24.3: Опрацьовані приклади

Приклад 24.1 Коливальний стрижень

Фізичний маятник складається з однорідного стрижня довжиною d і масою m, шарнірного на одному кінці. Маятник спочатку зміщується в одну сторону на невеликий кут\(\theta_{0}\) і звільняється від спокою с\(\theta_{0}<<1\). Знайдіть період маятника. Визначте період маятника за допомогою (а) методу крутного моменту і (б) енергетичного методу.

Малюнок 24.3 Коливальний стрижень

(а) Метод крутного моменту: з нашим вибором системи координат обертання кутове прискорення задається

\[\vec{\alpha}=\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Схема сили на маятнику показана на малюнку 24.4. Зокрема, існує невідома сила повороту і сила тяжіння діє в центрі мас стрижня.

Малюнок 24.4 Діаграма сили вільного тіла на стрижні

Крутний момент близько точки повороту Р задається

\[\overrightarrow{\mathfrak{\tau}}_{P}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P, \mathrm{cm}} \times m \overrightarrow{\mathrm{g}} \nonumber \]

Стрижень рівномірний, тому центр маси - це відстань d/2 від точки повороту. Гравітаційна сила діє в центрі мас, тому крутний момент навколо точки повороту Р задається

\[\overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{P}=(d / 2) \hat{\mathbf{r}} \times m g(-\sin \theta \hat{\boldsymbol{\theta}}+\cos \hat{\mathbf{r}})=-(d / 2) m g \sin \theta \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Обертальне рівняння руху близько Р

\[\overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{P}=I_{P} \overrightarrow{\boldsymbol{\alpha}} \nonumber \]

Заміна рівнянь (24.3.3) та (24.3.1) на рівняння (24.3.4) дає

\[-(d / 2) m g \sin \theta \hat{\mathbf{k}}=I_{P} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Коли кут коливання невеликий, ми можемо використовувати малий кут наближення\(\sin \theta \cong \theta\), тоді Рівняння (24.3.5) стає

\[\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+\frac{(d / 2) m g}{I_{P}} \theta \simeq 0 \nonumber \]

який є простим рівнянням гармонічного осцилятора. Кутова частота малих коливань для маятника дорівнює

\[\omega_{0} \simeq \sqrt{\frac{(d / 2) m g}{I_{P}}} \nonumber \]

Момент інерції стрижня навколо кінцевої точки Р,\(I_{P}=(1 / 3) m d^{2}\) отже, кутова частота дорівнює

\[\omega_{0} \simeq \sqrt{\frac{(d / 2) m g}{(1 / 3) m d^{2}}}=\sqrt{\frac{(3 / 2) g}{d}} \nonumber \]

з періодом

\[T=\frac{2 \pi}{\omega_{0}} \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{2}{3} \frac{d}{g}} \nonumber \]

(b) Енергетичний метод: Візьміть нульову точку гравітаційної потенційної енергії, щоб бути точкою, де центр маси маятника знаходиться в найнижчій точці (рис. 24.5), тобто\(\theta=0\)

Малюнок 24.5 Діаграма енергії для стрижня

Коли маятник знаходиться під кутом θ потенційна енергія

\[U=m g \frac{d}{2}(1-\cos \theta) \nonumber \]

Кінетична енергія обертання навколо точки повороту дорівнює

\[K^{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2} I_{p} \omega_{z}^{2} \nonumber \]

Механічна енергія тоді

\[E=U+K^{\mathrm{rot}}=m g \frac{d}{2}(1-\cos \theta)+\frac{1}{2} I_{p} \omega_{z}^{2} \nonumber \]

с\(I_{P}=(1 / 3) m d^{2}\). Не існує неконсервативних сил, що діють (за припущенням), тому механічна енергія постійна, а тому тимчасова похідна енергії дорівнює нулю,

\[0=\frac{d E}{d t}=m g \frac{d}{2} \sin \theta \frac{d \theta}{d t}+I_{p} \omega_{z} \frac{d \omega_{z}}{d t} \nonumber \]

\(\text { Recall that } \omega_{z}=d \theta / d t \text { and } \alpha_{z}=d \omega_{z} / d t=d^{2} \theta / d t^{2}\), Таким чином, Рівняння (24.3.13) стає

\[0=\omega_{z}\left(m g \frac{d}{2} \sin \theta+I_{p} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}\right) \nonumber \]

