18.3: Узагальнений закон важеля

Ми можемо продовжити Закон важеля на випадок, коли дві$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1} \text { and } \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2}$ зовнішні сили діють на поворотну балку під$\theta_{1} \text { and } \theta_{2}$ кутами щодо горизонталі, як показано на малюнку 18.4. Протягом усього цього обговорення кути будуть обмежені діапазоном$\left[0 \leq \theta_{1}, \theta_{2} \leq \pi\right]$. Знову нехтуємо товщиною балки і візьмемо точку повороту, щоб бути центром маси.

Малюнок 18.4 Сили, що діють під кутами до поворотної балки.

Сили$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1} \text { and } \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2}$ можуть бути розкладені на окремі векторні складові відповідно$\left(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1, \|}, \overrightarrow{\mathbf{F}}_{1, \perp}\right) \text { and }\left(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2, \|}, \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2, \perp}\right)$, де$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1, \|} \text { and } \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2, \|}$ розташовані горизонтальні векторні проекції двох сил щодо напрямку, утвореного довжиною променя,$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1, \perp}$ і$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2, \perp}$ є перпендикулярними векторними проекціями. відповідно до балки (рис. 18.5), з

$$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1}=\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1, \|}+\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1, \perp} \nonumber$$

$$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2}=\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2, \|}+\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2, \perp} \nonumber$$

Малюнок 18.5 Векторне розкладання сил.

Горизонтальними складовими сил є

$$F_{1, \|}=F_{1} \cos \theta_{1} \nonumber$$

$$F_{2, \|}=-F_{2} \cos \theta_{2} \nonumber$$

де наш вибір позитивного горизонтального напрямку знаходиться праворуч. Жодна горизонтальна складова сили не сприяє можливому обертальному руху балки. Сума цих горизонтальних сил повинна дорівнювати нулю,

$$F_{1} \cos \theta_{1}-F_{2} \cos \theta_{2}=0 \nonumber$$

Перпендикулярні складові сили

$$F_{1, \perp}=F_{1} \sin \theta_{1} \nonumber$$

$$F_{2, \perp}=F_{2} \sin \theta_{2} \nonumber$$

де позитивний вертикальний напрямок - вгору. Перпендикулярні складові сил також повинні дорівнювати нулю,

$$F_{\text {pivot }}-m_{b} g+F_{1} \sin \theta_{1}+F_{2} \sin \theta_{2}=0 \nonumber$$

У законі$F_{1, \perp} \text { and } F_{2, \perp}$ важеля беруть участь лише вертикальні складові зовнішніх сил (але горизонтальні складові повинні врівноважувати, як в Рівнянні (18.3.5), для рівноваги). Тоді Закон важеля можна продовжити наступним чином.

Узагальнений закон важеля Промінь довжиною l врівноважується на точці повороту, яка розміщена безпосередньо під центром маси балки. Припустимо, сила$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1}$ діє на балку$d_{1}$ на відстань праворуч від точки повороту. Друга сила$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2}$ діє на балку$d_{2}$ на відстань зліва від точки повороту. Балка залишиться в статичній рівновазі, якщо будуть виконані наступні дві умови:

1) Сумарна сила на балці дорівнює нулю,

2) Твір величини перпендикулярної складової сили з відстанню до шарніра однаково для кожної сили,

$$d_{1}\left|F_{1, \perp}\right|=d_{2}\left|F_{2, \perp}\right| \nonumber$$

Узагальнений закон важеля може бути викладений в еквівалентній формі,

$$d_{1} F_{1} \sin \theta_{1}=d_{2} F_{2} \sin \theta_{2} \nonumber$$

Тепер ми покажемо, що узагальнений закон важеля можна переосмислити як твердження про те, що векторна сума крутних моментів навколо точки повороту$S$ дорівнює нулю, коли на наш промінь$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1} \text { and } \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2}$ діють лише дві сили, як показано на малюнку 18.6.

Малюнок 18.6 Діаграма сили і крутного моменту.

Давайте виберемо позитивний z -напрямок, щоб вказати з площини сторінки, тоді крутний момент, що вказує на сторінку, матиме позитивний z -компонент крутного моменту (обертання проти годинникової стрілки позитивні). З нашого визначення крутного моменту навколо точки повороту величина крутного моменту, обумовленого силою$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1}$, задається

$$\tau_{S, 1}=d_{1} F_{1} \sin \theta_{1} \nonumber$$

З правилом правої руки це поза сторінкою (в напрямку проти годинникової стрілки), тому складова крутного моменту позитивна, отже,

$$\left(\tau_{S, 1}\right)_{z}=d_{1} F_{1} \sin \theta_{1} \nonumber$$

Крутний момент, обумовлений$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2}$ приблизно точкою повороту, знаходиться на сторінці (напрямок за годинниковою стрілкою), а складова крутного моменту є негативною і задається

$$\left(\tau_{S, 2}\right)_{z}=-d_{2} F_{2} \sin \theta_{2} \nonumber$$

z -складова крутного моменту являє собою суму z -складових окремих крутних моментів і дорівнює нулю,

$$\left(\tau_{S, \text { total }}\right)_{z}=\left(\tau_{S, 1}\right)_{z}+\left(\tau_{S, 2}\right)_{z}=d_{1} F_{1} \sin \theta_{1}-d_{2} F_{2} \sin \theta_{2}=0 \nonumber$$

що еквівалентно узагальненому закону важеля, рівняння (18.3.10),

$$d_{1} F_{1} \sin \theta_{1}=d_{2} F_{2} \sin \theta_{2} \nonumber$$