10.3: Рівняння ракети

Спочатку за часом\( t\) = 0 маса ракети, включаючи паливо, дорівнює\( m_{0}\).

Припустимо, що ракета спалює паливо з розрахунку\( b\) кг с ^-1 так, що\( t\), за часом, маса ракети плюс-залишилося паливо\( m=m_{0}-bt\). Швидкість збільшення маси з часом є\( \frac{dm}{dt}=-b\) і передбачається постійною з часом. (Швидкість «підвищення», звичайно ж, негативна.)

Припускаємо, що швидкість викидається палива, щодо ракети, дорівнює\( V\). Тяга викидається палива на ракеті, отже\( Vb\), або\( -V\frac{dm}{dt}\). Це дорівнює миттєвій масі разів прискорення ракети:

\[ Vb=m\frac{dv}{dt}=(m_{0}-bt)\frac{dv}{dt}. \label{10.3.1} \]

Таким чином

\[ \int_{0}^{v}dv=Vb\int_{0}^{t}\frac{dt}{m_{0}-bt}. \label{10.3.2} \]

(Не піддавайтеся спокусі написати праву сторону як\( -Vb\int_{0}^{t}\frac{dt}{bt-m_{0}}\). Ви передбачаєте логарифм, тому тримайте знаменник позитивним. Ми зустрічали це раніше в главі 6.) На інтеграції отримуємо

\[ v=V\ln\frac{m_{0}}{m_{0}-bt}. \label{10.3.3} \]

Прискорення

\[ \frac{dv}{dt}=\frac{Vb}{m_{0}-bt}. \label{10.3.4} \]

При\( t\) = 0 швидкість дорівнює нулю, а прискорення дорівнює\( \frac{Vb}{m_{0}}\).

За часом маса\( t=\frac{m_{0}}{b}\), що залишилася дорівнює нулю, а швидкість і прискорення обидва нескінченні. Однак це так тільки в тому випадку, якщо початкова маса становить 100% палива і більше нічого. Це нереально. Якщо частка загальної маси була спочатку\( f\), то паливо буде повністю витрачено через час,\( \frac{fm_{0}}{b}\) в який час швидкість буде (що, звичайно ж, позитивна), а швидкість залишиться постійною після цього. Наприклад, якщо\( f\) = 99%, то кінцева швидкість складе 4,6\( V\).

Рівняння\( \ref{10.3.3}\) і\( \ref{10.3.4}\) наведені на малюнках X.1 і X.2. На малюнку X.1 швидкість руху ракети побудована в одиницях\( V\), швидкість викиду згорілого палива. Час наноситься в одиницях\( \frac{m_{0}}{b}\). Паливо спочатку складало 90% ракети, так що у ракети закінчується палива в часі 0,9 \( \frac{m_{0}}{b}\), в цей час її швидкість становить 2,3\( V\). На малюнку Х.2 прискорення побудовано в одиницях початкового прискорення, яке є\( \frac{Vb}{m_{0}}\). Коли паливо вичерпано, розгін в десять разів більше.

У рівнянні\( \ref{10.3.3}\),\( v\) звичайно\( \frac{dx}{dt}\), так що рівняння може бути інтегроване для отримання відстані: час відношення:

\[ x=V[t+(\frac{m_{0}}{b}-t)\ln(1-\frac{bt}{m_{0}})]. \label{10.3.5} \]

Усунення\( t\) між рівняннями\( \ref{10.3.3}\) і\( \ref{10.3.5}\) дає зв'язок між швидкістю і відстанню:

\[ x=\frac{Vm_{0}}{b}[1-(1+\frac{v}{V})e^{\frac{-v}{V}}]. \label{10.3.6} \]

Якщо\( f\) частка початкової маси, яка є паливом, то подача палива буде вичерпана через час\( \frac{fm_{0}}{b}\), в цей час його швидкість буде\( -V\ln(1-f)\) (це позитивно, тому що 1\( -f\) менше 1), його прискорення буде\( \frac{1}{(1-f)}\) і воно пройшло відстань\( \frac{Vm_{0}}{b}[f+(1-f)\ln(1-f)]\). Якщо вся початкова маса є паливом, так що\( f\) = 1, паливо буде горіти протягом часу\( \frac{m_{0i}}{b}\), в цей час його швидкість і прискорення будуть нескінченними, воно пройшло кінцеву відстань\( \frac{Vm_{0}}{b}\) і маса буде зведена до нуля, Цей чудовий результат не дуже правдоподібний, для дві причини. В першу чергу це не дуже реалістично. Що ще важливіше, коли швидкість стає порівнянною зі швидкістю світла, рівняння, які ми розробили для нерелятивістських швидкостей, вже не є приблизно дійсними, і повинні бути використані правильні релятивістські рівняння. Потім швидкість не може досягти швидкості світла до тих пір, поки маса, що залишилася не дорівнює нулю.

Рівняння\( \ref{10.3.5}\) і\( \ref{10.3.6}\) проілюстровані на малюнках Х.3 і Х.4, в яких, частка початкової маси, яка є паливом, дорівнює 0,9. Одиницями відстані, часу і швидкості в цих графіках є, відповідно\( \frac{Vm_{0}}{b}\),\( \frac{m_{0}}{b}\) і\( V\).