Є два рішення\(\omega_{z}=0\), в цьому випадку стрижень залишається в нижній частині гойдалки,

\[0=m g \frac{d}{2} \sin \theta+I_{p} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \nonumber \]

Використовуючи наближення малого кута, отримано просте рівняння гармонічного осцилятора (Equation (24.3.6))

\[\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+\frac{m g(d / 2)}{I_{p}} \theta \simeq 0 \nonumber \]

Приклад 24.3 Крутильний осцилятор

Диск з моментом інерції навколо центру мас\(I_{\mathrm{cm}}\) обертається в горизонтальній площині. Підвішується тонким безмасовим стрижнем. Якщо диск повернути від положення рівноваги на кут θ, стрижень надає відновлювальний крутний момент навколо центру диска з величиною, заданою\(\tau_{\mathrm{cm}}=b \theta\) (рис. 24.6), де b - позитивна константа. При t = 0 диск звільняється від спокою при кутовому зміщенні\(\theta_{0}\). Знайдіть подальшу часову залежність кутового зміщення\(\theta(t)\).

Малюнок 24.6 Приклад 24.3 із перебільшеним кутом θ

Рішення: Виберіть систему координат, таку, яка\(\hat{\mathbf{k}}\) спрямована вгору (рис. 24.6), тоді кутове прискорення задається

\[\overrightarrow{\boldsymbol{\alpha}}=\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Крутний момент про центр мас задається в постановці задачі як відновлює крутний момент, тому

\[\vec{\tau}_{\mathrm{cm}}=-b \theta \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

z -складова обертального рівняння руху дорівнює

\[-b \theta=I_{\mathrm{cm}} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \nonumber \]

Це просте рівняння гармонічного осцилятора з розв'язком

\[\theta(t)=A \cos \left(\omega_{0} t\right)+B \sin \left(\omega_{0} t\right) \nonumber \]

де кутова частота коливань задається

\[\omega_{0}=\sqrt{b / I_{\mathrm{cm}}} \nonumber \]

z -складова кутової швидкості задається

\[\omega_{z}(t)=\frac{d \theta}{d t}(t)=-\omega_{0} A \sin \left(\omega_{0} t\right)+\omega_{0} B \cos \left(\omega_{0} t\right) \nonumber \]

Початкові умови при\(t=0, \text { are } \theta(t=0)=A=\theta_{0}, \text { and }(d \theta / d t)(t=0)=\omega_{0} B=0\). Тому,

\[\theta(t)=\theta_{0} \cos (\sqrt{b / I_{\mathrm{cm}}} t) \nonumber \]

Приклад 24.4 З'єднання фізичного маятника

З'єднаний фізичний маятник складається з диска радіусом R і маси,\(m_{d}\) закріпленого на кінці стрижня маси\(m_{r}\) і довжини\(l\) (рис. 24.7а). (а) Знайти період маятника. (б) Як змінюється період, якщо диск кріпиться до стрижня підшипником без тертя, щоб він був абсолютно вільно крутитися?

Малюнок 24.7 (a) Приклад 24.4 (b) Діаграма сили вільного тіла

Рішення: Ми починаємо з вибору координат. \(\hat{\mathbf{k}}\)Дозволяти бути нормальним до площини руху маятника, що вказує на площину малюнка 24.7b. Виберіть змінну кута θ таким чином, щоб обертання проти годинникової стрілки відповідало додатному z -компоненту кутової швидкості. Таким чином, крутний момент, який вказує на сторінку, має негативний z -компонент, а крутний момент, який вказує на сторінку, має позитивний z -компонент. Діаграма сили вільного тіла на маятнику також показана на малюнку 24.7b. Зокрема, існує невідома сила повороту, гравітаційна сила, що діє в центрі мас стрижня, і гравітаційна сила, що діє в центрі мас диска. Крутний момент щодо точки повороту задається

\[\overrightarrow{\mathbf{\tau}}_{P}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P, \mathrm{cm}} \times m_{r} \overrightarrow{\mathbf{g}}+\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P, \mathrm{disk}} \times m_{d} \overrightarrow{\mathbf{g}} \nonumber \]

