12.3: Ракетний рух

Ракета в той час$t=t_{i}$ рухається$\overrightarrow{\mathbf{V}}_{r, i}$ зі швидкістю по відношенню до нерухомої опорної рами. Протягом$\left[t_{i}, t_{f}\right]$ проміжку часу ракета безперервно спалює паливо, яке безперервно викидається назад зі швидкістю$\overrightarrow{\mathbf{u}}$ щодо ракети. Ця швидкість вихлопу не залежить від швидкості ракети. Ракета повинна докласти силу для прискорення викинутого палива назад, і тому за Третім законом Ньютона паливо надає силу, рівну за величиною, але протилежну в напрямку, прискорюючи ракету вперед. Швидкість ракети - це функція часу,$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{r}(t)$. Оскільки паливо виходить з ракети, маса ракети також є функцією часу$m_{r}(t)$, і зменшується зі швидкістю$d m_{r} / d t$. Нехай$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{e x t}$ позначимо сумарну зовнішню силу, що діє на ракету. Ми будемо використовувати принцип імпульсу, щоб визначити диференціальне рівняння$d \overrightarrow{\mathbf{v}}_{r} / d t$, яке пов'язує рівняння$d m_{r} / d t$$\overrightarrow{\mathbf{u}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}_{r}(t), \text { and } \overrightarrow{\mathbf{F}}_{e x t}$, відоме як рівняння ракети.

Ми будемо застосовувати принцип імпульсу протягом інтервалу часу$[t, t+\Delta t]$ з$\Delta t$ прийнятим, щоб бути невеликим інтервалом (ми врешті-решт розглянемо межу, що$\Delta t \rightarrow 0$), і$t_{i}<t<t_{f}$ протягом цього інтервалу, вибрати в якості нашої системи масу ракети в час t,

$$m_{s y s}=m_{r}(t)=m_{r, d}+m_{f}(t) \nonumber$$

де$m_{r, d}$ - суха маса ракети і$m_{f}(t)$ - маса палива в ракеті в момент t. Протягом часового інтервалу$[t, t+\Delta t]$ невелика кількість палива маси$\Delta m_{f}$ (в тій межі, яка$\Delta t \rightarrow 0, \Delta m_{f} \rightarrow 0$ викидається назад зі швидкістю$\overrightarrow{\mathbf{u}}$ до ракети. Перш ніж паливо викидається, воно рухається зі швидкістю ракети і тому протягом часового інтервалу$[t, t+\Delta t]$ обране паливо зазнає зміни імпульсу і ракета відштовхується вперед. У$t+\Delta t$ той час ракета має швидкість$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{r}(t+\Delta t)$. Хоча викидається паливо постійно змінює свою швидкість, ми припустимо, що все паливо викидається в той момент,$t+\Delta t$ а потім вважаємо межу як$\Delta t \rightarrow 0$. Тому швидкість викидається палива по відношенню до нерухомої опорної рами є векторною сумою відносної швидкості палива по відношенню до ракети і швидкості ракети, на$\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}_{r}(t+\Delta t)$ рис. 12.14 представлені діаграми імпульсів для нашої системи в момент t і$t+\Delta t$ відносно a нерухома інерційна система відліку, в якій швидкість руху ракети в момент t дорівнює$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{r}(t)$.

Малюнок 12.14 Діаграми імпульсу для системи в час t і$t+\Delta t$

Імпульс системи в момент t

$$\overrightarrow{\mathbf{p}}_{s y s}(t)=m_{r}(t) \overrightarrow{\mathbf{v}}_{r}(t) \nonumber$$

Відзначимо, що маса системи в момент t дорівнює

$$m_{s y s}=m_{r}(t) \nonumber$$

Імпульс системи на$t+\Delta t$ час

$$\overrightarrow{\mathbf{p}}_{s y s}(t+\Delta t)=m_{r}(t+\Delta t) \overrightarrow{\mathbf{v}}_{r}(t+\Delta t)+\Delta m_{f}\left(\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}_{r}(t+\Delta t)\right) \nonumber$$

де$m_{r}(t+\Delta t)=m_{r}(t)+\Delta m_{r}$. При цьому позначенні маса системи в часі$t+\Delta t$ задається

$$m_{s y s}=m_{r}(t+\Delta t)+\Delta m_{f}=m_{r}(t)+\Delta m_{r}+\Delta m_{f} \nonumber$$

