18.2: Закон важеля

Розглянемо рівномірний жорсткий промінь маси,$m_{b}$ врівноважений на шкворні поблизу центру маси балки. Розміщуємо два об'єкти 1 і 2 мас$m_{1}$ і$m_{2}$ на балці, на відстанях$d_{1}$ і$d_{2}$ відповідно від шкворня, щоб балка була статичною (тобто балка не оберталася. Див. Малюнок 18.1.) Ми нехтуємо товщиною балки і візьмемо точку повороту, щоб бути центром маси.

Малюнок 18.1 Поворотний важіль

Розглянемо сили, що діють на балку. Земля притягує промінь вниз. Ця гравітаційна сила діє на кожен атом пучка, але ми можемо підсумувати її дію, заявивши, що гравітаційна сила$m_{b} \overrightarrow{\mathbf{g}}$ зосереджена в точці пучка, яка називається центром ваги пучка, яка ідентична центру маси рівномірного пучка. Існує також сила контакту$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\text {pivot }}$ між шкворнем і балкою, що діє вгору на балку в точці повороту. Об'єкти 1 і 2 надають нормальні сили вниз на промінь,$\overrightarrow{\mathbf{N}}_{1, b} \equiv \overrightarrow{\mathbf{N}}_{1}$ причому$\overrightarrow{\mathbf{N}}_{2, b} \equiv \overrightarrow{\mathbf{N}}_{2}$, з величинами$N_{1}, \text { and } N_{2}$ відповідно. Зверніть увагу, що нормальними силами є не гравітаційні сили, що діють на об'єкти, а сили контакту між променем і предметами. (В даному випадку вони математично однакові, за рахунок горизонтальної конфігурації балки і того, що всі об'єкти знаходяться в статичній рівновазі.) Відстані$d_{1} \text { and } d_{2}$ називаються моментними плечами щодо точки повороту для сил$\overrightarrow{\mathbf{N}}_{1} \text { and } \overrightarrow{\mathbf{N}}_{2}$ відповідно. Схема сили на балці показана на малюнку 18.2. Зверніть увагу, що сила повороту$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\text {pivot }}$ і сила тяжіння$m_{b} \overrightarrow{\mathbf{g}}$ кожна має нульовий момент важеля навколо точки повороту.

Малюнок 18.2 Діаграма вільного тіла на балці

Оскільки ми припускаємо, що промінь не рухається, сума сил у вертикальному напрямку, що діють на промінь, тому дорівнює нулю,

$$F_{\text {pivot }}-m_{b} g-N_{1}-N_{2}=0 \nonumber$$

Діаграми сили на об'єктах показані на малюнку 18.3. Зверніть увагу на величину нормальних сил на об'єкти також,$N_{1} \text { and } N_{2}$ оскільки це кожна частина пари дій- реакція,$\overrightarrow{\mathbf{N}}_{1, b}=-\overrightarrow{\mathbf{N}}_{b, 1}, \text { and } \overrightarrow{\mathbf{N}}_{2, b}=-\overrightarrow{\mathbf{N}}_{b, 2}$

Малюнок 18.3 Діаграми сили вільного тіла для кожного тіла.

Умова, що сили підсумовуються нулю, недостатньо для повного прогнозування руху променя. Все, що ми можемо зробити висновок, це те, що центр маси системи знаходиться в стані спокою (або рухається з рівномірною швидкістю). Для того щоб промінь не обертався, сума крутних моментів близько будь-якої точки повинна дорівнювати нулю. Зокрема, сума крутних моментів навколо точки повороту повинна дорівнювати нулю. Оскільки моментний важіль сили тяжіння та сила повороту дорівнює нулю, лише дві нормальні сили виробляють крутний момент на балці. Якщо ми виберемо поза сторінкою як позитивний напрямок для крутного моменту (або еквівалентно обертання проти годинникової стрілки позитивні), то умова, що сума крутних моментів навколо точки повороту дорівнює нулю, стає

$$d_{2} N_{2}-d_{1} N_{1}=0 \nonumber$$

Величини двох крутних моментів навколо точки повороту рівні, умова, відома як закон важеля.

Закон важеля

Балка довжиною l врівноважується на точці повороту, яка розміщується безпосередньо під центром маси балки. Балка не буде зазнавати обертання, якщо твір нормальної сили з моментом плеча до шкворня однаковий для кожного тіла,

$$d_{1} N_{1}=d_{2} N_{2} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Lever Law

Припустимо, рівномірний промінь довжини$l=1.0 \mathrm{m}$ і маси$m_{\mathrm{B}}=2.0 \mathrm{kg}$ врівноважений на точці повороту, розміщеній безпосередньо під центром балки. Розміщуємо тіло 1 з$m_{1}=0.3 \mathrm{kg}$ масою на відстань$d_{1}=0.4 \mathrm{m}$ праворуч від точки повороту, а друге тіло 2 з$m_{2}=0.6 \mathrm{kg}$$d_{2}$ відстанню ліворуч від точки повороту, таким чином, що промінь ні перекладається, ні обертається. (а) Яку силу$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\text {pivot }}$, яку шарнір чинить на балку? (b) Яка відстань$d_{2}$ підтримує статичну рівновагу?

Рішення

а) За Третім законом Ньютона промінь надає рівні і протилежні нормальні сили величини$N_{1}$ на тіло 1, і$N_{2}$ на тіло 2. Умова силової рівноваги, застосованої окремо до двох тіл, дає

$$N_{1}-m_{1} g=0 \nonumber$$

$$N_{2}-m_{2} g=0 \nonumber$$

При цьому сумарна сила, що діє на балку, дорівнює нулю,

$$F_{\text {pivot }}-\left(m_{b}+m_{1}+m_{2}\right) g=0 \nonumber$$

і сила повороту є

\ [\ почати {вирівняний}
F_ {\ текст {pivot}} &=\ ліворуч (m_ {b} +m_ {1} +m_ {2}\ праворуч) g\\
& =( 2,0\ mathrm {кг} +0,3\ mathrm {кг} +0,6\ mathrm {кг})\ лівий (9.8\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч) =2.8\ раз 10^ {1}\ mathrm {N}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

б) Ми можемо обчислити відстань$d_{2}$ від закону важеля,

$$d_{2}=\frac{d_{1} N_{1}}{N_{2}}=\frac{d_{1} m_{1} g}{m_{2} g}=\frac{d_{1} m_{1}}{m_{2}}=\frac{(0.4 \mathrm{m})(0.3 \mathrm{kg})}{0.6 \mathrm{kg}}=0.2 \mathrm{m} \nonumber$$