10.3: Рівняння ракети

Спочатку за часом$t$ = 0 маса ракети, включаючи паливо, дорівнює$m_{0}$.

Припустимо, що ракета спалює паливо з розрахунку$b$ кг с ^-1 так, що$t$, за часом, маса ракети плюс-залишилося паливо$m=m_{0}-bt$. Швидкість збільшення маси з часом є$\frac{dm}{dt}=-b$ і передбачається постійною з часом. (Швидкість «підвищення», звичайно ж, негативна.)

Припускаємо, що швидкість викидається палива, щодо ракети, дорівнює$V$. Тяга викидається палива на ракеті, отже$Vb$, або$-V\frac{dm}{dt}$. Це дорівнює миттєвій масі разів прискорення ракети:

$$Vb=m\frac{dv}{dt}=(m_{0}-bt)\frac{dv}{dt}. \label{10.3.1}$$

Таким чином

$$\int_{0}^{v}dv=Vb\int_{0}^{t}\frac{dt}{m_{0}-bt}. \label{10.3.2}$$

(Не піддавайтеся спокусі написати праву сторону як$-Vb\int_{0}^{t}\frac{dt}{bt-m_{0}}$. Ви передбачаєте логарифм, тому тримайте знаменник позитивним. Ми зустрічали це раніше в главі 6.) На інтеграції отримуємо

$$v=V\ln\frac{m_{0}}{m_{0}-bt}. \label{10.3.3}$$

Прискорення

$$\frac{dv}{dt}=\frac{Vb}{m_{0}-bt}. \label{10.3.4}$$

При$t$ = 0 швидкість дорівнює нулю, а прискорення дорівнює$\frac{Vb}{m_{0}}$.

За часом маса$t=\frac{m_{0}}{b}$, що залишилася дорівнює нулю, а швидкість і прискорення обидва нескінченні. Однак це так тільки в тому випадку, якщо початкова маса становить 100% палива і більше нічого. Це нереально. Якщо частка загальної маси була спочатку$f$, то паливо буде повністю витрачено через час,$\frac{fm_{0}}{b}$ в який час швидкість буде (що, звичайно ж, позитивна), а швидкість залишиться постійною після цього. Наприклад, якщо$f$ = 99%, то кінцева швидкість складе 4,6$V$.

Рівняння$\ref{10.3.3}$ і$\ref{10.3.4}$ наведені на малюнках X.1 і X.2. На малюнку X.1 швидкість руху ракети побудована в одиницях$V$, швидкість викиду згорілого палива. Час наноситься в одиницях$\frac{m_{0}}{b}$. Паливо спочатку складало 90% ракети, так що у ракети закінчується палива в часі 0,9 $\frac{m_{0}}{b}$, в цей час її швидкість становить 2,3$V$. На малюнку Х.2 прискорення побудовано в одиницях початкового прискорення, яке є$\frac{Vb}{m_{0}}$. Коли паливо вичерпано, розгін в десять разів більше.

У рівнянні$\ref{10.3.3}$,$v$ звичайно$\frac{dx}{dt}$, так що рівняння може бути інтегроване для отримання відстані: час відношення:

$$x=V[t+(\frac{m_{0}}{b}-t)\ln(1-\frac{bt}{m_{0}})]. \label{10.3.5}$$

Усунення$t$ між рівняннями$\ref{10.3.3}$ і$\ref{10.3.5}$ дає зв'язок між швидкістю і відстанню:

$$x=\frac{Vm_{0}}{b}[1-(1+\frac{v}{V})e^{\frac{-v}{V}}]. \label{10.3.6}$$

Якщо$f$ частка початкової маси, яка є паливом, то подача палива буде вичерпана через час$\frac{fm_{0}}{b}$, в цей час його швидкість буде$-V\ln(1-f)$ (це позитивно, тому що 1$-f$ менше 1), його прискорення буде$\frac{1}{(1-f)}$ і воно пройшло відстань$\frac{Vm_{0}}{b}[f+(1-f)\ln(1-f)]$. Якщо вся початкова маса є паливом, так що$f$ = 1, паливо буде горіти протягом часу$\frac{m_{0i}}{b}$, в цей час його швидкість і прискорення будуть нескінченними, воно пройшло кінцеву відстань$\frac{Vm_{0}}{b}$ і маса буде зведена до нуля, Цей чудовий результат не дуже правдоподібний, для дві причини. В першу чергу це не дуже реалістично. Що ще важливіше, коли швидкість стає порівнянною зі швидкістю світла, рівняння, які ми розробили для нерелятивістських швидкостей, вже не є приблизно дійсними, і повинні бути використані правильні релятивістські рівняння. Потім швидкість не може досягти швидкості світла до тих пір, поки маса, що залишилася не дорівнює нулю.

Рівняння$\ref{10.3.5}$ і$\ref{10.3.6}$ проілюстровані на малюнках Х.3 і Х.4, в яких, частка початкової маси, яка є паливом, дорівнює 0,9. Одиницями відстані, часу і швидкості в цих графіках є, відповідно$\frac{Vm_{0}}{b}$,$\frac{m_{0}}{b}$ і$V$.