Оскільки маса системи постійна, встановлення рівняння (12.3.69) рівняння (12.3.71) вимагає, щоб

$$\Delta m_{r}=-\Delta m_{f} \nonumber$$

Імпульс системи в часі$t+\Delta t$ (Рівняння (12.3.70)) може бути переписаний як

\ [\ begin {масив} {l}
\ переправа стрілка {\ mathbf {p}} _ {s y s} (t+\ Дельта t) =\ лівий (m_ {r} (t) +\ Дельта m_ {r}\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {r} (t+\ Дельта t) -\ Дельта м_ {r}\ (\ переправа стрілка {\ mathbf {u}} +\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {r} (t+\ Delta t)\ праворуч)\ праворуч. \\
\ переправа стрілка {\ mathbf {p}} _ {s y s} (t+\ Дельта t) =m_ {r} (t)\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {r} (t+\ Дельта t) -\ Дельта m_ {r}\ переправа стрілка {\ mathbf {u}}
\ кінець {масив} номер\]

Тепер ми можемо застосувати Другий закон Ньютона у вигляді принципу імпульсу,

\ [\ почати {масив} {l}
\ переправа стрілка {\ mathbf {F}} _ {e x t} =\ lim _ {\ Delta t\ rightarrow 0}\ frac {\ left (m_ {r} (t)\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {r} (t+\ Дельта t) -\ Дельта м_ {r}\ переправа стрілка {\ mathbf {u}}\ праворуч) -m_ {r} (t)\ стрілка переправо {\ mathbf {v}} _ {r} (t)} {\ Дельта t}\\
=m_ {r} (t)\ lim _ {\ Дельта т\ стрілка вправо 0}\ frac {\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {r} (t+\ Дельта t) -\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {r} (t)} {\ Дельта т} -\ lim _ {\ Дельта т\ праворуч 0}\ frac {\ Дельта м_ {r}} {\ Дельта т}\ переправа стрілка {\ mathbf {u}}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Тепер ми беремо ліміт як

$$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{e x t}=m_{r}(t) \frac{d \overrightarrow{\mathbf{v}}_{r}}{d t}-\frac{d m_{r}}{d t} \overrightarrow{\mathbf{u}} \nonumber$$

Рівняння (12.3.75) відоме як рівняння ракети.

Припустимо, ракета рухається в додатному х -напрямку із зовнішньою силою, заданою$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{e x t}=F_{e x t, x} \hat{\mathbf{i}}$ Тоді,$\overrightarrow{\mathbf{u}}=-u \hat{\mathbf{i}}$ де u > 0 - відносна швидкість палива, і вона рухається в негативному х -напрямку,$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{r}=v_{r, x} \hat{\mathbf{i}}$ Тоді рівняння ракети (Рівняння (12.3.75)) стає

$$F_{e x t, x}=m_{r}(t) \frac{d v_{r, x}}{d t}+\frac{d m_{r}}{d t} u \nonumber$$

Відзначимо, що швидкість зменшення маси ракети$d m_{r} / d t$, дорівнює негативній швидкості приросту відпрацьованого палива

$$\frac{d m_{r}}{d t}=-\frac{d m_{f}}{d t} \nonumber$$

Ми можемо переписати рівняння (12.3.76) як

$$F_{e x t, x}-\frac{d m_{r}}{d t} u=m_{r}(t) \frac{d v_{r, x}}{d t} \nonumber$$

Другий член на лівій стороні Рівняння (12.3.78) називається тягою

$$F_{t h r u s t, x}=-\frac{d m_{r}}{d t} u=\frac{d m_{f}}{d t} u \nonumber$$

Відзначимо, що це не зайве зусилля, а результат віддачі вперед за рахунок викиду палива. Оскільки ми спалюємо паливо з позитивною швидкістю$d m_{f} / d t>0$ і швидкістю$u>0$, напрямок тяги знаходиться в позитивному х -напрямку.

Рівняння ракети у вільному від сили тяжіння просторі

Розглянемо спочатку випадок, в якому немає зовнішніх сил, що діють на систему, потім Рівняння (12.3.78) стає

$$-\frac{d m_{r}}{d t} u=m_{r}(t) \frac{d v_{r, x}}{d t} \nonumber$$

Для того, щоб вирішити це рівняння, відокремлюємо змінні величини$v_{r, x}(t)$ і$m_{r}(t)$ і множимо обидві сторони на dt, що дає

$$d v_{r, x}=-u \frac{d m_{r}}{m_{r}(t)} \nonumber$$

Тепер ми інтегруємо обидві сторони Рівняння (12.3.81) з межами, відповідними значенням х -складової швидкості і маси ракети в моменти,$t_{i}$ коли почався викид згорілого палива і часу,$t_{f}$ коли процес зупинився,

$$\int_{v_{r, x}^{\prime}=v_{r, x, i}}^{v_{r, x}^{\prime}=v_{r, x, f}} d v_{r, x}^{\prime}=-\int_{m_{r}^{\prime}=m_{r, i}}^{m_{r}^{\prime}=m_{r, f}} \frac{u}{m_{r}^{\prime}} d m_{r}^{\prime} \nonumber$$

