24.1: Вступ до фізичних маятників

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 24: Фізичні маятники
- 24.2: Фізичний маятник

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ми вже використовували Другий закон Ньютона або Збереження енергії для аналізу таких систем, як система пружинних об'єктів, які коливаються. Тепер ми будемо використовувати крутний момент та рівняння обертання руху для вивчення коливальних систем, таких як маятники та крутильні пружини.

Простий маятник: підхід крутного моменту

Нагадаємо простий маятник з глави 23.3.1. Система координат і силова схема для простого маятника показані на малюнку 24.1.

Рисунок 24.1 (a) Система координат та (b) діаграма крутного моменту для простого маятника

Крутний момент близько точки повороту Р задається

$\overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{P}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P, m} \times m \overrightarrow{\mathbf{g}}=l \hat{\mathbf{r}} \times m g(\cos \theta \hat{\mathbf{r}}-\sin \theta \hat{\boldsymbol{\theta}})=-\operatorname{lm} g \sin \theta \hat{\mathbf{k}} \nonumber$

z -складова крутного моменту про точку Р

$\left(\tau_{P}\right)_{z}=-m g l \sin \theta \nonumber$

Коли $\theta>0, \quad\left(\tau_{P}\right)_{z}<0$ і крутний момент близько Р спрямований в негативному $\hat{\mathbf{k}}$ -напрямку (в площину рис. 24.1б), коли $\theta<0, \quad\left(\tau_{P}\right)_{z}>0$ і крутний момент близько Р спрямований в позитивному $\hat{\mathbf{k}}$ -напрямку (з площини рис. 24.1б). Момент інерції точкової маси про точку опори Р дорівнює $I_{P}=m l^{2}$ . Потім обертальне рівняння руху

\ [\ почати {масив} {л}
\ лівий (\ tau_ {P}\ праворуч) _ {z} =I_ {P}\ alpha_ {z}\ equiv I_ {P}\ frac {d^ {2}\ тета} {d t^ {2}}\
-м г л\ sin\ theta = м l^ {2}\ frac {d^ {2}\ тета} {d t^ {2}}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Таким чином, ми маємо

$\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=-\frac{g}{l} \sin \theta \nonumber$

погоджуючись з рівнянням 23. 3.14. Коли кут коливання невеликий, ми можемо використовувати наближення малого кута

$\sin \theta \cong \theta \nonumber$

і Рівняння (24.1.4) зводиться до простого гармонічного рівняння осцилятора

$\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \cong-\frac{g}{l} \theta \nonumber$

Розв'язки цього рівняння ми вже вивчали в главі 23.3. Порядок визначення періоду, коли наближення малого кута не витримується, наведено в додатку 24А.