років на спостереженнях Браге та теперішньому дослідженні, яке змовилося разом, що спочатку я вірив, що я мрію, і припускаючи свій висновок серед моїх основних приміщень. Але абсолютно точно і точно, що «пропорція між періодичними часами будь-яких двох планет - це саме сесквілітарна пропорція їх середніх відстаней...»

~ Йоганнес Кеплер

Йоганнес Кеплер вперше сформулював закони, що описують рух планет,

I. кожна планета рухається в еліпсі з сонцем в одному фокусі.

II. Вектор радіуса від Сонця до планети змітає рівні площі за однаковий час.

III. Період обертання T планети навколо Сонця пов'язаний з напіввеликою віссю a еліпса на T 2 = k a 3, де k однаковий для всіх планет.

Третій закон був опублікований в 1619 році, і зусилля по виявленню та вирішенню рівняння руху планет породили двісті років математичного та наукового відкриття. На його честь ця проблема була названа проблемою Кеплера.

Коли тіл більше двох, проблему стає неможливим вирішити в точності. Найважливіша «проблема трьох тіл» в 17-18 століттях полягала в знаходженні руху Місяця, обумовленого гравітаційною взаємодією як з сонцем, так і з землею. Ньютон зрозумів, що якби точно положення Місяця було відомо, довготу будь-якого спостерігача на землі можна визначити шляхом вимірювання положення Місяця щодо зірок.

У вісімнадцятому столітті Леонхард Ейлер та інші математики багато років намагалися вирішити проблему трьох тіл, і вони поставили більш глибоке питання. Чи робить невеликий внесок гравітаційних взаємодій всіх планет планетну систему нестабільною протягом тривалих періодів часу? Наприкінці 18 століття П'єр Симон Лаплас та інші знайшли серійне рішення цього питання стабільності, але було невідомо, чи сходилося рішення серії через тривалий проміжок часу. Анрі Пуанкаре довів, що серіал фактично розходився. Пуанкаре продовжував винаходити нові математичні методи, які створили сучасні поля диференціальної геометрії та топології, щоб відповісти на питання стійкості за допомогою геометричних аргументів, а не аналітичних методів. Пуанкаре та іншим вдалося показати, що проблема трьох тіл справді стабільна завдяки існуванню періодичних рішень. Так само, як за часів Ньютона і Лейбніца і винаходу числення, невирішені завдання в небесній механіці стали експериментальною лабораторією для відкриття нової математики.