Виконання інтеграції та підстановки значень на кінцевих точках дає

$$v_{r, x, f}-v_{r, x, i}=-u \ln \left(\frac{m_{r, f}}{m_{r, i}}\right) \nonumber$$

Оскільки ракета втрачає паливо$m_{r, f}<m_{r, i}$, ми можемо переписати рівняння (12.3.83) як

$$v_{r, x, f}-v_{r, x, i}=u \ln \left(\frac{m_{r, i}}{m_{r, f}}\right) \nonumber$$

Відзначимо$\ln \left(m_{r, i} / m_{r, f}\right)>1$. Тому$\boldsymbol{v}_{r, x, f}>\boldsymbol{v}_{r, x, i}$ як ми і очікуємо. Після невеликої перестановки Рівняння (12.3.84) ми маємо вираз для х -складової швидкості ракети як функції$m_{r}$ маси ракети

$$v_{r, x, f}=v_{r, x, i}+u \ln \left(\frac{m_{r, i}}{m_{r, f}}\right) \nonumber$$

Давайте розберемо наш результат. Для початку припустимо, що все паливо згоріло і викинулося. Потім$m_{r, f} \equiv m_{r, d}$ йде кінцева суха маса ракети (порожня від палива). Співвідношення

$$R=\frac{m_{r, i}}{m_{r, d}} \nonumber$$

- відношення початкової маси ракети (включаючи масу палива) до кінцевої сухої маси ракети (спорожнення палива). Кінцева швидкість ракети тоді

$$v_{r, x, f}=v_{r, x, i}+u \ln R \nonumber$$

Саме тому використовуються багатоступінчасті ракети. Для зберігання палива вам потрібна велика ємність. Як тільки все паливо згорить на першому етапі, ступінь відключається від ракети. Під час наступного етапу суха маса ракети набагато менше і тому R більше, ніж на одній ступені, тому наступна стадія горіння буде виробляти більшу кінцеву швидкість тоді, якщо така ж кількість палива спалювалося лише з однією ступенем (більш суха маса ракети). Взагалі ракети не спалюють паливо з постійною швидкістю, але якщо припустити, що швидкість горіння постійна, де

$$b=\frac{d m_{f}}{d t}=-\frac{d m_{r}}{d t} \nonumber$$

то ми можемо інтегрувати рівняння (12.3.88)

$$\int_{m^{\prime}=m_{r, i}}^{m_{r}^{\prime}=m_{r}(t)} d m_{r}^{\prime}=-b \int_{t^{\prime}=t_{i}}^{t^{\prime}=t} d t^{\prime} \nonumber$$

і знайти рівняння, яке описує, як змінюється маса ракети в часі

$$m_{r}(t)=m_{r, i}-b\left(t-t_{i}\right) \nonumber$$

Для цього особливого випадку, якщо ми встановимо$t_{f}=t$ в Equation (12.3.85), то швидкість ракети як функція часу задається

$$v_{r, x, f}=v_{r, x, i}+u \ln \left(\frac{m_{r, i}}{m_{r, i}-b t}\right) \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Single-Stage Rocket

Перед тим, як ракета почне спалювати паливо$m_{r, i}=2.81 \times 10^{7} \mathrm{kg}$, ракета має масу, з яких маса палива$m_{f, i}=2.46 \times 10^{7} \mathrm{kg}$. Паливо спалюється з постійною швидкістю із загальним часом горіння 510 с і викидається зі швидкістю u = 3000 м/с щодо ракети. Якщо ракета стартує з відпочинку в порожньому просторі, яка кінцева швидкість ракети після того, як все паливо згоріло?

Рішення

Суха маса ракети є$m_{r, d} \equiv m_{r, i}-m_{f, i}=0.35 \times 10^{7} \mathrm{kg}$, отже$R=m_{r, i} / m_{r, d}=8.03$. Кінцева швидкість ракети після того, як все паливо згоріло, становить

$$v_{r, f}=\Delta v_{r}=u \ln R=6250 \mathrm{m} / \mathrm{s} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{2}$: Two-Stage Rocket

Тепер припустимо, що та ж ракета в прикладі 12.4 спалює паливо в два етапи, викидаючи паливо на кожному етапі з однаковою відносною швидкістю. На першому етапі доступне паливо для спалювання є$m_{f, 1, i}=2.03 \times 10^{7} \mathrm{kg}$ з часом горіння 150 с. Потім порожній паливний бак і аксесуари з першого етапу від'єднуються від решти ракети. Ці роз'єднані деталі мають масу.$m=1.4 \times 10^{6} \mathrm{kg}$ Все що залишилося паливо з масою спалюється під час другого етапу з часом горіння 360 с. Яка кінцева швидкість ракети після того, як все паливо згоріло?