Нагадаємо, що вектор\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P, \mathrm{cm}}\) вказує від точки повороту до центру маси стрижня на відстань\(l / 2\) від шкворня. Вектор r вказує від точки повороту до центру P, маса диска на відстані l від стрижня. Діаграми крутного моменту для сили тяжіння на стрижні і диску наведені на малюнку 24.8. Обидва крутних моменту навколо шкворня знаходяться в негативному\(\hat{\mathbf{k}}\) -напрямку (в площину рисунка 24.8) і, отже, мають негативні z - складові,

\[\overrightarrow{\mathbf{\tau}}_{P}=-\left(m_{r}(l / 2)+m_{d} l\right) g \sin \theta \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Малюнок 24.8 Діаграма крутного моменту для (а) центру маси, (б) диска

Для того щоб визначити момент інерції жорсткого складеного маятника будемо обробляти окремо кожен шматок, рівномірний стрижень довжини d і диск, прикріплений на кінці стрижня. Момент інерції навколо точки повороту Р - сума моментів інерції двох частин,

\[ I_{P}=I_{P, \text { rod }}+I_{P, \text { disc }} \nonumber \]

Розрахували момент інерції стрижня близько кінцевої точки Р (Глава 16.3.3), в результаті чого

\[I_{P, \mathrm{rod}}=\frac{1}{3} m_{r} l^{2} \nonumber \]

Ми можемо використовувати теорему паралельної осі для обчислення моменту інерції диска про точку повороту P,

\[I_{P, \text { disc }}=I_{\mathrm{cm}, \text { disc }}+m_{d} l^{2} \nonumber \]

Ми розрахували момент інерції диска близько центру мас (приклад 16.3) і визначили, що

\[I_{\mathrm{cm}, \mathrm{disc}}=\frac{1}{2} m_{d} R^{2} \nonumber \]

Момент інерції складеної системи тоді

\[I_{P}=\frac{1}{3} m_{r} l^{2}+m_{d} l^{2}+\frac{1}{2} m_{d} R^{2} \nonumber \]

Тому обертальне рівняння руху стає

\[-\left((1 / 2) m_{r}+m_{d}\right) g l \sin \theta \hat{\mathbf{k}}=\left(\left((1 / 3) m_{r}+m_{d}\right) l^{2}+(1 / 2) m_{d} R^{2}\right) \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Коли кут коливання невеликий, ми можемо використовувати малий кут наближення\(\sin \theta \simeq \theta\). Тоді Рівняння (24.3.31) стає простим гармонічним рівнянням осцилятора,

\[\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \simeq-\frac{\left((1 / 2) m_{r}+m_{d}\right) g l}{\left((1 / 3) m_{r}+m_{d}\right) l^{2}+(1 / 2) m_{d} R^{2}} \theta \nonumber \]

Рівняння (24.3.32) описує простий гармонічний рух з кутовою частотою коливань при закріпленні диска на місці, заданому

\[\omega_{\text {fixed }}=\sqrt{\frac{\left((1 / 2) m_{r}+m_{d}\right) g l}{\left((1 / 3) m_{r}+m_{d}\right) l^{2}+(1 / 2) m_{d} R^{2}}} \nonumber \]

Період - це

\[T_{\text {fixed }}=\frac{2 \pi}{\omega_{\text {fired }}} \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{\left((1 / 3) m_{r}+m_{d}\right) l^{2}+(1 / 2) m_{d} R^{2}}{\left((1 / 2) m_{r}+m_{d}\right) g l}} \nonumber \]

(b) Якщо диск не закріплений на штоку, то він не буде обертатися навколо свого центру маси, коли маятник коливається. Тому момент інерції диска про його центр мас не сприяє моменту інерції фізичного маятника про точку повороту. Зверніть увагу, що маятник вже не є жорстким тілом. Загальний момент інерції обумовлений лише стрижнем і диском, обробленим як точковий об'єкт,

\[I_{P}=\frac{1}{3} m_{r} l^{2}+m_{d} l^{2} \nonumber \]

Тому період коливань задається

\[T_{\text {fire }}=\frac{2 \pi}{\omega_{\text {free }}} \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{\left((1 / 3) m_{r}+m_{d}\right) l^{2}}{\left((1 / 2) m_{r}+m_{d}\right) g l}} \nonumber \]

Порівнюючи рівняння (24.3.36) з рівнянням (24.3.34), ми бачимо, що період менше, коли диск вільний і не фіксований. З енергетичної точки зору ми можемо стверджувати, що коли диск вільний, він не обертається навколо центру маси. Тому більше гравітаційної потенційної енергії йде в центр маси поступальної кінетичної енергії, ніж коли диск вільний. Отже, центр маси рухається швидше, коли диск вільний, тому він завершує один період коротший час.