24.2: Фізичний маятник

Фізичний маятник складається з твердого тіла, яке піддається обертанню нерухомої осі навколо нерухомої точки$S$ (рис. 24.2).

Малюнок 24.2 Фізичний маятник

Гравітаційна сила діє в центрі мас фізичного маятника. Позначимо відстань центру мас до точки повороту$S$ по$l_{\mathrm{cm}}$. Аналіз крутного моменту майже ідентичний простому маятнику. Крутний момент навколо точки повороту$S$ задається

$$\vec{\tau}_{S}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, \mathrm{cm}} \times m \overrightarrow{\mathrm{g}}=l_{\mathrm{cm}} \hat{\mathbf{r}} \times m g(\cos \theta \hat{\mathbf{r}}-\sin \theta \hat{\boldsymbol{\theta}})=-l_{\mathrm{cm}} m g \sin \theta \hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

Дотримуючись тих самих кроків, що призвели від Рівняння (24.1.1) до Рівняння (24.1.4), рівняння обертання для фізичного маятника є

$$-m g l_{\mathrm{cm}} \sin \theta=I_{S} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \nonumber$$

де$I_{s}$ момент інерції про точку повороту$S$. Як і у випадку з простим маятником, для малих кутів$\sin \theta \approx \theta$, Рівняння (24.2.2) зводиться до простого рівняння гармонічного осцилятора

$$\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \simeq-\frac{m g l_{\mathrm{cm}}}{I_{S}} \theta \nonumber$$

Рівняння для кута$\theta(t)$ задається

$$\theta(t)=A \cos \left(\omega_{0} t\right)+B \sin \left(\omega_{0} t\right) \nonumber$$

де кутова частота задається

$$\omega_{0} \simeq \sqrt{\frac{m g l_{\mathrm{cm}}}{I_{S}}} \quad(\text { physical pendulum }) \nonumber$$

і період

$$T=\frac{2 \pi}{\omega_{0}} \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{I_{S}}{m g l_{\mathrm{cm}}}} \quad(\text { physical pendulum }) \nonumber$$

Підставити теорему паралельної осі$I_{S}=m l_{\mathrm{cm}}^{2}+I_{\mathrm{cm}}$ в Рівняння (24.2.6) з результатом, що

$$T \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{l_{\mathrm{cm}}}{g}+\frac{I_{\mathrm{cm}}}{m g l_{\mathrm{cm}}}} \quad(\text { physical pendulum }) \nonumber$$

Таким чином, якщо об'єкт «малий» в тому сенсі$I_{\mathrm{cm}}<<m l_{\mathrm{c}}^{2}$, що, вирази для фізичного маятника зводяться до тих, що для простого маятника. z -складова кутової швидкості задається

$$\omega_{z}(t)=\frac{d \theta}{d t}(t)=-\omega_{0} A \sin \left(\omega_{0} t\right)+\omega_{0} B \cos \left(\omega_{0} t\right) \nonumber$$

Коефіцієнти A і B можуть бути визначені з початкових умов, встановивши t = 0 в Рівняннях (24.2.4) і (24.2.8), в результаті чого утворюються умови, які

\ [\ почати {масив} {l}
A=\ тета (t=0)\ equiv\ theta_ {0}\\
B=\ frac {\ омега_ {z} (t=0)} {\ омега_ {0}}\ equiv\ frac {\ омега_ {z, 0}} {\ omega_ {0}}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Тому рівняння для кута$\theta(t) \text { and } \omega_{z}(t)=\frac{d \theta}{d t}(t)$ задаються

\ [\ почати {масив} {c}
\ тета (t) =\ theta_ {0}\ cos\ ліворуч (\ омега_ {0} т\ праворуч) +\ frac {\ омега_ {z, 0}} {\ omega_ {0}}\ sin\ ліворуч (\ омега_ {0} т\ праворуч)
\\ омега_ {z} (t) =\ frag c {d\ тета} {d t} (t) =-\ омега_ {0}\ тета_ {0}\ sin\ ліворуч (\ омега_ {0} т\ вправо) +\ омега_ {z, 0}\ cos\ left (\ omega_ {0} t\ праворуч)
\ end {масив}\ nonumber\]