Рішення

Маса ракети після того, як все паливо на першому етапі згорає - це$m_{r, 1, d}=m_{r, 1, i}-m_{f, 1, i}=0.78 \times 10^{7} \mathrm{kg}$ і$R_{1}=m_{r, 1, i} / m_{r, 1, d}=3.60$. Зміна швидкості після завершення першого етапу

$$\Delta v_{r, 1}=u \ln R_{1}=3840 \mathrm{m} / \mathrm{s} \nonumber$$

Після того як порожній паливний бак і комплектуючі з першої ступені від'єднані від решти ракети, залишилася маса ракети залишається$m_{r, 2, d}=2.1 \times 10^{6} \mathrm{kg}$. Що залишилося паливо має масу$m_{f, 2, i}=4.3 \times 10^{6} \mathrm{kg}$. Маса ракети плюс незгоріле паливо на початку другої ступені дорівнює$m_{r, 2, i}=6.4 \times 10^{6} \mathrm{kg}$. Тоді$R_{2}=m_{r, 2, i} / m_{r, 2, d}=3.05$ Тому ракета збільшує свою швидкість під час другого етапу на величину.

$$\Delta v_{r, 2}=u \ln R_{2}=3340 \mathrm{m} / \mathrm{s} \nonumber$$

Кінцева швидкість ракети - це сума зміни швидкостей за рахунок кожного ступеня,

$$v_{f}=\Delta v_{r}=u \ln R_{1}+u \ln R_{2}=u \ln \left(R_{1} R_{2}\right)=7190 \mathrm{m} / \mathrm{s} \nonumber$$

що більше, ніж якби паливо спалювалося в один етап. Графіки швидкості ракети як часу функції як при одноступінчастих, так і при двоступеневих опіках показані рис. 12.15.

Малюнок 12.15 Ділянки швидкості ракети як для одноступінчастого горіння, так і двоступеневого горіння

Ракета в постійному гравітаційному полі:

Тепер припустимо, що ракета злітає з спокою в час t = 0 в постійному гравітаційному полі, то зовнішня сила дорівнює

$$\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}}^{\text {total }}=m_{r} \overrightarrow{\mathbf{g}} \nonumber$$

Потім виберіть позитивну вісь x у напрямку вгору$F_{e x, x}(t)=-m_{r}(t) g$. Тоді рівняння ракети (Рівняння (12.3.75) стає

$$-m_{r}(t) g-\frac{d m_{r}}{d t} u=m_{r}(t) \frac{d v_{r, x}}{d t} \nonumber$$

Помножте обидві сторони рівняння (12.3.97) на dt, і розділіть обидві сторони на$m_{r}(t)$. Тоді рівняння (12.3.97) можна записати як

$$d v_{r, x}=-g d t-\frac{d m_{r}}{m_{r}(t)} u \nonumber$$

Тепер ми інтегруємо обидві сторони

$$\int_{v_{r, x,}=0}^{v_{r, x}(t)} d v_{r, x}^{\prime}=-u \int_{m_{r, j}}^{m_{r}(t)} \frac{d m_{r}^{\prime}}{m_{r}^{\prime}}-g \int_{0}^{t} d t^{\prime} \nonumber$$

де$m_{r, i}$ - початкова маса ракети і палива. Інтеграція прибутковості

$$v_{r, x}(t)=-u \ln \left(\frac{m_{r}(t)}{m_{r, i}}\right)-g t=u \ln \left(\frac{m_{r, i}}{m_{r}(t)}\right)-g t \nonumber$$

Після того як все паливо згорає при$t=t_{f}$, маса ракети дорівнює сухої масі$m_{r, f}=m_{r, d}$ і так

$$v_{r, x}\left(t_{f}\right)=u \ln R-g t_{f} \nonumber$$

Перший термін з правого боку не залежить від часу опіку. Однак другий термін залежить від часу горіння. Чим коротший час горіння, тим менший негативний внесок від третього повороту, і, отже, ракета закінчується з більшою кінцевою швидкістю. Так що ракетний двигун повинен спалювати паливо якомога швидше, щоб отримати максимально можливу швидкість.